Dimensiune fractală

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 aprilie 2021; verificările necesită 6 modificări .

Dimensiunea fractală ( în engleză dimensiunea fractală ) este una dintre modalitățile de a determina dimensiunea unui set într-un spațiu metric . Dimensiunea fractală a unei mulțimi n -dimensionale poate fi determinată folosind formula:

D=-\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon})}{\ln(\varepsilon )))

, unde este numărul minim de „bile” n -dimensionale de rază necesare pentru a acoperi setul.

N_\varepsilon

\varepsilon

Dimensiunea fractală poate lua o valoare numerică non-întreg [2] .

Ideea de bază a dimensiunii „fracționale” ( ing. fracturate ) are o istorie lungă în domeniul matematicii, dar termenul în sine a fost inventat de Benoit Mandelbrot în 1967 în articolul său despre auto-asemănarea , în care a descris dimensiunea „fracțională” ( eng. fractional ) [3] . În acest articol, Mandelbrot s-a referit la lucrarea anterioară a lui Lewis Fry Richardson , descriind ideea contraintuitivă că lungimea măsurată a unei linii de coastă depinde de lungimea unui baston de măsurat (stâlp) ( vezi Fig. 1 ). Urmând această noțiune, dimensiunea fractală a liniei țărmului corespunde raportului dintre numărul de poli (la o anumită scară) necesar pentru măsurarea lungimii liniei țărmului la scara selectată a stâlpului [4] . Există mai multe definiții matematice formale dimensiunii fractale care se bazează pe acest concept de bază al schimbării într-un element cu schimbare de scară.

Un exemplu elementar este dimensiunea fractală a fulgului de zăpadă Koch . Dimensiunea sa topologică este 1, dar nu este nicidecum o curbă rectificabilă , deoarece lungimea curbei dintre oricare două puncte ale fulgului de zăpadă Koch este infinită . Nicio parte arbitrar mică a unei curbe nu este un segment de linie. Mai degrabă, fulgul de zăpadă Koch constă dintr-un număr infinit de segmente conectate în unghiuri diferite. Dimensiunea fractală a unei curbe poate fi explicată intuitiv, presupunând că o linie fractală este un obiect prea detaliat (detaliat) pentru a fi unidimensional, dar nu suficient de complex pentru a fi bidimensional [5] . Prin urmare, dimensiunea sa este mai bine descrisă nu prin dimensiunea topologică obișnuită a lui 1, ci prin dimensiunea sa fractală, care în acest caz este egală cu un număr între 1 și 2.

Introducere

Dimensiunea fractală este un coeficient care descriestructuri sau mulțimi fractale pe baza unei evaluări cantitative a complexității lor , ca un coeficient de modificare a detaliului cu o modificare a scării [4] :1 . Unele tipuri de dimensiuni fractale pot fi măsurate teoretic și empiric ( vezi Fig. 2 ) [7] [8] . Dimensiunile fractale sunt folosite pentru a caracteriza o gamă largă de obiecte de la abstract [9] [7] până la fenomene practice, de exemplu: turbulențe, [4] :97–104 rețele de râuri, :246–247 creștere urbană, [10] fiziologia umană , [11] [12] medicina [8] și tendințele pieței [13] . Ideea de bază a dimensiunii fracționale sau fractale are o istorie lungă în matematică, care poate fi urmărită până în 1600 [4] :19 [14] , dar termenii de dimensiune fractală și fractală au fostinventați de matematicianul Benoit Mandelbrot în 1975 [9] ] [4] [8] [13] [15] .

Dimensiunea fractală a fost introdusă pentru prima dată ca un coeficient care descrie forme geometrice complexe, pentru care detaliile sunt mai importante decât un desen complet [15] . Pentru mulțimile care descriu forme geometrice obișnuite, dimensiunea fractală teoretică este egală cu dimensiunea obișnuită euclidiană sau topologică . Astfel, pentru mulțimi care descriu puncte, dimensiunea fractală teoretică este 0; 1 pentru mulțimi care descriu o linie dreaptă (mulțimi având numai lungime); 2 pentru seturi care descriu suprafața (având lungime și lățime); 3 pentru seturile care descriu volumul (seturile având lungime, lățime și înălțime). Dar acest lucru se schimbă pentru seturile de fractali. Dacă dimensiunea fractală teoretică a unei mulțimi depășește dimensiunea topologică, atunci mulțimea este considerată a avea o geometrie fractală [16] .

Spre deosebire de dimensiunea topologică, coeficientul fractal poate lua o valoare non-întreaga [ 17 ] , arătând că mulțimea fractală umple spațiul diferit de mulțimea geometrică obișnuită [9] [18] [7] . De exemplu, o curbă cu o dimensiune fractală foarte apropiată de 1, să zicem 1,1, se comportă destul de ca o linie obișnuită, dar o curbă cu o dimensiune fractală de 1,9 este înfășurată în spațiu, aproape ca o suprafață. În mod similar, se comportă o suprafață cu o dimensiune fractală de 2,1. Umple spațiul aproape ca o suprafață normală, dar suprafața cu o dimensiune fractală de 2,9 se prăbușește și tinde să umple spațiul aproape ca un volum [16] :48 [notele 1] . Această relație generală poate fi văzută în imaginea cu 2 curbe fractale din fig. 2 și vezi fig. 3 - 32 de segmente, conturul din Fig . 2 este complicat și umple spațiu. Această curbă fractală are o dimensiune de 1,67 în comparație cu curba Koch mai puțin complexă din Figura 3 , care are o dimensiune fractală de 1,26.

Relația dintre dimensiunea fractală în creștere și spațiul de umplere poate fi luată ca dimensiune fractală a densității măsurate, dar nu este. Acești doi parametri nu sunt strict corelați [6] . În schimb, dimensiunea fractală măsoară complexitatea. Acest concept este asociat cu anumite caracteristici ale fractalilor: auto-asemănarea , modelul și neuniformitatea [notele 2] . Aceste proprietăți se găsesc în exemplele de curbe fractale descrise mai sus. Ambele curbe au o dimensiune topologică de 1, așa că se speră că se poate măsura lungimea sau panta lor , ca și în cazul liniilor normale. Dar nu putem face niciunul dintre aceste lucruri, deoarece curbele fractale au o complexitate de auto-similaritate și modele pe care liniile regulate nu le au [4] . Auto-asemănarea constă în scara infinită, iar modelul se află în elementele definitorii ale fiecărui set. Lungimea dintre oricare două puncte ale acestor curbe nu este definită , deoarece teoretic aceste construcții nu se opresc niciodată, ci se repetă de un număr infinit de ori [19] . Fiecare parte mai mică constă dintr-un număr infinit de segmente de scară care arată exact ca în prima iterație. Acestea sunt curbe nerectificabile , adică nu le putem împărți în segmente separate și nu putem calcula lungimea aproximativă. Nu putem descrie în termeni de lungime și pantă. Cu toate acestea, dimensiunile lor fractale pot fi determinate. Ele arată cum umplu spațiul mai mult decât liniile obișnuite, dar mai puțin decât suprafețele, iar acest lucru vă permite, de asemenea, să le comparați între ele.

Rețineți că cele două curbe fractale descrise mai sus arată un tip de auto-similare care repetă exact modelul inițial, care este ușor de vizualizat. Structuri de acest fel pot fi găsite și în alte spații (de exemplu, fractali ). Dacă curba Koch este extinsă în spațiul tridimensional, atunci dimensiunea sa fractală teoretică va fi egală cu 2,5849. Cu toate acestea, există o dificultate în calcularea dimensiunii fractale pentru următorul exemplu [7] [13] : coasta Marii Britanii este un model aproximativ cu o scară aproximativă [4] :26 . În general, fractalii pot fi de diferite tipuri, grade de auto-similare și modele care sunt dificil de vizualizat. Acestea includ, ca exemple, atractori ciudați : zone netede de aglomerare [16] :49 , set Julia și ritm cardiac [20] . Complexitatea fractale nu este întotdeauna ușor de calculat fără a ne baza pe metode analitice complexe care încă conduc la răspuns prin dimensiuni fractale [4] :197; 262 .

Istorie

Termenii dimensiune fractală și fractal au fost introduși de Mandelbrot în 1975 [15] , la aproximativ 10 ani după ce și-a publicat lucrarea despre auto-asemănarea coastei Marii Britanii. Mandelbrot a combinat și a aplicat matematica teoretică complexă și lucrările de inginerie într-un nou mod de a studia geometria complexă. Acest lucru a servit ca o provocare pentru termenii liniari obișnuiți [14] [21] [22] . Cele mai timpurii rădăcini pe care Mandelbrot le-a generalizat în conceptul de „geometrie fractală” au fost clar urmărite în scrierile despre non-diferențiabilitate, infinitatea de funcții auto-similare, care sunt importante în definiția matematică a fractalilor. În acea perioadă, a fost publicată o analiză (la mijlocul anilor 1600) [4] :405 . A existat o pauză în publicarea lucrărilor despre astfel de funcții. Începând cu sfârșitul anilor 1800, odată cu crearea funcțiilor și mulțimilor matematice, care astăzi sunt numite fractali canonici (cum ar fi lucrările cu același nume de von Koch , [19] Sierpinski , Julia ), reînnoirea a început în acest domeniu. În acest moment, formularea lor a fost adesea văzută ca contrazice puternic „monstrilor” matematici [14] [22] . Aceste lucrări au fost însoțite, aparent, de sugestii conform cărora au fost cel mai important moment în dezvoltarea conceptului de geometrie fractală, prin munca lui Hausdorff la începutul anilor 1900. Hausdorff a definit „dimensiunea fracțională”, care acum este numită după numele său și este adesea folosită în definiția fractalilor moderni [3] [4] :44 [16] [21] .

Consultați istoria fractalilor pentru mai multe detalii .

Rolul scalei

Ideea dimensiunii fractale constă într-o reprezentare neconvențională a scalei și dimensiunii [23] . Acest lucru se vede în Fig. 4 , ilustrând conceptele tradiționale de geometrie, care formează scara în mod previzibil și conform ideilor înțelese și familiare despre spațiul în care sunt cuprinse. De exemplu, să luăm o linie, să o împărțim în trei părți egale, apoi fiecare parte va fi de 3 ori mai mică decât lungimea liniei inițiale. Are loc și în avion. Dacă măsurați aria unui pătrat și apoi măsurați aria unui pătrat cu o lungime a laturii de 1 ⁄ 3 din lungimea laturii pătratului inițial, atunci aceasta va fi de 9 ori mai mică decât aria a pătratului inițial. Această scară poate fi determinată matematic folosind regula scalei ecuației 1, unde este numărul de detalii, este factorul de scară, este dimensiunea fractală: $N$ $\epsilon$ $D$

${N\propto \epsilon ^{-D)}$

(unu)

Simbolul înseamnă proporție. Această regulă de scară confirmă regulile tradiționale ale geometriei scalei, deoarece pentru o linie - =3, când = 1 ⁄ 3 , atunci =1, iar pentru pătrate, deoarece =9, când = 1 ⁄ 3 , =2. $\propto$ $N$ $\epsilon$ $D$ $N$ $\epsilon$ $D$

Aceeași regulă se aplică geometriei fractale, dar mai puțin intuitiv. Pentru a calcula pentru o linie fractală de lungime unitară, la prima vedere, reduceți cu un factor de 3, în acest caz =4 când = 1 ⁄ 3 și valoarea poate fi găsită transformând ecuația 1: $N$ $\epsilon$ $D$

${\log _{\epsilon }{N}={-D}={\frac {\log {N}}{\log {\epsilon }}}}$

(2)

Astfel, pentru un fractal descris de =4, când = 1 ⁄ 3 , =1,2619. În acest caz, dimensiunea ia o valoare non-întreg, prin urmare, se poate presupune că fractalul are o dimensiune care nu este egală cu dimensiunea spațiului în care este încorporat [7] .Aceeași scară este utilizată pentru Curba Koch și fulgul de nea Koch . Trebuie remarcat faptul că aceste imagini în sine nu sunt fractali adevărați, deoarece scalarea descrisă de valoare nu poate continua la infinit din simplul motiv că imaginile există doar în cel mai mic punct - pixelul. Structura teoretică care reprezintă o imagine digitală nu are pixeli discreți, ca bucăți, ci este alcătuită dintr- un număr infinit de segmente în unghiuri diferite cu o dimensiune fractală egală cu 1,2619 [4] [23] . $N$ $\epsilon$ $D$ $D$

Dimensiunea nu este singurul parametru

Ca și în cazul dimensiunii definite pentru linie, pătrat și cub, dimensiunile fractale sunt caracteristici generale, ceea ce face imposibilă definirea fără ambiguitate a structurii [23] [24] . Valoarea fractalului Koch a fost dată mai sus, de exemplu, scara este inerentă structurii cantitative, dar aceasta nu este suficientă pentru a o construi. Multe structuri și modele fractale pot fi desenate la aceeași scară ca și curba Koch, dar ele vor diferi în continuare de curba Koch ( vezi Figura 6 ). $D$

Pentru exemple de fractali: vezi Fractal , Triunghiul Sierpinski , Mulțimea Mandelbrot , Difuziunea de agregare limitată , L-Systems .

Exemple

Conceptul de dimensiune fractală, descris în acest articol, este o formă clasică a unei structuri complexe. Exemplele descrise aici au fost alese în scop ilustrativ. Scara și coeficientul sunt cunoscute de mult timp. În practică, totuși, dimensiunile fractale pot fi determinate folosind metode care iau o scară aproximativă. Următoarea formulă este utilizată ca definiție a dimensiunii fractale în cartea lui Bozhokin S.V. și Parshin D.A. „Fractali și multifractali” [2] :

D=-\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon})}{\ln(\varepsilon )))

, unde este numărul minim de „bile” n-dimensionale de rază necesare pentru a acoperi setul.

N_\varepsilon

\varepsilon

Conform acestei formule, pentru un punct izolat, un segment de lungime , o suprafață , un spațiu de volum, dimensiunea fractală coincide cu dimensiunea euclidiană obișnuită. $L$ $S$ $V$

Folosind această formulă, se poate calcula dimensiunea fractală a, de exemplu, setul Cantor ( vezi Figura 7 ). Este evident că la pasul --lea vom obține segmente de lungime , din care rezultă că dimensiunea fractală pentru mulțimea Cantor este egală cu 0,6309 [2] . $n$ $2^{n}$ ${\frac {1}{3^{n}})$

Mai jos sunt prezentate mai multe definiții formale ale diferitelor tipuri de dimensiuni fractale. În ciuda faptului că pentru unii fractali clasici toate aceste dimensiuni coincid, în cazul general nu sunt echivalente:

Dimensiunea Minkowski : D este evaluată ca exponenți ai legii puterii.

D_{0}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log {\frac {1}{\epsilon )))).

Dimensiunea informațională: D este considerată informația medie necesară pentru a identifica capacitatea ocupată cu dimensiunea acestei capacități; - probabilitate. $p$

D_{1}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {-\langle \log p_{\epsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\epsilon ))))

Dimensiunea de corelație D se bazează peși g ε , unde este numărul de puncte folosite pentru a reprezenta fractalul, g ε este numărul de perechi de puncte mai apropiate decât ε unul de celălalt. $M$ $M$

D_{2}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0,M\rightarrow \infty }{\frac {\log(g_{\epsilon }/M^{2})}{\log \epsilon ))

Dimensiuni Renyi generalizate:

Dimensiunile Minkowski, informații și corelații pot fi considerate ca un caz special al unui spectru continuu de dimensiuni generalizate de ordinul α, definite astfel:

D_{\alpha }=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{1-\alpha }}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log {\frac {1}{\epsilon ))))

Dimensiunea Higuchi [25]

$D={\frac {d\ \log(L(k))}{d\ \log(k)))$

Dimensiunea Lyapunov
Dimensiuni multifractale : Un caz special de dimensiuni Rényi în care comportamentul scării se modifică în diferite părți ale desenului.
Incertitudinea indicatorului
dimensiunea Hausdorff
Dimensiunea ambalajului
Dimensiunea asoid
Dimensiunea asociată local [26]

Estimarea datelor reale

Multe fenomene din lumea reală prezintă proprietăți fractale limitate sau statistice și dimensiuni fractale care pot fi estimate dintr-un eșantion de date folosind metode de analiză fractală bazate pe computer . În practică, măsurătorile dimensiunii fractale depind de diverse aspecte metodologice și sunt sensibile la zgomotul numeric sau experimental și sunt limitate în volumul de date. Cu toate acestea, domeniul se dezvoltă rapid în estimarea dimensiunii fractale pentru fenomene auto-similare statistic. Dimensiunea fractală are multe aplicații practice în diverse domenii, inclusiv imagistica de diagnostic, [27] [28] fiziologie, [11] neuroștiință, [12] medicină, [29] [30] [31] fizică, [32] [33] imagistica de analiză, [34] [35] [36] [37] acustică, [38] zerouri ale funcției zeta Riemann [39] și procese electrochimice [40] .

O alternativă la măsurarea directă este un model matematic care seamănă cu formarea unui obiect fractal real. În acest caz, verificarea se poate face și prin compararea altor proprietăți fractale derivate din model cu datele de măsurare. În fizica coloizilor , sistemele sunt compuse din particule cu dimensiuni fractale diferite. Pentru a descrie aceste sisteme, se utilizează o distribuție de probabilitate a dimensiunii fractale. Și în cele din urmă, timpul este evoluția acestuia din urmă: este un proces care este condus de o interacțiune complexă între agregare și coalescență [41] .

Vezi și

Lista fractalilor cu dimensiunea Hausdorff calculată
Lacunaritate
Analiza multifractala
derivată fracționată

Note

↑ Vezi reprezentarea grafică a diferitelor dimensiuni fractale
↑ Vezi Parametrii fractali

Note

↑ Mandelbrot B., 2002 .
↑ 1 2 3 Bozhokin S.V., 2001 .
↑ 1 2 Mandelbrot B., 1967 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Benoit B. Mandelbrot, 1983 .
↑ Harte D., 2001 .
↑ 1 2 3 Balay-Karperien A., 2004 .
↑ 1 2 3 4 5 Vicsek T. (1992), 1992 , p. zece.
↑ 1 2 3 Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F., 2005 .
↑ 1 2 3 Falconer K., 2003 .
↑ Chen Y, 2011 .
↑ 12 Popescu DP, 2010 .
↑ 12 King R.D., 2009 .
↑ 1 2 3 Peters E., 1996 .
↑ 1 2 3 Gerald E., 2004 .
↑ 1 2 3 Albers Alexanderson, Gerald L. Alexanderson, 2008 .
↑ 1 2 3 4 Mandelbrot Benoit, 2004 .
↑ Sharifi-Viand A., Mahjani MG, Jafarian M., 2012 .
↑ Sagan H., 1994 .
↑ 1 2 Helge von Koch, „On a continuous curve without tangentes constructible from elementary geometry”, 2004 .
↑ Tan Can Ozan, Cohen Michael A., Eckberg Dwain L., Taylor J. Andrew, 2009 .
↑ 12 Nigel G., 2000 .
↑ 1 2 MacTutor Istoria matematicii .
↑ 1 2 3 Iannaccone, Khokha, 1996 .
↑ Vicsek T. (2001), 2001 .
↑ Higuchi T.
↑ Jelinek A., 2008 .
↑ Landini G., 1995 .
↑ Cheng Qiuming, 1997 .
↑ Liu Jing Z., 2003 .
↑ Smith T.G., 1996 .
↑ Li J., 2009 .
↑ Dubuc B., 1989 .
↑ Roberts A., 1996 .
↑ Al-KadiOS, 2008 .
↑ Pierre S., 1996 .
↑ Tolle CR, 2003 .
↑ Gorsich DJ, 1996 .
↑ Maragos P., 1999 .
↑ Shanker O., 2006 .
↑ Eftekhari A., 2004 .
↑ Kryven I., 2014 .

Literatură

Al-Kadi OS, Watson D. Texture Analysis of Aggressive and non-Aggressive Lung Tumor CE CT Images // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 2008. - T. 55 , Nr. 7 . - S. 1822-1830 . - doi : 10.1109/tbme.2008.919735 . Arhivat din original pe 13 aprilie 2014.
Alexanderson Albers , Alexanderson Gerald L. Benoit Mandelbrot: În propriile sale cuvinte // Oameni matematici : profiluri și interviuri. - Wellesley, Mass: A.K. Peters, 2008. - 214 p. - ISBN 978-1-56881-340-0 .
Balay-Karperien A. Definirea morfologiei microgliale: formă, funcție și dimensiune fractală . - Universitatea Charles Sturt, 2004. - P. 3. - 86 p.
Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fractali și multifractali . - 2001. - S. 15 -18. — 128 p. — ISBN 5-93972-060-9 .
Chen Y. Modelarea structurii fractale a distribuțiilor orașului-dimensiune folosind funcții de corelație // PLoS ONE. - 2011. - T. 6 , Nr. 9 . — S. e24791 . - doi : 10.1371/journal.pone.0024791 . - Cod biblic . - arXiv : 1104.4682 . — PMID 21949753 .
Cheng Qiuming. Modelare multifractala si analiza lacunaritatii // Geologie matematica. - 1997. - T. 29 , nr. 7 . - S. 919-932 . - doi : 10.1023/A:1022355723781 . — PMID 7499097 .
Dubuc B., Quiniou J., Roques-Carmes C., Tricot C., Zucker S. Evaluating the fractal dimension of profiles // Physical Review A. - 1989. - Vol. 39 , No. 3 . - S. 1500-1512 . - doi : 10.1103/PhysRevA.39.1500 . - Cod . — PMID 9901387 .
Eftekhari A. Dimensiunea fractală a reacțiilor electrochimice // Journal of the Electrochemical Society. - 2004. - T. 151 , nr 9 . — pp. E291–E296 . - doi : 10.1149/1.1773583 .
Falconer K. Geometrie fractală. - New York: Wiley, 2003. - 308 p. — P. 27–37. - ISBN 978-0-470-84862-3 .
Gerald E. Clasici despre fractali . — Boulder: Westview Press, 2004. — P. 25–46 . — 86p. - ISBN 978-0-8133-4153-8 .
Gerald Edgar. Helge von Koch, „Pe o curbă continuă fără tangente construibile din geometria elementară” // Clasici despre fractali . — Boulder: Westview Press, 2004. — P. 25–46 . - ISBN 978-0-8133-4153-8 .
Gorsich DJ, Tolle CR, Karlsen RE, Gerhart GR Aplicații Wavelet în procesarea semnalului și a imaginilor IV // Tranzacții IEEE privind analiza modelelor și inteligența mașinilor. - 1996. - T. 2825 . - S. 109 . - doi : 10.1117/12.255224 .
Harte D. Multifractali. - Londra: Chapman & Hall, 2001. - P. 3-4. — ISBN 978-1-58488-154-4 .
Higuchi T. Abordarea unei serii temporale neregulate pe baza teoriei fractale (link inaccessible) (1987). Data accesului: 16 ianuarie 2016. Arhivat din original pe 4 martie 2016. (nedefinit)
Iannaccone, Khokha. Geometrie fractală în sisteme biologice . - 1996. - ISBN 978-0-8493-7636-8 .
Jelinek A., Jelinek HF, Leandro JJ, Soares JV, Cesar Jr RM, Luckie A. Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2008. - V. 2 , Nr. 1 . — S. 109–122 . - doi : 10.2147/OPTH.S1579 . — PMID 19668394 .
King RD Caracterizarea modificărilor atrofice în cortexul cerebral utilizând analiza dimensională fractală // Imagistica și comportamentul creierului. - 2009. - V. 3 , Nr. 2 . — S. 154–166 . - doi : 10.1007/s11682-008-9057-9 . — PMID 20740072 .
Kryven I., Lazzari S., Storti G. Population Balance Modeling of Aggregation and Coalescence in Coloidal Systems // Teoria și simularea macromoleculară. - 2014. - T. 23 , Nr. 3 . - S. 170 . - doi : 10.1002/mats.201300140 .
Landini G., Murray PI, Misson GP Dimensiuni fractale conectate locale și analize de lacunaritate ale angiogramelor cu fluoresceină de 60 de grade // Investigative Ophthalmology & Visual Science. - 1995. - T. 36 , nr. 13 . — S. 2749–2755 . — PMID 7499097 .
Li J., Du Q., Sun C. O metodă îmbunătățită de numărare a casetelor pentru estimarea dimensiunii fractale a imaginii // Pattern Recognition. - 2009. - T. 42 , Nr. 11 . - S. 2460 . - doi : 10.1016/j.patcog.2009.03.001 . - Cod biblic . — PMID 8946315 .
Liu Jing Z., Zhang Lu D., Yue Guang H. Dimensiunea fractală în cerebelul uman măsurată prin imagistica prin rezonanță magnetică // Biophysical Journal. - 2003. - T. 85 , nr 6 . — S. 4041–4046 . - doi : 10.1016/S0006-3495(03)74817-6 . - Cod biblic . — PMID 14645092 .
Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F. Fractali în biologie și medicină . - Springer, 2005. - ISBN 978-3-7643-7172-2 .
Mandelbrot B. Cât de lungă este coasta Marii Britanii? Auto-asemănarea statistică și dimensiunea fracțională // Știință. - 1967. - T. 156 , Nr. 3775 . — S. 636–638 . - doi : 10.1126/science.156.3775.636 . - Cod biblic . — PMID 17837158 .
Mandelbrot Benoit B. Geometria fractală a naturii . - Macmillan, 1983. - ISBN 978-0-7167-1186-5 .
Mandelbrot B. Geometria fractală a naturii . - 2002. - S. 46 . — 666 p.
Mandelbrot Benoit. Fractali și haos. - Berlin: Springer, 2004. - P. 38. - ISBN 978-0-387-20158-0 .
Maragos P., Potamianos A. Dimensiunile fractale ale sunetelor vorbirii: Calcul și aplicarea recunoașterii automate a vorbirii // The Journal of the Acoustical Society of America. - 1999. - T. 105 , nr. 3 . - S. 1925-1932 . - doi : 10.1121/1.426738 . — Cod . — PMID 10089613 .
Nigel G. Introducerea geometriei fractale . - Duxford: Icon, 2000. - P. 71 . — ISBN 978-1-84046-123-7 .
Peters E. Haos și ordine pe piețele de capital: o nouă viziune asupra ciclurilor, prețurilor și volatilității pieței. - New York: Wiley, 1996. - ISBN 0-471-13938-6 .
Pierre S., Jean-F. Rivest. Despre validitatea măsurătorilor dimensiunii fractale în analiza imaginilor // Journal of Visual Communication and Image Representation. - 1996. - T. 7 , nr. 3 . — S. 217-229 . — ISSN 1047-3203 . doi : 10.1006/ jvci.1996.0020 . Arhivat din original pe 20 iulie 2011.
Popescu, DP, Flueraru, C., Mao, Y., Chang, S., Sowa, MG . - 2010. - T. 1 , Nr. 1 . — S. 268–277 . - doi : 10.1364/boe.1.000268 . — PMID 21258464 .
Roberts A., Cronin A. Estimarea imparțială a dimensiunilor multi-fractale ale seturilor de date finite // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 1996. - T. 233 , nr. 3-4 . - S. 867 . - doi : 10.1016/S0378-4371(96)00165-3 . — Cod .
Sagan H. Curbe de umplere a spațiului. - Berlin: Springer-Verlag, 1994. - 156 p. - ISBN 0-387-94265-3 .
Shanker O. Matrice aleatoare, funcții zeta generalizate și auto-asemănarea distribuțiilor zero // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2006. - T. 39 , Nr. 45 . - S. 13983 . - doi : 10.1088/0305-4470/39/45/008 . - Cod biblic .
Sharifi-Viand A., Mahjani MG, Jafarian M. Investigarea difuziei anormale și a dimensiunilor multifractale în filmul de polipirol // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2012. - T. 671 . - S. 51 . - doi : 10.1016/j.jelechem.2012.02.014 .
Smith TG, Lange GD, Marks WB Metode fractale și rezultate în morfologia celulară - dimensiuni, lacunaritate și multifractali // Journal of Neuroscience Methods. - 1996. - T. 69 , nr 2 . — S. 123–136 . - doi : 10.1016/S0165-0270(96)00080-5 . - Cod biblic . — PMID 8946315 .
Tan Can Ozan, Cohen Michael A., Eckberg Dwain L., Taylor J. Andrew. Proprietăți fractale ale variabilității perioadei inimii umane: implicații fiziologice și metodologice // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2009. - T. 587 , Nr. 15 . - S. 3929 . - doi : 10.1113/jphysiol.2009.169219 .
Tolle CR, McJunkin TR, Gorsich DJ Metodă bazată pe acoperirea volumului minim de cluster suboptimal pentru măsurarea dimensiunii fractale // Tranzacții IEEE privind analiza modelelor și inteligența mașinilor. - 2003. - T. 25 . - S. 32 . - doi : 10.1109/TPAMI.2003.1159944 . Arhivat din original pe 20 iulie 2011.
Trochet, Holly. O istorie a geometriei fractale . MacTutor Istoria matematicii (2009). Data accesului: 16 ianuarie 2016. Arhivat din original pe 4 februarie 2012. (nedefinit)
Vicsek T. Fenomene de creștere fractale. - Singapore New Jersey: World Scientific, 1992. - 165 p. — ISBN 5-09-002630-0 .
Vicsek T. Fluctuații și scalare în biologie. - Oxford [Oxfordshire]: Oxford University Press, 2001. - ISBN 0-19-850790-9 .

Lectură suplimentară

Mandelbrot, Benoit B. , The (Mis)Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (Carti de baza, 2004)

Link -uri

Benoit , produs software de analiză fractală de la TruSoft, calculează dimensiunile fractale și exponenții hurst.
Un applet Java pentru a calcula dimensiunile fractale
Introducere în analiza fractală
Bowley, Roger Dimensiunea fractală . Șaizeci de simboluri . Brady Haran pentru Universitatea din Nottingham (2009). (nedefinit)

fractali
Caracteristici	dimensiune fractală dimensiunea Hausdorff Dimensiunea Lebesgue recursiunea autoasemănarea
Cei mai simpli fractali	Fern Barnsley Setul Cantor curba dragonului curba Koch Sponge Menger covor Sierpinski triunghiul Sierpinski Curba de umplere a spațiului
atractor ciudat	Multifractal
Sistemul L	Curba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație	Julia a stabilit Fractal Lyapunov Set Mandelbrot bazinele lui Newton
Fractali aleatorii	Mișcarea browniană arbore brunian suprafata fractala Teoria percolarii
oameni	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandru Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
subiecte asemănătoare	Cât de lungă este coasta Marii Britanii? » Paradoxul litoralului

Dimensiunea spațiului
Spații după dimensiune	Zero-dimensionale unidimensional 2D 3D patru dimensionale cinci-dimensional În șase dimensiuni Șapte-dimensionale octal Nouă-dimensionale n-dimensională Dimensiunea negativă
Politopuri și figuri	Simplex hipercub tesseract Hiperdreptunghi (ortotop) Semihipercub Cross-politope hipersferă
Tipuri de spații	spațiu finit-dimensional Spațiul euclidian spatiu afin spațiu proiectiv Modul gratuit Manifold Dimensiunea unei variabile algebrice spațiu timp
Alte concepte dimensionale	dimensiunea Krull Dimensiunea Lebesgue Dimensiunea inductivă Dimensiunea fracțională ( dimensiunea Minkowski , dimensiunea Hausdorff ) dimensiune fractală Grade de libertate
Matematica