Ecuația mișcării

Ecuația mișcării ( ecuațiile mișcării ) este o ecuație sau un sistem de ecuații care stabilește legea evoluției unui sistem mecanic sau dinamic (de exemplu, un câmp ) în timp și spațiu [1] .

Evoluția unui sistem fizic este determinată în mod unic de ecuațiile de mișcare și de condițiile inițiale .

Introducere

Ecuația de mișcare a unui sistem dinamic include un set complet de variabile care determină starea acestui sistem (de exemplu, toate coordonatele și vitezele, sau toate coordonatele și momentele), precum și derivatele lor în timp, ceea ce permite, cunoașterea unei astfel de stabilit la un anumit moment în timp, pentru a-l calcula pentru un moment de timp separat de un interval de timp mic (infinitesimal). În principiu, prin repetarea acestui proces de calcul succesiv de un număr mare (infinit) de ori, este posibil să se calculeze valoarea tuturor acestor variabile pentru un moment de timp arbitrar depărtat [2] de cel inițial. Cu ajutorul unui astfel de proces este posibil (alegând suficient de mic, dar finit) să se obțină o soluție numerică aproximativă a ecuațiilor mișcării. Totuși, pentru a obține o soluție exactă [3] , trebuie să aplicați alte metode matematice. $\Delta t$

În teoria cuantică modernă, termenul de ecuație a mișcării este adesea folosit pentru a desemna doar ecuațiile clasice ale mișcării, adică doar pentru a distinge între cazurile clasice și cele cuantice. În această utilizare, de exemplu, cuvintele „soluție a ecuațiilor de mișcare” înseamnă tocmai aproximarea clasică (non-cuantică), care poate fi apoi folosită într-un fel sau altul în obținerea unui rezultat cuantic sau pentru comparare cu acesta. În acest sens, ecuațiile de evoluție ale funcției de undă nu sunt numite ecuații de mișcare, de exemplu, ecuația Schrödinger și ecuația Dirac menționate mai jos nu pot fi numite ecuația de mișcare a unui electron. O anumită claritate este introdusă aici printr-un adaos care indică ecuația de mișcare despre care vorbim: deci, deși ecuația lui Dirac nu poate fi numită ecuația de mișcare a unui electron, ea poate, chiar și în sensul discutat în acest paragraf. , poate fi numită ecuația clasică de mișcare a unui câmp spinor.

Exemple

Un exemplu mecanic simplu

Luați în considerare, în cadrul mecanicii newtoniene, o particulă punctiformă capabilă să se miște doar de-a lungul unei linii drepte (de exemplu, o bilă care alunecă de-a lungul unei spițe netede). Vom descrie poziția particulei pe linie cu un singur număr - coordonata - x . Fie ca această particulă să fie acționată (de exemplu, de un arc) de o forță f , în funcție de poziția particulei conform legii lui Hooke, adică prin alegerea unui punct de referință convenabil x , putem scrie f = - kx . În acest caz, luând în considerare a doua lege a lui Newton și relațiile cinematice, notând viteza ca v , vom avea următoarele ecuații de mișcare pentru sistemul nostru:

dv/dt=-(k/m)x

dx/dt=v

sau, excluzând v din sistem:

d^{2}x/dt^{2}=-(k/m)x

Înlocuind coordonatele inițiale și viteza în părțile corecte ale acestor ecuații și înlocuind d t infinit cu unul mic, dar finit , și rescriind ecuațiile aproximativ în conformitate cu aceasta în prima formă - în valoarea formei ( ) = valoarea (t) + derivată , obținem: $\delta t$ $t+\delta t$ $\delta t$

v(t+\delta t)=v(t)-(k/m)x(t)\delta t

x(t+\delta t)=x(t)+v(t)\delta t

si, trecand din momentul anterior in altul (de fiecare data timpul creste cu ), putem obtine o rezolvare numerica a acestor ecuatii de miscare sub forma unui tabel , care reprezinta aproximativ dependenta de x(t) si v( t) la timp (cu un pas ). Se poate observa că dacă s-a ales suficient de mic încât x(t) și v(t) să fie foarte aproape de funcție . $\delta t$ ${x(0),v(0);x(\delta t),v(\delta t);x(2\delta t),v(2\delta t);\dots ;x(n\delta t ),v(n\delta t);}$ $\delta t$ $\delta t$ $const\cdot \cos({\sqrt {k/m}}\cdot t+const')$

Folosind această soluție aproximativă sau alte considerente ca o presupunere, putem, dacă bănuim deja care ar trebui să fie soluția, pur și simplu înlocuim

x=A\cos(\omega t+\phi )

unde sunt pur și simplu constante, în ecuațiile exacte ale mișcării, luând derivatele necesare în timp ale acestei expresii. În același timp, ne putem asigura că nu este dificil să alegem anumite valori pentru ca egalitatea să fie îndeplinită în timpul acestei înlocuiri și, de asemenea, să găsim valorile necesare pentru aceasta (se dovedește că și poate fi oricare, dar .Am obținut astfel soluția exactă a ecuațiilor de mișcare și chiar soluția exactă generală (adică potrivită pentru orice condiții inițiale, care este ușor de văzut). $A,\omega,\phi$ $A,\omega,\phi$ $A,\omega,\phi$ $A$ $\phi$ $\omega ={\sqrt {k/m))$

Acum, având această soluție generală exactă, putem alege din setul de soluții generale (cu diferite și ) o soluție particulară care satisface condiții inițiale specifice. Așa rezolvăm problema pentru o anumită ecuație de mișcare și condiții inițiale. $A$ $\phi$

Aceasta ilustrează conceptul de ecuație de mișcare (ecuații de mișcare) și soluția lor pe un exemplu simplu specific.

Exemple de ecuații de mișcare în diferite domenii ale fizicii

În mecanica clasică legile lui Newton (pe lângă legile lui Newton propriu-zisă - și anume cea de-a doua -, ecuațiile de mișcare ale mecanicii newtoniene includ ecuații cinematice și legile specifice ale forțelor, cum ar fi, de exemplu , legea gravitației universale sau legea lui Hooke ). Ecuații Euler-Lagrange Ecuațiile lui Hamilton
În mecanica statistică clasică: Ecuația Liouville Ecuația lui Bogolyubov Ecuația Boltzmann Ecuația Vlasov
În teoria clasică a câmpului: Ecuațiile lui Maxwell (pot fi scrise și utilizate în diferite forme). Ecuația de mișcare a unui mediu continuu
În mecanica cuantică (vezi nota din articolul principal despre posibilele limitări ale aplicabilității termenului de ecuație a mișcării în acest domeniu) Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Lindblad Ecuația lui Von Neumann Ecuația lui Dirac

Note

↑ Când oamenii vorbesc despre ecuații de mișcare în sensul comun, se referă la ecuații diferențiale sau integro-diferențiale (deși alte tipuri de ecuații, cum ar fi ecuațiile la diferență pentru sisteme discrete, pot fi o analogie destul de apropiată).
↑ Cuvintele „ în principiu... cât vrei ” înseamnă că acest lucru este valabil în general numai pentru un model matematic (care descrie întotdeauna realitatea fizică doar cu o anumită eroare), în timp ce cu date inițiale date absolut exact; în realitate, corectitudinea prezicerii stării sistemului folosind ecuațiile de mișcare pentru o lungă perioadă de timp înainte este determinată de erorile de scriere a ecuațiilor în sine (în comparație cu realitatea pe care o descriu), eroarea în setarea datelor inițiale, și stabilitatea soluțiilor acestui tip particular de ecuații; cu toate acestea, într-un număr de cazuri (deși deloc în toate) în practică, predicția folosind ecuațiile mișcării este foarte precisă pe intervale de timp suficient de mari (cum ar fi, de exemplu, în mecanica cerească) sau cel puțin satisfăcătoare.
↑ Soluția exactă, desigur, înseamnă „exact în cadrul modelului matematic”, adică fără a lua în considerare eroarea de scriere a ecuațiilor în sine; s-ar putea părea că nu este nevoie să vă faceți griji cu privire la obținerea unor soluții exacte, deoarece ecuațiile în sine nu reflectă absolut exact realitatea fizică, totuși, fără a mai vorbi de faptul că adesea eroarea modelului este destul de mică și soluțiile care sunt exacte în sens matematic sunt apoi destul de precise din punct de vedere fizic, soluțiile exacte au de obicei un alt avantaj: sunt scrise sub formă de formule într-o formă care face mult mai convenabilă utilizarea lor în calcule și analize ulterioare, ceea ce este important. atât pentru înțelegere practică, cât și pentru înțelegere teoretică, deoarece o soluție exactă cu mai mulți parametri este înregistrarea unei familii infinite de soluții singulare.

Link -uri

Applet Ecuații de mișcare

mișcare mecanică
sistem de referință	cadru inerțial de referință Cadrul de referință non-inerțial Mișcare compusă Principiul relativității
Punct material	Mișcare uniformă Mișcare rectilinie Ecuația mișcării Ecuații de mișcare într-un cadru de referință non-inerțial Traiectorie (cale) in miscare Viteză Accelerație ( accelerare centripetă accelerație tangențială ) liniuță
Corpul fizic	mișcare de translație Mișcare plan-paralelă ( translație paralelă ) Mișcare sferică ( Mișcare rotativă Mișcare circulară Precesiune nutatie )
continuum	flux laminar curgere turbulentă
Concepte înrudite	Planul de viteză Tracțiunea trenului Șase grade de libertate