Ecuația lui Kepler

Ecuația Kepler descrie mișcarea unui corp de-a lungul unei orbite eliptice în problema celor două corpuri și are forma:

Ee\,\sin E=M

unde este anomalia excentrică , este excentricitatea orbitală și este anomalia medie . $E$ $e$ $M$

Această ecuație a fost obținută pentru prima dată de astronomul Johannes Kepler în 1619 . Joacă un rol semnificativ în mecanica cerească .

Variante ale ecuației Kepler

Ecuația lui Kepler în forma sa clasică descrie mișcarea numai de-a lungul orbitelor eliptice, adică la . Mișcarea de-a lungul orbitelor hiperbolice se supune ecuației hiperbolice a lui Kepler , care este similară ca formă cu cea clasică. Mișcarea în linie dreaptă este descrisă de ecuația radială a lui Kepler . În cele din urmă, ecuația Barker este folosită pentru a descrie mișcarea pe o orbită parabolică . Când orbitele nu există. $0\leq e<1$ $(e>1)$ $(e=-1)$ $(e=1)$ $e<0$

O problemă care duce la ecuația Kepler

Luați în considerare mișcarea unui corp pe orbită în câmpul altui corp. Să aflăm dependența de timp a poziției corpului pe orbită. Din a doua lege a lui Kepler rezultă că

r^{2}{\frac {d\vartheta {dt}}={\rm {const}}={\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)} }

Aici este distanța de la corp la centrul gravitațional, este adevărata anomalie este unghiul dintre direcțiile către pericentrul orbitei și față de corp, este produsul constantei gravitaționale și masa corpului gravitațional, este semi-axa majoră a orbitei. De aici este posibil să se obțină dependența timpului de mișcare de-a lungul orbitei de adevărata anomalie: $r$ $\vartheta$ $\mu =GM_{0}$ $A$

t-t_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)})}\int \limits _{0}^{\ vartheta }r^{2}d\vartheta

Iată momentul trecerii prin periapsis. $t_0$

Soluția ulterioară a problemei depinde de tipul de orbită de-a lungul căreia se mișcă corpul.

Orbită eliptică

Ecuația elipsei în coordonate polare are forma

r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos {\vartheta ))}

Apoi ecuația timpului ia forma

{\displaystyle t-t_{0}={\frac {\left(a\left(1-e^{2}\right)\right)^{3/2)} {\sqrt {\mu ))} \int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+e\cos {\vartheta })^{2))))

Pentru a lua integrala, introduceți următoarea înlocuire:

\operatorname {tg} {\frac {\vartheta {2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {E {2}}

Valoarea lui E se numește anomalie excentrică . Datorită acestei înlocuiri, integrala este ușor de luat. Rezultă următoarea ecuație:

t-t_{0}={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}\left(Ee\sin E\right)

Valoarea este viteza unghiulară medie a corpului pe orbită. În mecanica cerească, termenul mișcare medie este folosit pentru această mărime . Produsul mișcării medii și timpului se numește anomalia medie M. Această valoare este unghiul la care s-ar întoarce vectorul rază al corpului dacă s-ar deplasa pe o orbită circulară cu o rază egală cu semiaxa majoră a orbitei corpului. ${\sqrt {{\frac {\mu }{a^{3))))}$

Astfel, obținem ecuația Kepler pentru mișcarea eliptică:

Ee\sin E=M

Orbită hiperbolică

Ecuația unei hiperbole în coordonate polare are aceeași formă ca ecuația unei elipse. Prin urmare, integrala se obține în aceeași formă. Cu toate acestea, anomalia excentrică nu poate fi utilizată în acest caz. Folosim reprezentarea parametrică a hiperbolei: , . Atunci ecuația pentru hiperbola ia forma $x=-a\,{\mathrm {ch}}\,H$ $y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\,\mathrm {sh} \,H$

r=a\left(e\,\mathrm {ch} \,H-1\right)

și relația dintre și $\vartheta$ $H$

\mathrm {tg} \,{\frac {\vartheta {2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\,\mathrm {th} \,{ \frac {H}{2}}

Datorită acestei substituții, integrala ia aceeași formă ca și în cazul unei orbite eliptice. După efectuarea transformărilor, obținem ecuația Kepler hiperbolică:

M=e\,{\mathrm {sh}}\,HH

Mărimea se numește anomalie excentrică hiperbolică . Deoarece , atunci ultima ecuație poate fi transformată după cum urmează: $H$ ${\mathrm {sh}}\,H=-i\sin {iH}$

M=-ei\sin {iH}-H=i\left(iH-e\sin {iH}\right)=i\left(Ee\sin E\right)

De aici este clar că . $E=iH$

Orbită parabolică

Ecuația parabolei în coordonate polare are forma

$r={\frac {2\,r_{\pi }}{1+\cos \vartheta }}$

unde este distanța până la periapsis. A doua lege a lui Kepler pentru cazul mișcării de-a lungul unei traiectorii parabolice $r_{\pi )$

$r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {2\,\mu \,r_{\pi }}}$

De unde obținem integrala care determină timpul de mișcare

${\displaystyle t-t_{0}=2\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0} ^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+\cos \vartheta )^{2))))$

Introducem o modificare trigonometrică universală

$z={\rm {tg}}\,{\frac {\vartheta {2)),\quad \vartheta =2\,{\rm {arctg}}\,z,\quad d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}},\quad \cos \vartheta ={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}$

și transformă integrala

$t-t_{0}=4\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0} ^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}{\frac {\cfrac {dz}{1+z^{2}}}{\left(1+{\ cfrac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right)^{2}}}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\ pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}(1+z^{2})\ ,dz=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left.\left(z+{\frac {z^{3}}{ 3}}\right)\right|_{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}$

ajungem in sfarsit

$t-t_{0}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left({\rm {tg\,} }{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg^{3}\,}}{\frac {\vartheta }{2}}\right)$

Ultima relație este cunoscută în mecanica cerească sub numele de ecuația Barker .

Orbită radială

O orbită se numește orbită radială, care este o linie dreaptă care trece printr-un centru atrăgător. În acest caz, vectorul viteză este direcționat de-a lungul traiectoriei și nu există o componentă transversală [1] , ceea ce înseamnă

$v={\frac {dr}{dt)}$

Vom găsi relația dintre poziția corpului pe orbită și timp din considerente energetice

${\frac {m\,v^{2}}{2}}-{\frac {m\,\mu }{r}}={\rm {const}}$

$v^{2}={\frac {2\mu }{r}}+h$

este integrala energetică. Prin urmare, avem ecuația diferențială

${\frac {dr}{dt}}=\pm {\sqrt ({\frac {2\mu {r}}+h}}$

Separând variabilele din această ecuație, ajungem la integrală

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {{ \cfrac {2\mu }{r}}+h}}}$

a cărui metodă de calcul este determinată de semnul constantei . Sunt trei cazuri $h$

$h<0$ orbită eliptică rectilinie

Corespunde cazului în care energia mecanică totală a corpului este negativă și, după ce s-a deplasat la o anumită distanță maximă de centrul de atragere, acesta va începe să se miște în direcția opusă. Acest lucru este analog cu deplasarea pe o orbită eliptică. Pentru a calcula integrala, introducem înlocuirea

${\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {-h}{\sin ^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsin}} {\sqrt {\frac {-h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsin}}{\sqrt {\frac {-h\ ,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{-h}}\sin u\cos u\,du$

calcula integrala

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{-h{\sqrt {-h}}))\int \limits _{ u_{0}}^{u_{1}}\sin ^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{-h{\sqrt {-h))))\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left(1-\cos {2u}\right)\,du={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}} }\left.\left(2\,u-\sin 2u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}$

Presupunând , scriem rezultatul $E=2\,u$

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h)}))\left(E_{1}-E_ {0}-\sin E_{1}+\sin E_{0}\right)$

luând ca periapsis condiționat (de neatins în realitate) și direcția vitezei inițiale de la centrul de atragere, obținem așa-numita ecuație Kepler radială, care raportează distanța de la centrul de atragere cu timpul de mișcare. $r_{0}=0$

$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h)}))\left(E-\sin E\right)$

unde . $E=2\arcsin {\sqrt {\frac {-h\,r}{2\,\mu )))$

$h=0$ orbită parabolică rectilinie

Un corp lansat radial se va deplasa la infinit din centrul de atragere, având o viteză egală cu zero la infinit. Corespunde cazului de miscare cu viteza parabolica. Cel mai simplu caz, pentru că nu necesită înlocuire în integrală

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {\ cfrac {2\mu }{r))))={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\mu }}}\left(r_{1}{\sqrt {r_ {1}}}-r_{0}{\sqrt {r_{0}}}\right)$

Luând condițiile inițiale ale primului caz, obținem legea explicită a mișcării

$r(t)=\left[3{\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\left(t_{1}-t_{0}\right)\right]^{\frac { 2}{3}}$

$h>0$ orbită hiperbolică rectilinie

Corespunde plecării de la centrul de atragere către infinit. La infinit, corpul va avea o viteză, . Introducem un înlocuitor $v_{\infty }={\sqrt {h)}$

${\frac {2\,\mu {r)}={\frac {h}({\rm {sh))^{2}u)),\quad u_{0}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac { h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{h}}\,{\rm {sh}}u\,{\ rm {ch}}u\,du$

și calculați integrala

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu {h{\sqrt {h}}})\int \limits _{u_{ 0}}^{u_{1}}{\rm {sh}}^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{h{\sqrt {h}}}}\int \ limite _{u_{0}}^{u_{1}}\left({\rm {ch}}{2u}-1\right)\,du={\frac {\mu }{h{\sqrt { h))))\left.\left({\rm {sh}}2u-2\,u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}$

Presupunând că obținem $H=2\,u$

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu {h{\sqrt {h}}))\left({\rm {sh)}\ ,H_{1}-{\rm {sh}}\,H_{0}-H_{1}+H_{0}\right)$

Presupunând că condițiile inițiale sunt similare cu primul caz, avem ecuația radială hiperbolică Kepler

$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu {h{\sqrt {h}}))\stanga ({\rm {sh))HH\dreapta)$

Unde $H=2\,{\rm {arcsh}} {\sqrt {\frac {h\,r}{2\,\mu })}$

Rezolvarea ecuației Kepler

Soluția ecuației Kepler în cazurile eliptice și hiperbolice există și este unică pentru orice M real [2] . Pentru o orbită circulară (e \u003d 0), ecuația Kepler ia forma trivială M \u003d E. În general, ecuația Kepler este transcendentală . Nu se rezolvă în funcții algebrice. Cu toate acestea, soluția sa poate fi găsită în diferite moduri folosind serii convergente . Soluția generală a ecuației Kepler poate fi scrisă folosind seria Fourier :

E=M+2\cdot \sum _{n=1}^{n}{\frac {1}{n))J_{n}\left(n\,e\,\right)\cdot \sin{nM}

Unde

J_{m}\left(x\right)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\cos \left(mE-x\sin {E}\ dreapta)dE

este funcția Bessel .

Această serie converge atunci când valoarea lui ε nu depășește valoarea limitei Laplace .

Metode aproximative

Dintre metodele numerice de rezolvare a ecuației Kepler se folosesc adesea metoda punctului fix („metoda iterației simple”) și metoda lui Newton [3] . Pentru cazul eliptic în metoda punctului fix, se poate lua M ca valoare inițială a lui E 0 , iar aproximațiile succesive au următoarea formă [2] :

E_{n+1}=e\,\sin E_{n}+M

În cazul hiperbolic, metoda punctului fix nu poate fi utilizată în acest fel, însă această metodă face posibilă derivarea pentru un astfel de caz a unei alte formule de aproximare (cu sinus invers hiperbolic) [2] :

H_{n+1}=\operatorname {Arsh} {\frac {H_{n}+M}{e)}

Note

↑ Lukyanov, Shirmin, 2009 , p. 70-71.
↑ 1 2 3 Balk M. B. Rezolvarea ecuației Kepler // Elemente de dinamică a zborului în spațiu. - M . : Nauka , 1965. - S. 111-118. — 340 s. — (Mecanica zborului spațial).
↑ Balk M. B., Demin V. G., Kunitsyn A. L. Rezolvarea ecuației Kepler // Culegere de sarcini privind mecanica cerească și cosmodinamică. — M .: Nauka , 1972. — S. 63. — 336 p.

Literatură

D. E. Okhotsimsky , Yu. G. Sikharulidze. Fundamentele mecanicii zborului spațial. - Moscova: „Nauka”, 1990.
V. E. Zharov. Astronomie sferică . - Fryazino, 2006. - S. 480 . — ISBN ISBN 5-85099-168-9 .
G. M. Fikhtengolts. Curs de calcul diferențial și integral. Volumul 3
Lukyanov L.G., Shirmin G.I. Prelegeri despre mecanica cerească. - Almaty, 2009. - S. 276.

Mecanica cerească

Legi și sarcini	legile lui Newton Legea gravitației legile lui Kepler Problemă cu două corpuri Problemă cu trei corpuri Problemă gravitațională a N-corpilor problema lui Bertrand ecuația lui Kepler
Sfera celestiala	Sistemul de coordonate ceresc galactic orizontală ecuatorial ecliptic Sistemul internațional de coordonate cerești Sistem de coordonate sferice axa mondială Ecuatorul ceresc ascensiunea dreaptă declinaţie Ecliptic Echinocţiu Solstițiul plan fundamental
Parametrii orbitei	Elementele kepleriene ale orbitei excentricitate semi-axa mare înseamnă anomalie longitudinea nodului ascendent argument periapsis Apocentrul și periapsis Viteza orbitală Nodul orbital Epocă
Mișcarea corpurilor cerești	Mișcarea soarelui și a planetelor în sfera cerească Efemeride Configurații de planetă confruntare compus cuadratura elongaţie parada planetelor Eclipsă eclipsă de soare eclipsa de luna saros Ciclul metonic Strat Tutorial punct culminant perioada siderale perioada sinodica Perioada de rotație rezonanța orbitală Preludiul echinocțiului Apropiere librare Domeniul gravitației efectul Kozai Efectul Yarkovsky efectul Dzhanibekov

Astrodinamica

Zbor în spațiu	viteza spatiala primul (circular) al doilea (parabolic) al treilea Al patrulea formula lui Ciolkovski Manevra gravitațională traiectoria Hohmann Metoda elementelor osculatoare Accelerația mareelor Modificarea înclinației orbitale Rețeaua de transport interplanetar Andocare puncte Lagrange Efect de pionier
SC orbite	orbită geostaţionară Orbită heliocentrică orbită geosincronă orbita geocentrică orbita de geotransfer Orbită terestră joasă orbită polară Orbită „Tundra” Orbită sincronă cu Soarele Orbită „Fulger” Orbită osculatoare

Johannes Kepler
Realizări științifice	Ipoteza lui Kepler legile lui Kepler Elementele kepleriene ale orbitei Triunghiul Kepler ecuația lui Kepler Corpul Kepler-Poinsot Supernova Kepler
Publicații	Mysterium Cosmographicum (1596) Astronomia nova (1609) Epitome Astronomiae Copernicanae (1617–21) Harmonices Mundi (1619) Mesele Rudolphin (1627) somnium (1634)
O familie	Katharina Kepler (mamă) Jacob Barch (ginere)