Punctele lui Torricelli

Punctele Torricelli sunt două puncte din care toate laturile unui triunghi sunt vizibile fie la un unghi de 60°, fie la un unghi de 120°. Aceste puncte din triunghi sunt „pereche”. Aceste puncte sunt uneori numite puncte Fermat sau puncte Fermat-Torricelli .

Cele două puncte Torricelli sunt punctele de intersecție ale segmentelor de dreaptă care leagă vârfurile triunghiului:
- cu vârfurile libere corespunzătoare ale triunghiurilor echilaterale construite pe laturile opuse ale triunghiului (în afară) - primul punct al lui Torricelli
- cu vârfurile libere corespunzătoare ale triunghiurilor regulate construite pe laturi opuse în interiorul triunghiului - al doilea punct Torricelli .

Proprietăți

Primul punct al lui Torricelli este punctul triunghiului din care toate laturile sunt văzute la un unghi de 120° (prin definiție).
Primul punct Torricelli are cea mai mică sumă de distanțe până la vârfurile triunghiului. Există doar în triunghiuri cu unghiuri mai mici de 120°; în plus, este unic și, prin urmare, este un caz special al punctului Fermat existent în orice triunghi.
Cele două puncte Torricelli și punctul Lemoine se află pe aceeași linie.
Punctele Torricelli sunt conjugate izogonal cu punctele Apollonius .
Construim două linii, fiecare trecând prin punctul Apollonius și punctul Torricelli, care este diferit de conjugatul său izogonal . Astfel de drepte se vor intersecta în punctul de intersecție al medianelor (la centrul de centru al triunghiului ).
Teorema lui Lester [1] . În orice triunghi scalen, cele două puncte Torricelli , centrul celor nouă puncte și centrul cercului circumscris se află pe același cerc ( cercul lui Leicester ).

O hiperbolă Kiepert este o hiperbolă circumscrisă care trece printr-un centroid și un ortocentru . Dacă construim triunghiuri isoscele similare pe laturile unui triunghi (în afară sau înăuntru) și apoi conectăm vârfurile lor la vârfurile opuse ale triunghiului original, atunci trei astfel de linii se vor intersecta într-un punct, situate pe hiperbola Kiepert. În special, pe această hiperbolă se află punctele Torricelli și punctele Napoleon (puncte de intersecție ceviane care leagă vârfurile cu centrele triunghiurilor regulate construite pe laturi opuse) [2] .

Notă

Apropo, în prima figură din dreapta, centrele celor trei triunghiuri echilaterale sunt ele însele vârfurile unui nou triunghi echilateral ( Teorema lui Napoleon ). În plus, . $AA'=BB'=CC'$

Literatură

Point Farm
Punctul Torricelli
Exemplu practic de construire a punctului Fermat (engleză)
Puncte remarcabile ale triunghiului
Problema Fermat-Torricelli și dezvoltarea ei// http://pmpu.ru/vf4/algebra2/optimiz/distance/torri
* Dm. Efremov. Noua geometrie a triunghiului 1902
Protasov V. Yu. Maxime și minime în geometrie . — M .: MTsNMO. — 56 p. - (Biblioteca „Educația matematică”, numărul 31).

Vezi și

Note

↑ Yiu, 2010 , p. 175–209.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Proprietățile geometrice ale curbelor de ordinul doi. - Ed. a II-a, Suplimentar - 2011. - S. 125-126.

Literatură

Paul Yiu. Cercurile lui Lester, Evans, Parry și generalizările lor // Forum Geometricorum. - 2010. - or. 10 .

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex