Matricea de transpunere

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 28 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

O matrice de transpunere ( -matrice) este o matrice pătrată de dimensiune ( , ), ale cărei elemente sunt obținute din elementele unui vector -dimensional dat prin formula: $Tr$ $n\ ori n$ $n=2^{m)$ $m\în N$ $n$ $X=(x_{i})$

Tr(X)_{i,j}=x_{(i-1)\oplus (j-1)+1)

unde simbolul denotă operația pe biți „ adăugare modulo 2 ”. Rândurile și coloanele unei matrice de transpoziție sunt permutări ale vectorului ; fiecare rând și coloană conține toate elementele vectorului fără repetare. -matricea este bisimetrică : și pentru orice și . $\oplus$ $X$ $Tr(X)$ $X$ $Tr$ $Tr_{i,j}=Tr_{j,i})$ $Tr_{i,j}=Tr_{n-j+1,n-i+1)$ $i$ $j$

De exemplu, matricea de transpoziție obținută dintr-un vector: $Tr(X)$

X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8} \\\end{pmatrix}}

se pare ca:

Tr(X)={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&|&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\ x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&|&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{ 2}&|&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&|&x_{8}&x_{7}&x_{ 6}&x_{5}\\-&-&-&-&|&-&-&-&-\\x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&|&x_{1}&x_ {2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&|&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_ {7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&|&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5 }&|&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}

Proprietatea cvadruplelor

O pereche arbitrară de rânduri, rânduri (sau pereche de coloane) a matricei de transpunere conține patru dintre elementele cu valori egale ale elementelor diagonale. De exemplu, dacă și sunt două elemente selectate aleatoriu dintr-o coloană a matricei , atunci această proprietate implică faptul că -matricea conține patru dintre elementele pentru care ecuațiile și sunt satisfăcute . Această proprietate „proprietatea celor patru” este specifică -matricelor. $n/2$ $Tr_{p,q)$ $Tr_{u,q)$ $q$ $Tr$ $Tr$ $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$ $Tr_{p,q}=Tr_{u,v)$ $Tr_{u,q}=Tr_{p,v)$ $Tr$

Matrice de transpunere cu rânduri reciproc ortogonale

Proprietatea patruselor permite obținerea unei matrice cu rânduri reciproc ortogonale dintr-o matrice de transpunere prin schimbarea semnului unui număr impar de elemente în fiecare dintre patru , . Există un algoritm pentru construirea unei matrice folosind produsul pe component al unei matrice și al unei matrice Hadamard -dimensionale , ale cărei rânduri (cu excepția primei) sunt permutate în așa fel încât rândurile matricei rezultate să fie reciproc ortogonale . : $Tr$ $Trs$ $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$ $p,q,u,v\in [1,n]$ $Trs$ $Tr$ $n$ $H=(h_{ij})$ $Trs$

Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)

Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n)

Unde:

" " - produsul lui Hadamard,

\circ

În}

este matricea de identitate,

H(R)

- - matrice Hadamard dimensională cu permutare de rând , care schimbă semnul unui număr impar de elemente în fiecare dintre cele patru;

n

R=[1,r_{2},...r_{n}]^{T},r_{2},...r_{n}\in [2,n]

X

este vectorul din care sunt derivate elementele matricei .

Tr

Ordinea rândurilor matricei Hadamard a fost obținută experimental pentru matrice de dimensiunile 2, 4 și 8. Ordinea rândurilor matricei Hadamard (față de matricea Sylvester-Hadamard) nu depinde de vector . S-a demonstrat [1] că dacă este un vector unitar ( ), atunci . $R$ $Trs$ $R$ $X$ $X$ $\parallel X\parallel =1$ $det(Trs)=-1$

Un exemplu de obținere a matricei Trs

O matrice de transpunere cu rânduri reciproc ortogonale la , se obține dintr-un vector prin formula: $Trs(X)$ $n=4$ $X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\\\end{pmatrix))$

Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\ final{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_ {3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{ 1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&- x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}

unde este matricea obținută din vectorul , H(R) este matricea Hadamard cu deplasarea rândurilor în ordinea R dată, pentru care rândurile Matricei Trs rezultate sunt reciproc ortogonale. Primul rând al matricei rezultate conține elementele vectorului fără permutări și modificări de semn. Având în vedere că rândurile matricei sunt reciproc ortogonale: $Tr(X)$ $Tr$ $X$ $Trs(X)$ $X$ $Trs$

Trs(X).X=\parallel X\parallel ^{2}.[1,0,0,0]^{T)

prin urmare, matricea rotește vectorul din care este derivată în direcția axei . Ordinea rândurilor matricei Hadamard nu depinde de vector . Exemple de generare de matrice au fost publicate pentru . Rămâne o întrebare deschisă dacă este posibil să se creeze matrice Trs de dimensiune mai mare de 8. $Trs$ $X$ $x_{1}$ $R$ $X$ $Tr$ $Trs$ $n=2,4,8$

Note

↑ Zhelezov OI Determinarea unui caz special de matrici simetrice și aplicațiile lor. Subiecte curente despre matematică și informatică Vol. 6, 29-45 ISBN= 978-93-91473-89-1

Literatură

Bellman R. Introducere în teoria matricelor . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Gantmakher F. R. Teoria matricei. - a 5-a ed. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 p. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (ed. a II-a). — M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Calcule matrice. — M .: Mir, 1999. — 548 p. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Curs de algebră superioară. - Ed. a 9-a. - M . : Nauka, 1968. - 432 p.

Link -uri

http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html

Vectori și matrice

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiul coloanei
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte