Grup fundamental

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 septembrie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Un grup fundamental este un grup definit care este asociat cu un spațiu topologic . În linii mari, acest grup măsoară numărul de „găuri” din spațiu. Prezența unei „găuri” este determinată de imposibilitatea deformării continue a unei curbe închise într-un punct.

Grupul fundamental al unui spațiu este de obicei notat cu sau , ultima notație este aplicabilă spațiilor conectate. Trivialitatea grupului fundamental este de obicei scrisă ca , deși notația este mai potrivită. $X$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X)=0$ $\pi _{1}(X)=\{1\}$

Definiție

Fie un spațiu topologic cu punct marcat . Luați în considerare setul de bucle din ; adică setul de mapări continue astfel încât . Două bucle și sunt considerate echivalente dacă sunt homotopice între ele în clasa buclelor, adică există o homotopie care le conectează care satisface proprietatea . Clasele de echivalență corespunzătoare (notate ) sunt numite clase de homotopie . Produsul a două bucle este o buclă determinată de trecerea lor succesivă: $X$ $x_{0}\în X$ $X$ $x_{0}$ $f\colon [0,1]\la X$ $f(0)=x_{0}=f(1)$ $f$ $g$ $f_t$ $f_{t}(0)=x_{0}=f_{t}(1)$ $[f]$

(f*g)(t)={\begin{cases}f(2t),~t\in [0,{1 \over 2}]\\g(2t-1),~t\in [{1 \over 2},1]\end{cases}}

Produsul a două clase de homotopie este clasa de homotopie a unui produs de bucle. Se poate arăta că nu depinde de alegerea buclelor din clase. Setul de clase de bucle de homotopie cu un astfel de produs devine un grup . Acest grup se numește grupul fundamental al spațiului punctual marcat și este notat cu . $[f]$ $[g]$ $[f*g]$ $X$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$

Comentarii

Un profesionist poate fi considerat ca o pereche de spații . $(X,x_{0})$ $(X,\{x_{0}\})$
Unitatea grupului este clasa buclei identice sau fixe, elementul invers este clasa buclei parcurse în sens opus.
Dacă este un spațiu conectat la cale , atunci, până la izomorfism, grupul fundamental nu depinde de punctul marcat. Prin urmare, pentru astfel de spații, se poate scrie în schimb fără teama de a provoca confuzie. Totuși, pentru două puncte un izomorfism canonic între și există numai dacă grupul fundamental este abelian. $X$ $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $x,y\în X$ $\pi_{1}(X,x)$ $\pi _{1}(X,y)$

Definiții înrudite

Fiecare mapare continuă a spațiilor ascuțite induce un homomorfism definit prin formula . Astfel, luând grupul fundamental împreună cu operația descrisă formează un functor . $\varphi :(X,x_{0})\to (Y,\varphi (x_{0}))$ $\varphi _{*}=\pi _{1}\varphi :\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,\varphi (x_{0}))$ $\varphi _{*}[f]=[\varphi f]$ $\pi _{1}:{\mathbf {hTop}}\la {\mathbf {Grp}}$

Un spațiu se numește simplu conectat dacă este legat de cale și grupul este banal (constă doar dintr-unul). $X$ $\pi _{1}(X)$

Exemple

B are o singură clasă de buclă de homotopie. Prin urmare, grupul fundamental este trivial, . Același lucru este valabil pentru orice spațiu - o submulțime convexă a . $\mathbb {R} ^{n}$ $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{n})=0$ $\mathbb {R} ^{n}$

Într-un cerc , fiecare clasă de homotopie constă din bucle care se înfășoară în jurul cercului de un anumit număr de ori, care pot fi pozitive sau negative în funcție de direcție. Prin urmare, grupul fundamental al cercului este izomorf cu grupul aditiv al numerelor întregi . ${\mathbb S}^{1}$ $\mathbb {Z}$

Grupul fundamental al sferei -dimensionale este banal pentru toți . $n$ ${\mathbb S}^{n}$ $n\geq 2$

Grupul fundamental al celor opt este non-abelian - este un produs gratuit . Un rezultat mai general este valabil, care decurge din teorema van Kampen : dacă și sunt spații conectate prin căi și sunt conectate la nivel local, atunci grupul fundamental al buchetului lor (lipirea într-un punct selectat) este izomorf cu produsul liber al lor. grupuri fundamentale: $\mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {Z} *\mathbb {Z}$ $X$ $Y$ $\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).$

Grupul fundamental al planului cu puncte perforate este un grup liber cu generatoare. $\mathbb {R} ^{2}$ $n$ $n$

Grupul fundamental al unei suprafeţe închise orientate a genului poate fi dat de generatori cu o singură relaţie: . $g$ $a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}$ $a_{1}b_{1}a_{1}^{{-1}}b_{1}^{{-1}}\dots a_{g}b_{g}a_{g}^{{-1} }b_{g}^{{-1}}=1$

Proprietăți

Grupul fundamental al unui spațiu depinde doar de tipul său de homotopie .
- Reversul este valabil pentru spațiile asferice conectate la căi ; vezi și K(G,n) spațiu .

Dacă este o retractare care conține un punct marcat , atunci homomorfismul indus de încorporare este injectiv . $A$ $X$ $x_{0}$ $i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})$ $i:A\hookrightarrow X$
- În special, grupul fundamental al componentei conectate la cale care conține punctul marcat este izomorf cu grupul fundamental al tuturor . $X$ $X$
- Dacă este o
retragere de deformare strictă , atunci este un izomorfism. $A$ $X$ $i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})$

$\pi_{1}$ păstrează produsul : pentru orice pereche de spații topologice cu puncte marcate și există un izomorfism $(X,x_{0})$ $(Y,y_{0})$ $\pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y ,y_{0}),$

naturale în şi .

(X,x_{0})

(Y,y_{0})

Teorema lui Van Kampen : Dacă este uniunea mulțimilor deschise conectate prin căi , fiecare dintre ele conține un punct marcat , și dacă fiecare intersecție este conectată cu căi, atunci homomorfismul indus de înglobări este surjectiv. În plus, dacă fiecare intersecție este legată de cale, atunci nucleul de homomorfism este cel mai mic subgrup normal care conține toate elementele formei (unde este indusă de încorporare ) și, prin urmare, induce un izomorfism ( prima teoremă de izomorfism ). [1] În special, $X$ $A_{\alpha}$ $x_{0}\în X$ $A_{\alpha }\cap A_{\beta }$ $\Phi :\ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })\to \pi _{1}(X)$ $A_{\alpha }\hookrightarrow X$ $A_{\alpha }\cap A_{\beta }\cap A_{\gamma }$ $\Phi$ $N$ $i_{{\alpha \beta }}(\omega )i_{{\beta \alpha }}(\omega )^{{-1}}$ $i_{{\alpha\beta }}$ $A_{\alpha }\cap A_{\beta }\hookrightarrow A_{\alpha }$ $\Phi$ $\pi _{1}(x)\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })/N$
- $\pi_{1}$ conservă coprodusele : în mod natural peste toate . $\pi _{1}(\bigvee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(X_{\alpha })$ $X_{\alpha }$
- (cazul doi ): condiția pentru intersecții triple devine redundantă și se dovedește că , care este o formă mărginită (caz conectat la cale ) de conservare a
șocurilor . $A_{\alpha}$ $\pi _{1}(A_{1}\cup A_{2})\cong \pi _{1}(A_{1}){\mathbin {\ast _{{\pi (A_{1}\cap A_{2})}}}}\pi _{1}(A_{2})$ $A_{1}\cap A_{2}$

Grupul fundamental al unui grup topologic este abelian, așa cum demonstrează argumentul Eckmann-Hilton .

Grupuri libere și numai ele pot fi realizate ca grupuri fundamentale de grafice (într-adevăr, contractând un arbore de întindere la un punct realizează echivalența homotopie a unui grafic și a unui grup de cercuri , se poate aplica și teorema lui van Kampen).

Un grup arbitrar poate fi realizat ca grup fundamental al unui complex celular bidimensional .

Un grup arbitrar dat finit poate fi realizat ca grup fundamental al unei 4-variete închise.

Grupul fundamental al unui spațiu acționează prin deplasări asupra învelișului universal al acestui spațiu (dacă este definit învelișul universal).

Variații și generalizări

Grupul fundamental este primul dintre grupurile de homotopie .
Grupoidul fundamental al unui spațiu este un grupoid ale cărui obiecte sunt puncte și ale cărui morfisme sunt clase de căi de homotopie cu compoziție de căi. În plus , și dacă este conectat la cale, atunci încorporarea este o echivalență a categoriilor . $X$ $\Pi(X)$ $X$ $\pi _{1}(X,x_{0})\cong \operatorname {Aut}_({\Pi (X)))x_{0}$ $X$ $\pi _{1}(X,x_{0})\hookrightarrow \Pi (X)$

Note

↑ A. Hatcher , Topologie algebrică, M.: MTsNMO, 2011.

Literatură

Vasiliev V. A. Introducere în topologie. - M. : FAZIS, 1997. - 132 p. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Matveev SV Grup fundamental: Prelegeri la cursul „Topologie”. - Chelyabinsk: ChelGU, 2001. - 16 p. (exista un pdf)
Fomenko Anatoli Timofeevici. Geometrie și topologie diferențială (capitole suplimentare). - R&C dynamic, 1999. - 250 p.