Constante structurale

În matematică , constantele de structură sau coeficienții de structură ai unei algebre peste un câmp sunt utilizați pentru a afirma în mod explicit produsul a doi vectori de bază dintr-o algebră ca o combinație liniară . Având în vedere constantele structurii, produsul rezultat este biliniar și poate fi extins în mod unic la toți vectorii din spațiul vectorial, definind astfel produsul în mod unic pentru algebră.

Constantele de structură sunt utilizate ori de câte ori trebuie specificată o formă explicită a unei algebre. Ca atare, ele sunt adesea folosite în discuțiile despre algebra Lie în fizică , deoarece vectorii de bază indică direcții specifice în spațiul fizic sau corespund unor particule specifice . Reamintim că algebrele Lie sunt algebre peste un câmp, iar produsul biliniar este dat de paranteza Lie sau comutatorul .

Definiție

Având în vedere un set de vectori de bază pentru un spațiu vectorial de bază algebrică , constantele de structură sau coeficienții de structură exprimă înmulțirea perechilor de vectori ca o combinație liniară: $\{\mathbf {e} _{i}\}$ $c_{ij}^{\;k)$ $\cdot$

\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\sum _{k}c_{ij}^{\;\;k}\mathbf {e} _{k }

Adesea, indicele și indicele nu se disting decât dacă algebra este înzestrată cu o altă structură care ar necesita acest lucru (de exemplu, o metrică pseudo-riemanniană pe algebra grupului ortogonal nedefinit so( p , q )). Adică, constantele structurale sunt adesea scrise cu superindice sau subindice. Distincția dintre superior și inferior este o condiție pentru a reaminti cititorului că indicele se comportă ca componente ale vectorului dual , adică covarianți atunci când se schimbă baza , în timp ce indicele se comportă contravariant .

Evident, constantele structurii depind de baza aleasă. Pentru algebrele Lie, o convenție de bază folosită în mod obișnuit este exprimată în termeni de operatori de scară definiți de subalgebra Cartan ; aceasta este prezentată mai jos în articol după câteva exemple preliminare.

Exemplu: Lie algebre

Pentru o algebră Lie, vectorii de bază se numesc generatori ai algebrei, iar produsul este dat de paranteza Lie. Adică, produsul unei algebre este „definit” ca o paranteză Lie: pentru doi vectori și într-o algebră, rezultatul este. În special, produsul unei algebre nu trebuie confundat cu un produs matriceal, deci notația alternativă este uneori cerute. $\cdot$ $A$ $B$ $A\cdot B\equiv [A,B].$ $\cdot$

În acest caz, nu este necesar să se facă distincția între indice și indice; pot fi scrise toate în partea de sus sau toate în jos. În fizică, notația este de obicei folosită pentru generatoare și sau (ignorând distincția dintre superior și inferior) pentru constantele structurii. Suportul Lie de perechi de generatoare este o combinație liniară de generatoare din set, adică. $T_{i}$ $f_{ab}^{\;\;c)$ $f^{abc)$

[T_{a},T_{b}]=\sum _{c}f_{ab}^{\;\;c}T_{c)

Printr-o extensie liniară, constantele structurii determină complet parantezele Lie ale tuturor elementelor algebrei Lie.

Toate algebrele Lie satisfac identitatea Jacobi . Pentru vectorii de bază, acesta poate fi scris ca

[T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{ a},T_{b}]]=0

și aceasta duce direct la identitatea corespunzătoare în ceea ce privește constantele structurii:

f_{ad}^{\;\;e}f_{bc}^{\;\;d}+f_{bd}^{\;\;e}f_{ca}^{\;\; d}+f_{cd}^{\;\;e}f_{ab}^{\;\;d}=0.

Cele de mai sus și restul acestui articol folosesc convenția de însumare Einstein pentru indici repeți.

Constantele structurale joacă un rol în reprezentările algebrei Lie și de fapt dau exact elementele de matrice ale reprezentării adiacente . Forma Killing și invariantul Casimir au, de asemenea, o formă deosebit de simplă atunci când sunt scrise în termeni de constante de structură.

Constantele de structură apar adesea în aproximările cu formula Baker–Campbell–Hausdorff pentru produsul a două elemente ale unui grup Lie . Pentru elementele mici ale algebrei Lie, structura grupului Lie în jurul elementului de identitate este dată de formula $X,Y$

\exp(X)\exp(Y)\aproximativ \exp(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]).

Acordați atenție factorului 1/2. Ele apar, de asemenea, în expresii explicite pentru diferențiale precum . $e^{-X}de^{X}$

Exemple de algebră Lie

𝖘𝖚(2) și 𝖘𝖔(3)

Algebra 𝖘𝖚(2) a grupului unitar special SU(2) este tridimensională, cu generatoare date de matrice Pauli . Generatoarele grupului SU(2) satisfac relațiile de comutație (unde este simbolul Levi-Civita ): $\sigma_i$ $\epsilon ^{abc)$

[\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\epsilon ^{abc}\sigma _{c)

Unde

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

În acest caz, constantele structurii sunt egale cu . Rețineți că constanta 2i poate fi inclusă în definiția vectorilor de bază; astfel, definind , se poate scrie la fel de bine $f^{abc}=2i\epsilon ^{abc}$ $t_{a}=-i\sigma _{a}/2$

[t_{a},t_{b}]=\epsilon ^{abc}t_{c)

Acest lucru subliniază faptul că algebra Lie 𝖘𝖚(2) a grupului Lie SU(2) este izomorfă cu algebra Lie 𝖘𝖔(3) a grupului SO(3) . Aceasta aduce constantele structurii în conformitate cu constantele grupului de rotație SO(3) . Adică, comutatorul pentru operatorul moment unghiular este de obicei scris ca

[L_{i},L_{j}]=\epsilon ^{ijk}L_{k)

Unde

L_{x}=L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}

L_{y}=L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}

L_{z}=L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

scris pentru a respecta regula mâinii drepte pentru rotații în trei dimensiuni.

Diferența în factorul „2i” dintre aceste două seturi de constante structurale poate fi enervantă, deoarece implică o oarecare subtilitate. Astfel, de exemplu, unui spațiu vectorial complex bidimensional i se poate da o structură reală. Aceasta conduce la două reprezentări fundamentale bidimensionale neechivalente ale grupului (2), care sunt izomorfe, dar sunt reprezentări complexe conjugate ; ambele sunt însă considerate reprezentări valide tocmai pentru că operează într-un spațiu cu o structură reală [1] . În cazul celor trei dimensiuni, există o singură reprezentare tridimensională, reprezentarea alăturată , care este reprezentarea efectivă; mai precis, este aceeași cu reprezentarea sa duală prezentată mai sus. Cu alte cuvinte, transpunerea este minus în sine: $L_{k}^{T}=-L_{k}.$

În orice caz, se spune că grupurile de Lie sunt reale tocmai pentru că constantele structurii pot fi scrise în așa fel încât să fie pur reale.

𝖘𝖚(3)

Un exemplu mai puțin trivial este dat în SU(3) [2] .

Generatorii săi „T” în reprezentarea definitorie sunt:

T^{a}={\frac {\lambda ^{a}}{2}}.\,

unde matricele Gell-Mann sunt omologul SU(3) al matricelor Pauli pentru SU(2): $\lambda \,$

$\lambda ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda ^{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda ^{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{8}={\frac {1}{\sqrt {3)}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix)).$

Ei sunt în relație

\left[T^{a},T^{b}\right]=dacă^{abc}T^{c}\,

\{T^{a},T^{b}\}={\frac {1}{3}}\delta ^{ab}+d^{abc}T^{c}.\,

Constantele structurii sunt complet antisimetrice. Li se dau:

f^{123}=1\,

f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2} }\,

f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2)),\,

iar toate celelalte care nu sunt legate de ele printr-o permutare a indicilor sunt egale cu zero. $f^{abc)$

d iau valori:

d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3))}\,

d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3)}))\,

d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^ {377}={\frac {1}{2}}.\,

Exemple din alte algebre

Polinoame Hall

Polinoamele Hall sunt constantele de structură ale algebrei Hall .

Algebre Hopf

Pe lângă produs, coprodusul și antipodul algebrei Hopf pot fi exprimate în termeni de constante de structură. Axioma de legătură care definește condiția de consistență a algebrei Hopf poate fi exprimată ca o conexiune între aceste diverse constante de structură.

Aplicații

Un grup Lie este abelian dacă și numai dacă toate constantele structurii sunt 0.
Un grup Lie este real tocmai atunci când constantele sale de structură sunt reale.
Constantele structurii sunt complet antisimetrice în toți indicii dacă și numai dacă algebra Lie este o sumă directă a unei algebre Lie simple compacte .
un grup Lie nilpotent admite o rețea dacă și numai dacă algebra lui Lie admite o bază cu constante de structură rațională: acesta este criteriul Maltsev . Nu toate grupurile Nilpotente Lie admit rețele; vezi și Raghunathan [3] pentru mai multe detalii .
În cromodinamica cuantică , simbolul reprezintă covarianta gauge a tensorului intensității câmpului gluon , similar tensorului intensității câmpului electromagnetic , F μν , în electrodinamica cuantică. Acesta este dat în [4] : $G_{\mu \nu }^{a}\,$

G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }{\mathcal { A}}_{\mu }^{a}+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{\mu }^{b}{\mathcal {A}}_{\nu }^{c} \,,

unde f abc sunt SU (3) constante de structură . Rețineți că regulile pentru împingerea sau eliminarea indicilor a , b sau c sunt triviale , (+, ... +), deci f abc = f abc = fa
bc, în timp ce pentru indicii μ sau ν există reguli relativiste netriviale corespunzătoare, de exemplu, semnăturii metrice (+ - - -).

Alegerea unei baze pentru algebra Lie

Una dintre abordările tradiționale de a oferi o bază pentru o algebre Lie este utilizarea așa-numiților „operatori de scară”, care apar ca vectori proprii ai subalgebrei Cartan. Aici descriem pe scurt construcția acestei baze folosind notația convențională. O construcție alternativă (construcția Serre ) poate fi găsită în lucrarea „Semisimple Lie Algebra” .

Pentru o algebră Lie, o subalgebră Cartan este o subalgebră abeliană maximă. Prin definiție, constă din acele elemente care fac naveta între ele. O bază ortonormală poate fi aleasă liber pe ; scrie această rădăcină ca $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h)}$ $H_{1},\cdots, H_{r)$

\langle H_{i}, H_{j}\rangle =\delta _{ij)

unde este produsul interior în spațiul vectorial. Dimensiunea acestei subalgebre se numește rangul algebrei. Matricele din reprezentarea alăturată comută reciproc și pot fi diagonalizate simultan . Matricele au vectori proprii (simultan) ; care cu valoare proprie diferită de zero sunt de obicei notate cu . Împreună cu acestea acoperă întregul spațiu vectorial . Atunci relațiile de comutație au forma: $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r$ $\mathrm {ad} (H_{i})$ $\mathrm {ad} (H_{i})$ $\alfa$ $E_{\alpha )$ $Bună$ $\mathfrak{g}$

[H_{i},H_{j}]=0\quad {\mbox{u)}\quad [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }

Vectorii proprii sunt definiți doar până la o scară comună; normalizarea normală poate fi setată $E_{\}alfa$

\langle E_{\alpha },E_{-\alpha }\rangle =1

Acest lucru ne permite să scriem relațiile de comutație rămase în formă

[E_{\alpha },E_{-\alpha }]=\alpha _{i}H_{i}

și

{\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta}E_{\alpha +\beta ))

cu aceasta din urmă, cu condiţia ca rădăcinile (definite mai jos) cu o valoare diferită de zero: . sunt uneori numiți operatori ladder deoarece au această proprietate de creștere/scădere a valorii . $\alpha ,\beta$ $\alpha +\beta \neq 0$ $E_{\alpha )$ $\beta$

Pentru un anumit , sunt tot atâtea câte , deci puteți defini un vector , acest vector se numește rădăcina algebrei. Rădăcinile algebrelor Lie apar în structuri regulate (de exemplu, într -o algebră Lie simplă, rădăcinile pot avea doar două lungimi diferite); vezi sistemul rădăcină pentru detalii . $\alfa$ $\alpha_i$ $Bună$ $\alpha =\alpha _{i}H_{i)$

Constantele structurale au proprietatea de a diferi de zero numai atunci când este o rădăcină. În plus, sunt antisimetrice: $N_{\alpha ,\beta )$ $\alpha +\beta$

N_{\alpha,\beta}=-N_{\beta,\alpha )

și poți alege oricând astfel încât

{\displaystyle N_{\alpha ,\beta}=-N_{-\alpha ,-\beta ))

Ei se supun, de asemenea, condițiilor cociclului [5] :

N_{\alpha,\beta}=N_{\beta,\gamma}=N_{\gamma,\alpha)

oricând și de asemenea ce $\alpha +\beta +\gamma =0$

N_{\alpha ,\beta}N_{\gamma ,\delta}+N_{\beta ,\gamma}N_{\alpha ,\delta}+N_{\gamma ,\alpha }N_{\beta , \delta }=0

oricând . $\alpha +\beta +\gamma +\delta =0$

Note

↑ Fulton, William; Harris, Joe (1991). teoria reprezentării. Un prim fel. Texte de absolvent în matematică, lecturi în matematică. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249. OCLC 246650103.
↑ Weinberg, Steven. Teoria cuantică a câmpurilor. - Cambridge University Press, 1995. - Vol. 1 fundații. — ISBN 0-521-55001-7 .
↑ Raghunathan, Madabusi S. 2. Lattices in Nilpotent Lie Groups // Discrete Subgroups of Lie Groups . - Springer, 2012. - ISBN 978-3-642-86428-5 .
↑ Eidemüller, M.; Dosch, HG; Jamin, M. (2000) [1999]. „Corelatorul intensității câmpului din regulile de sumă QCD”. Nucl. Fiz. B Proc. Supl . 86 : 421-5. arXiv : hep-ph/9908318 . Cod biblic : 2000NuPhS..86..421E . DOI : 10.1016/S0920-5632(00)00598-3 .
↑ Cornwell, JF Group Theory in Physics. - Presa Academică, 1984. - Vol. 2 Lie Groups și aplicațiile acestora. — ISBN 0121898040 .