Teorema maimuței infinite

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 octombrie 2018; verificările necesită 54 de modificări .

Teorema maimuței infinite (într-una dintre numeroasele versiuni ale formulării) afirmă că o maimuță abstractă, lovind la întâmplare tastele unei mașini de scris pentru un timp nelimitat, mai devreme sau mai târziu va introduce orice text în avans.

Expresia „mai devreme sau mai târziu” din punctul de vedere al teoriei probabilităților înseamnă că probabilitatea unui eveniment dat tinde spre unitate pe măsură ce timpul tinde spre infinit, „maimuță” înseamnă un dispozitiv abstract care generează o secvență aleatorie de elemente ale alfabetului folosit. .

Teorema dezvăluie inexactități în concepția intuitivă a infinitului ca număr mare, dar limitat. Probabilitatea ca o maimuță să tipărească la întâmplare o lucrare atât de complexă precum drama lui Shakespeare Hamlet este atât de mică încât cu greu s-ar fi întâmplat în timpul care a trecut de la începutul universului. Cu toate acestea, pe o perioadă nedefinită de timp, acest eveniment va avea loc cu siguranță (cu condiția ca maimuța să nu moară de bătrânețe sau de foame, hârtia și cerneala să nu se epuizeze, iar mașina de scris să nu se rupă).

Dacă transferăm aceste argumente la o scară previzibilă, atunci teorema va afirma că, dacă batem la întâmplare mult timp la tastatură , atunci vor apărea cuvinte semnificative , fraze și chiar propoziții printre textul tastat . În unele formulări ale teoremei, o maimuță este înlocuită cu mai multe sau chiar cu un număr infinit de ele, iar textul variază de la conținutul unei biblioteci întregi la o singură propoziție. Preistoria teoremei provine din lucrările lui Aristotel („ Despre creație și distrugere ”) și Cicero („ Despre natura zeilor ”, „ Despre divinație ”), idei înrudite se găsesc în lucrările lui Blaise Pascal și lucrările a lui Jonathan Swift , precum și a unora dintre contemporanii noștri . La începutul secolului XX. Émile Borel și Arthur Eddington au folosit teorema pentru a indica scările de timp pe care intră în joc legile mecanicii statistice .

Teorema într-o formă de știință populară descrie unele aspecte ale teoriei probabilității, popularitatea sa în rândul maselor este explicată printr-un paradox vizibil. Interesul pentru teoremă, în plus, este susținut de o serie de apariții ale acesteia în literatură, televiziune, radio, muzică și internet . În 2003, un experiment pentru a testa teorema într-un mod semi-glumător a fost efectuat în realitate, șase maimuțe au participat la el . Cu toate acestea, contribuția lor literară s-a ridicat la doar cinci pagini de text, conținând în mare parte litera S [1] .

Motivație

Explicație teoretică

Conform teoremei înmulțirii probabilităților , dacă două evenimente sunt independente statistic, adică rezultatul unui eveniment nu afectează rezultatul celuilalt, atunci probabilitatea ca ambele evenimente să apară împreună este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. [2] . De exemplu, dacă probabilitatea de a lovi un anumit număr în zaruri este 1/6, iar șansa de a câștiga la ruleta dublu zero este 1/38, atunci probabilitatea de a câștiga în două jocuri simultan este 1/6 1/38 = 1/228 .

Acum să presupunem că mașina de scris are 50 de taste și cuvântul care trebuie tastat este „banană”. Dacă tastele sunt lovite aleatoriu, probabilitatea ca primul caracter imprimat să fie litera „b” este de 1/50; la fel este și probabilitatea ca al doilea caracter tipărit să fie „a”, și așa mai departe. Aceste evenimente sunt independente; astfel, probabilitatea ca primele cinci litere să alcătuiască cuvântul „banană” este (1/50) 5 . Din același motiv, probabilitatea ca următoarele 5 litere să fie din nou cuvântul „banană” este de asemenea (1/50) 5 și așa mai departe.

Este ușor de calculat probabilitatea ca un bloc de 5 litere tipărite aleatoriu să nu fie cuvântul „banană”. Este egal cu 1 − (1/50) 5 . Deoarece fiecare bloc este tipărit independent, probabilitatea ca niciunul dintre primele n blocuri de 5 litere să nu se potrivească cu cuvântul „banană” este:

Pe măsură ce n crește , după cum se poate vedea din formulă, P scade.

Număr de blocuri de text, n
 Probabilitatea de a nu scrie cuvântul „banană”, P
1000 99,999%
1.000.000 99,68%
100.000.000 73%
1.000.000.000 patru%

O formulă similară se aplică oricărui alt șir de caractere de lungime finită. Aceasta arată de ce printre un număr infinit de maimuțe există una care reproduce cu acuratețe un text de orice complexitate (de exemplu, „ Hamlet ”). În exemplul de mai sus, dacă experimentul implică un miliard de maimuțe, probabilitatea ca niciuna dintre ele, apăsând aleatoriu cinci taste ale unei mașini de scris, să tastați cuvântul „banană” este de 4%. În cazul în care numărul de maimuțe n tinde spre infinit, valoarea lui P (probabilitatea ca niciuna dintre cele n maimuțe să nu poată reproduce textul dat) tinde spre zero. Dacă înlocuim cuvântul „banană” cu textul „Hamlet”, exponentul va crește de la 5 la numărul de caractere din acest text, dar esența acestuia nu se va schimba [3] .

Din demonstrația de mai sus, se obțin diferitele formulări originale ale teoremei: „probabilitatea ca un număr infinit de maimuțe să tastaze orice text dat la prima încercare este 1” sau „o dactilografă maimuță care lucrează la nesfârșit va tipări mai devreme sau mai târziu orice dat. text de lungime finită (de exemplu, textul acestui articol). Dovada nu a ținut cont de faptul că cuvântul „banană” poate fi tipărit și între blocuri de text tipărit aleatoriu, dar, așa cum este ușor de observat, acest lucru nu îi afectează corectitudinea, deoarece aici avem de-a face cu valori infinit de mari . Din această cauză, se poate argumenta, printre altele, că într-o perioadă de timp infinit de lungă, o maimuță abstractă nu numai că va tipări operele complete ale lui Shakespeare , ci va face acest lucru de un număr infinit de ori.

Probabilitate reală

Ignorând semnele de punctuație , spațiile și diferențele dintre literele mari și mici , maimuțele care lovesc la întâmplare tastele unei mașini de scris englezești și încearcă să tasteze textul original din „ Hamlet ” au la dispoziție 26 de litere englezești. Probabilitatea de a tasta corect primele două litere ale textului este 1/676 = 1/26 1/26 . Deoarece probabilitatea scade exponențial , șansa de a introduce corect primele 20 de litere ale textului va scădea o dată din 26 20 = 19 928 148 895 209 409 152 340 197 376 (aproximativ 2 10 28 ). Probabilitatea de a tasta la întâmplare întregul text al unei lucrări celebre, în lipsa unei definiții mai adecvate, este astronomic mică. Textul lui Hamlet conține 132.680 de litere [4] . În consecință, este egal cu 1/(3,4 10 183 946 ) .

S-a calculat că, chiar dacă întreaga parte observabilă a universului ar fi fost plină de maimuțe care au tastat de-a lungul existenței sale , probabilitatea ca acestea să tasteze un singur exemplar al cărții este totuși de doar 1/10 183 800 . Potrivit lui Kittel și Krömer , „această probabilitate este zero în orice sens practic”. Totuși, afirmația teoremei că un astfel de eveniment este posibil în cazul unui număr infinit de maimuțe „creează iluzia că se va întâmpla dacă în spatele mașinilor de scris sunt foarte, foarte multe maimuțe”. Această frază aparține autorilor cărții [5] despre termodinamică . Fundamentele statistice ale termodinamicii au fost cele care au atras mai întâi atenția unei game largi de oameni asupra conținutului acestei teoreme.

Cu toate acestea, există o părere că o astfel de situație ar putea fi deja realizată în natură, și de un număr infinit de ori [6] . Având în vedere o situație abstractă care ar putea fi realizată în modelul newtonian al Universului infinit , în care infinitul este identificat cu infinitul, iar timpul este considerat ca fiind extins la infinit, autorii susțin că într-un astfel de volum nelimitat există o oportunitate pentru realizarea unui tot ceea ce poate fi realizat doar, se poate întâmpla orice eveniment, și nu o dată, ci de un număr infinit de ori:

Alte forme de viață le-ar putea duplica pe a noastră, ca și pe oricare alta, iar și iar în tot felul de moduri, fiecare posibilitate individuală repetată de nenumărate ori. Ar exista tot felul de versiuni ale ceea ce citiți acum, în toate limbile umane (și non-umane), și fiecare posibilitate ar fi realizată nu într-un loc sau în mai multe locuri, ci într-un număr infinit de locuri.

În plus, nu trebuie să ignorați cerința de independență statistică a tastelor între ele. Mențiunea experimentului cu șase maimuțe în introducerea articolului, în care s-a dovedit că maimuțele nu sunt capabile să producă lovituri de tastatură distribuite uniform, o ilustrează perfect.

Istorie

Mecanica statistică

Una dintre formele în care teoria probabilității cunoaște acum această teoremă a apărut în articolul lui Émile Borel „ Mecanica statistică și ireversibilitate ” [7] și în cartea sa din 1914 „ The Chance ” . „Maimuțele” lui au fost văzute ca generatoare abstracte de secvențe aleatorii de litere. Borel a subliniat că, chiar dacă un milion de maimuțe tastează timp de zece ore pe zi, este extrem de puțin probabil să tipărească un text care să se potrivească complet cu conținutul tuturor cărților din toate bibliotecile lumii. Și totuși, probabilitatea ca acest eveniment să se producă este mai mare decât probabilitatea ca legile mecanicii statistice să fie încălcate chiar și ușor.

Fizicianul Arthur Eddington a ilustrat mai clar această idee. În Natura lumii fizice ( 1928 ) el a scris:

Dacă îmi las degetele să rătăcească cu mâna pe tastele unei mașini de scris, se poate întâmpla să pot scrie o propoziție cu sens. Dacă o armată de maimuțe bate cheile mașinilor de scris, ar putea tipări toate cărțile de la British Museum. Șansa ca ei să facă acest lucru este cu siguranță mai mare decât șansa ca toate moleculele să fie colectate într-o jumătate a vasului [8] .

Aceste ilustrații îl invită pe cititor să-și dea seama cât de neglijabilă este probabilitatea ca multe, dar nu infinite maimuțe să imprime vreo lucrare utilă într-o perioadă lungă, dar nu infinită, și să compare aceasta cu probabilitatea și mai mică a unor evenimente fizice. Orice proces fizic care este chiar mai puțin probabil decât succesul acestor maimuțe poate fi, de fapt, considerat imposibil [5] .

Origini non-științifice

Romanul lui Jonathan Swift Călătoriile lui Gulliver descrie un inventator, membru al Academiei de proiecție din Lagado, care a construit o mașină care emite combinații aleatorii ale tuturor cuvintelor existente. Au fost scrise propoziții semnificative pentru a fi incluse ulterior în „compendiul complet al tuturor științelor și artelor”.

În „ Cyberiad ” de Stanislav Lem , eroii au creat un demon de al doilea fel , care a procesat textele obținute din mișcarea haotică a atomilor de gaz și le-a selectat pe cele adevărate dintre ele.

În eseul său „ Biblioteca mondială ”, scriitorul argentinian Jorge Luis Borges a trasat istoria teoremei maimuței infinite încă din timpul lui Aristotel și faimoasa sa „ Metafizică ”. Explicând punctul de vedere al lui Leucip , care credea că lumea din jurul lui este o combinație aleatorie de atomi , Aristotel subliniază că atomii înșiși sunt omogene , iar dimensiunile lor posibile diferă doar în formă, poziție și stare. În eseul său „ Despre creație și distrugere ”, în sprijinul celor spuse, filozoful grec compară tragedia și comedia, care constau în esență din aceiași atomi - literele alfabetului [9] . Trei secole mai târziu, Cicero critică atomismul în lucrarea sa Despre natura zeilor :

Nu înțeleg de ce o persoană care crede că acest lucru s-ar putea întâmpla nu ar trebui să creadă că, dacă toate cele douăzeci și una de litere au fost făcute din aur sau din alt material în cantități uriașe, și atunci aceste litere au fost aruncate pe pământ, atunci de la ele imediat ia „Analele” Ennius , ca să poată fi citite chiar acolo. Este puțin probabil ca, întâmplător, chiar și o singură linie [10] să poată rezulta astfel .

În eseul său, Borges citează argumentele lui Blaise Pascal și Jonathan Swift . Potrivit acestuia, până în 1939 conținutul teoremei a luat forma sub forma următoarei expresii: „O jumătate de duzină de maimuțe cu mașini de scris într-un număr mic de eternități vor dactilografia toate cărțile Muzeului Britanic”. Borges însuși a adăugat că, „strict vorbind, o maimuță nemuritoare ar fi suficientă”. Autorul și-a transferat conceptul la una dintre nuvelele „ Biblioteca Babiloniană ”, care a fost foarte populară în rândul cititorilor la un moment dat. În ea, el a descris o bibliotecă inimaginabil de voluminoasă, constând din camere hexagonale, în care cărțile sunt stocate cu tot felul de combinații aleatorii de litere ale alfabetului și câteva semne de punctuație:

…biblioteca este cuprinzătoare. Pe rafturile sale găsești de toate: o istorie detaliată a viitorului, autobiografii ale arhanghelilor, catalogul corect al Bibliotecii, mii și mii de cataloage false, dovada falsității catalogului corect, Evanghelia gnostică a Bazilidei, o comentariu la această Evanghelie, un comentariu la comentariul acestei Evanghelii, o poveste adevărată despre propria ta moarte, traducerea fiecărei cărți în toate limbile... Mii de oameni însetați și-au părăsit hexagoanele natale și s-au repezit pe scări, mânați de o dorință zadarnică de a-și găsi justificarea... Într-adevăr, Scuzele există (s-a întâmplat să văd două legate de oamenii viitorului, poate nu fictive), dar cei care au pornit în căutare, au uitat că pentru o persoană probabilitatea de a găsi Justificarea sa sau o versiune denaturată a acesteia este egală cu zero.

Evoluție și creaționism

Această teoremă este adesea folosită ca argument de către creaționiști, ceea ce, în opinia lor, dovedește imposibilitatea generării spontane a vieții. Ei susțin că, deoarece universul nostru are o vârstă limitată, iar cele mai simple forme de viață sunt nemăsurat mai complexe decât drama lui Shakespeare, probabilitatea acestui eveniment este practic zero.

Trebuie remarcat faptul că afirmația teoremei maimuței infinite este că un eveniment rar se va întâmpla mai devreme sau mai târziu. Astfel, este în general incorect să se fundamenteze afirmația opusă - despre imposibilitatea acestui eveniment rar - în general, iar în raționamentul creaționștilor, referirile la acesta sunt folosite în principal ca un dispozitiv polemic.

Richard Dawkins în cartea sa „The Blind Watchmaker ” notează că toate astfel de calcule nu țin cont de rolul acumulativ al selecției naturale [11] . Pentru a demonstra capacitatea selecției naturale de a crea complexitate biologică din mutații aleatorii, el a creat programul Weasel .. Acest program reproduce fraza lui Hamlet „CĂ PĂREȘTE CA O NEVAȘICA” („Arăta ca o nevăstuică”), începând cu un set aleatoriu de litere, „prezentând” generația următoare cu „mutații” aleatorii și alegând potriviri apropiate de fraza dorită. Deși probabilitatea de a obține fraza dorită la un pas este foarte mică, Dawkins a arătat totuși că programul, folosind selecția acumulată, ajunge rapid (în aproximativ 40 de generații) la fraza dorită. Cu toate acestea, după cum remarcă Dawkins, programul Weasel nu este o analogie exactă a evoluției, deoarece selecția naturală, spre deosebire de acest program, nu are un scop îndepărtat. În schimb, se dorește să arate diferența dintre selecția cumulativă non-aleatorie și selecția unică aleatorie [12] .

Reflecție în cultura populară

Considerată o ilustrare populară a probabilității matematice, teorema maimuței infinite și clonele sale sunt cunoscute de majoritatea oamenilor mai mult din cultura populară decât din clasa de matematică.

În filmul Route 60 , există o linie:

Există o teorie că Universul și timpul sunt infinite, ceea ce înseamnă că orice se poate întâmpla, adică orice eveniment este inevitabil, altfel nu s-ar întâmpla!

Teorema a fost popularizată pentru prima dată de astronomul Arthur Stanley Eddington . A devenit parte a expresiilor idiomatice datorită povestirii umoristice SF a lui Russell Maloney Inflexible Logic , în care maimuțele, contrar bunului simț, scriau cu acuratețe o carte după alta.

De asemenea, teorema a fost menționată în Ghidul pentru autostopul galaxiei de Douglas Adams :

— Ford! a spus el, „acolo, există un număr infinit de maimuțe.
Și vor să discute cu noi despre „Hamlet” cu care au venit.

— Douglas Adams , Ghidul autostopiștilor către galaxie

O agenție de publicitate britanică a filmat o reclamă care face aluzie la Teorema Maimuței Infinite. În acest videoclip, este pus la punct un „experiment”: zeci de aparate de cafea și maimuțe sunt așezate în cameră, în această poveste maimuțele nu au putut prepara cafea, deoarece, potrivit autorilor videoclipului, a face cafea este o artă [ 13] .

Tema a fost prezentată și în serialul animat Cartoon Network I am Weasel în sezonul 5, episodul 23, „ A Troo Storee ”. Teoria despre posibilitatea scrierii unei cărți de maimuțe care lovesc accidental tastele este susținută de unul dintre personajele principale ale seriei, Y. Ermine, dar experimentul de testare a teoriei este aproape frustrat din cauza sabotajului de către majoritatea maimuțelor, cu excepția celui de-al doilea personaj principal al seriei, Baboon. Calitatea rezultatului se dovedește însă a fi foarte departe de Shakespeare.

În cel de-al 17-lea episod al sezonului 4 al serialului animat The Simpsons , a fost prezentat subsolul domnului Burns , în care un număr mare de maimuțe, așezate la mașini de scris, tastau text.

La 1 aprilie 2000, a fost publicată o propunere de lucru cu benzi desenate ( RFC , o serie de standarde de facto de internet) pentru a reglementa munca unui număr infinit de maimuțe colective [14] (vezi RFC-urile lui April Fools ).

Vezi și

Note

  1. ↑ Fără cuvinte pentru a descrie jocul maimuțelor , BBC News (9 mai 2003). Arhivat din original pe 27 martie 2014. Preluat la 25 iulie 2009.
  2. ↑ Gmurman V.E. Teoria Probabilității și Statistica Matematică. - Ed. a 9-a. - M . : Liceu, 2003. - S. 37-47. — 479 p. — ISBN 5-06-004214-6 .
  3. ↑ Isaac, Richard E. Plăcerile probabilității. - Springer, 1995. - S. 48-50. — ISBN 038794415X .
  4. ↑ Textul în limba engleză al lui Hamlet Arhivat pe 20 septembrie 2012 la Wayback Machine din Biblioteca Gutenberg conține 132.680 de caractere alfabetice, pentru un total de 199.749 de caractere.
  5. ↑ 1 2 Kittel, Charles și Herbert Kroemer . Fizica termică (ed. a II-a). - WH Freeman Company, 1980. - P. 53. - ISBN 0-7167-1088-9 .
  6. ↑ D. Goldsmith, T. Owen. Căutarea vieții în univers = The Search for Life in the Universe. - M . : Mir, 1983. - S. 56-58. — 488 p.
  7. ↑ Emile Borel. Mécanique Statistique et Irreversibilité  // J. Phys. seria 5e. - 1913. - T. 3 . - S. 189-196 .
  8. ↑ Arthur Eddington. Natura lumii fizice: Prelegerile Gifford  (engleză) . - New York: Macmillan, 1928. - P.  72 . - ISBN 0-8414-3885-4 .
  9. ↑ Aristotel, De Generatione et Corrupione, 315b14.
  10. ↑ Marcus Tullius Cicero, De natura deorum , 2.37. Traducere din Disputațiile Tusculane ale lui Cicero; De asemenea, Tratate despre natura zeilor și despre Commonwealth , CD Yonge, traducător principal, New York, Harper & Brothers Publishers, Franklin Square. (1877). Text descărcabil Arhivat pe 29 septembrie 2007 la Wayback Machine .
  11. ↑ Kipyatkov V. E. Workshop privind modelarea matematică în teoria evoluției. Partea I. Factori ai microevoluţiei. Sankt Petersburg: De la Universitatea de Stat din Sankt Petersburg. 2000
  12. ↑ Dawkins, Richard. Orb ceasornicarul. W. W. Norton & Co. pp. 46-50. ISBN 0-393-31570-3 .
  13. ↑ Alena Lasch. Maimuțele nu puteau face cafea ca în Costa . Sostav.ru (13 octombrie 2010). Consultat la 14 noiembrie 2010. Arhivat din original pe 18 noiembrie 2010.
  14. ↑ S. Christey. Suita Infinite Monkey Protocol (IMPS  ) . tools.ietf.org. Consultat la 30 iunie 2018. Arhivat din original la 18 noiembrie 2018.

Literatură