Teorema lui Kotelnikov

Teorema lui Kotelnikov (în literatura engleză - teorema Nyquist  - Shannon , teorema de eșantionare ) - o afirmație fundamentală în domeniul prelucrării semnalelor digitale , conectând semnale continue și discrete și afirmând că „orice funcție constând din frecvențe de la 0 la , poate fi transmise continuu cu orice precizie cu numere care se succed în mai puțin de secunde » [1] .

Când am demonstrat teorema, am luat restricții asupra spectrului de frecvență , unde [2] .

Explicație

Această interpretare consideră cazul ideal când semnalul a început cu mult timp în urmă și nu se termină niciodată și, de asemenea, nu are puncte de întrerupere în caracteristica timpului . Dacă un semnal are discontinuități de orice fel în funcție de timpul său, atunci puterea sa spectrală nu dispare nicăieri. Acesta este exact ceea ce implică conceptul de „un spectru delimitat de sus de o frecvență finită ”.

Desigur, semnalele reale (de exemplu, sunetul pe un mediu digital) nu au astfel de proprietăți, deoarece sunt finite în timp și au de obicei discontinuități în caracteristica temporală. În consecință, lățimea spectrului lor este infinită. În acest caz, restabilirea completă a semnalului este imposibilă, iar următoarele corolare rezultă din teorema Kotelnikov [3] [4] :

• orice semnal analogic poate fi restabilit cu orice precizie din eșantioanele sale discrete, luate cu o frecvență , unde  este frecvența maximă, care este limitată de spectrul semnalului real;
• dacă frecvența maximă a semnalului este egală sau mai mare decât jumătate din frecvența de eșantionare ( aliasing ), atunci nu există nicio modalitate de a restabili semnalul de la discret la analog fără distorsiuni [5] .

Mai larg, teorema lui Kotelnikov afirmă că un semnal continuu poate fi reprezentat ca o serie de interpolare:

unde  este funcția sinc . Intervalul de eșantionare satisface constrângerile . Valorile instantanee ale acestei serii sunt mostre discrete ale semnalului .

Istorie

Deși în literatura occidentală teorema este adesea numită teorema Nyquist cu referire la lucrarea „ Cert topics in telegraph transmission theory ” 1928 , în această lucrare vorbim doar despre lățimea de bandă necesară a unei linii de comunicație pentru transmiterea unui semnal pulsat (repetarea rata trebuie să fie mai mică de două ori lățimea de bandă). Astfel, în contextul teoremei de eșantionare, este corect să vorbim doar despre frecvența Nyquist. Cam în aceeași perioadă, Karl Küpfmüller a obținut același rezultat [6] . Posibilitatea unei reconstrucții complete a semnalului original din citiri discrete nu este discutată în aceste lucrări. Teorema a fost propusă și demonstrată de Vladimir Kotelnikov în 1933 în lucrarea sa „Despre capacitatea de transmisie a eterului și a firului în telecomunicații”, în care, în special, una dintre teoreme a fost formulată după cum urmează [7] [8] : „ Orice funcție formată din frecvențe de la 0 la , poate fi transmisă continuu cu orice precizie folosind numere care urmează unul după altul în secunde » . Independent de el, această teoremă a fost demonstrată în 1949 (16 ani mai târziu) de Claude Shannon [9] , motiv pentru care în literatura occidentală această teoremă este adesea numită teorema lui Shannon. În 1999, Fundația Internațională pentru Știință Eduard Rein (Germania) a recunoscut prioritatea lui Kotelnikov acordându-i un premiu în nominalizarea „pentru cercetare fundamentală” pentru prima formulată matematic precis și dovedită în aspectul tehnologiilor de comunicare teorema de eșantionare [10] . Cercetările istorice arată, totuși, că teorema de eșantionare, atât în ​​ceea ce privește afirmarea posibilității de reconstrucție a unui semnal analog din citiri discrete, cât și în ceea ce privește metoda de reconstrucție, a fost considerată în termeni matematici de mulți oameni de știință anterior. În special, prima parte a fost formulată încă din 1897 de către Borel [11] .

Variații și generalizări

Ulterior, au fost propuse un număr mare de metode diferite de aproximare a semnalelor cu spectru limitat, generalizând teorema de eșantionare [12] [13] . Deci, în loc de o serie cardinală în funcțiile sinc , care sunt copii deplasate ale răspunsului la impuls al unui filtru trece-jos ideal, puteți utiliza serii în convoluții finite sau infinite ale funcțiilor sinc . De exemplu, următoarea generalizare a seriei Kotelnikov a unei funcții continue cu un spectru finit este valabilă pe baza transformărilor Fourier ale funcțiilor atomice [14] :

unde parametrii și satisfac inegalitatea și intervalul de discretizare:

Vezi și

• Formula de interpolare Whittaker-Shannon
• frecvența Nyquist
• Canalul digital principal
• Extrapolator de ordin zero
• Extrapolator de ordinul întâi
• Cuantizare (prelucrarea semnalului)
• Reeșantionarea
• Teorema de eșantionare în domeniul frecvenței

Note

1. ↑ Bikkenin, Ceșnokov, 2010 .
2. ↑ Kotelnikov V. A. Despre fluxul de eter și fir în telecomunicații - Comitetul pentru energie al întregii uniuni. // Materiale pentru Primul Congres Uniuneal privind reconstrucția tehnică a comunicațiilor și dezvoltarea industriei de joasă tensiune, 1933. Retipărirea articolului în UFN, 176:7 (2006), 762-770.
3. ↑ John C. Bellamy. Telefonie digitală. - Radio și comunicare, 1986.
4. ↑ Gitlits M. V., Lev A. Yu. Fundamentele teoretice ale comunicării multicanal. - M .: Radio și comunicare, 1985.
5. ↑ Ziatdinov S. I. / Reconstrucția semnalelor din eșantioanele sale bazată pe teorema de eșantionare a lui Kotelnikov Copia de arhivă din 25 februarie 2015 la Wayback Machine . — Instrumentație (nr. 5, 2010). — UDC 621.396:681.323.
6. ↑ K. Küpfmüller. Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, voi. 5, nr. 11, pp. 459-467, 1928. (germană); K. Küpfmüller, Despre dinamica regulatoarelor automate de amplificare, Elektrische Nachrichtentechnik, voi. 5, nr. 11, pp. 459-467. (Traducere in engleza).
7. ↑ Kotelnikov V. A. On the throughput of "ether" and wire in telecommunications  // Uspekhi fizicheskikh nauk : Journal. - 2006. - Nr 7 . - S. 762-770 . Arhivat din original pe 23 iunie 2013.
8. ↑ Kharkevich A. A. Spectre și analize - ed. a IV-a. - Moscova: URSS: LKI, 2007. - S. 89.
9. ↑ C.E. Shannon. Comunicare în prezența zgomotului. Proc. Institutul de Ingineri Radio. Vol. 37. Nu. 1. P. 10-21. ian. 1949.
10. ↑ Cu ocazia împlinirii a 100 de ani de la nașterea academicianului Vladimir Alexandrovich Kotelnikov Copie de arhivă din 23 iunie 2013 la Wayback Machine .
11. ↑ Erik Meijering. O cronologie a interpolării de la astronomia antică la procesarea modernă a semnalului și a imaginilor, Proc. IEEE, 90, 2002. doi : 10.1109/5.993400 .
12. ↑ Teorema de eșantionare a lui Jerry A. J. Shannon, diferitele generalizări și aplicații. Revizuire. - TIIER, vol. 65, Nr. 11, 1977, p. 53-89.
13. ↑ Khurgin Ya. I., Yakovlev V. P. Progresul în Uniunea Sovietică în domeniul teoriei funcțiilor finite și al aplicațiilor sale în fizică și tehnologie. - TIIER, 1977, v. 65, nr. 7, p. 16-45.
14. ↑ Basarab M. A., Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Yakovlev V. P. Procesarea digitală a semnalului bazată pe teorema Whittaker-Kotelnikov-Shannon. - M .: Inginerie radio, 2004.

Literatură

• H. Nyquist . Anumite subiecte din teoria transmisiei telegrafice. Trans. AIEE, voi. 47, pp. 617-644, apr. 1928.
• Kotelnikov V. A. Despre capacitatea eterului și firului în telecomunicații - Comitetul pentru energie al întregii uniuni. // Materiale pentru Primul Congres Uniuneal privind reconstrucția tehnică a comunicațiilor și dezvoltarea industriei de joasă tensiune, 1933. Retipărirea articolului în UFN, 176:7 (2006), 762-770.
• Bikkenin R. R., Chesnokov M. N. Teoria comunicării electrice. - M . : Centrul de Editură „Academia”, 2010. - 329 p. - ISBN 978-5-7695-6510-6 .

Link -uri

• Teorema lui Kotelnikov la dsplib.org
• Eșantionarea semnalelor analogice O prezentare interactivă a eșantionării timpului. Institutul de Telecomunicații, Universitatea din Stuttgart