Polinom caracteristic al unei matrice

Polinomul caracteristic al unei matrice este un polinom care îi determină valorile proprii .

Definiție

Pentru o matrice dată , , unde este matricea de identitate , este un polinom în , care se numește polinomul caracteristic al matricei (uneori și ecuația seculară ) . $A$ $\chi (\lambda )=\det(A-\lambda E)$ $E$ $\lambda$ $A$

Valoarea polinomului caracteristic este că valorile proprii ale matricei sunt rădăcinile acesteia. Într-adevăr, dacă ecuația are o soluție diferită de zero, atunci , atunci matricea este degenerată și determinantul său este egal cu zero. $Av=\lambda v$ $(A-\lambda E)v=0$ $A-\lambda E$ $\det(A-\lambda E)=\chi (\lambda )$

Definiții înrudite

Matricea se numește matricea caracteristică a matricei . $A-\lambda E$ $A$
Ecuația se numește ecuație matriceală caracteristică . $\chi (\lambda )=0$ $A$
Polinomul caracteristic al unui grafic este polinomul caracteristic al matricei sale de adiacență .

Proprietăți

Pentru o matrice , polinomul caracteristic are grad . $n\ ori n$ $n$
Toate rădăcinile polinomului caracteristic al unei matrice sunt valorile sale proprii .
Teorema Hamilton-Cayley : dacă este polinomul caracteristic al matricei, atunci. $\chi (\lambda )$ $A$ $\chi (A)=0$
Polinoamele caracteristice ale matricelor similare coincid: . $\chi _{{ABA^{{-1}}}}=\chi _{{B}}$
Polinomul caracteristic al matricei inverse: . $\chi _{A^{-1}}(\lambda )={\frac {(-\lambda )^{n}}{\det A}}\chi _{A}(1/\lambda )$

Dovada:

${\begin{aligned}{\det A}\cdot \chi _{A^{-1}}(\lambda )&={\det A}\cdot \det(A^{-1}- \lambda E)=\det(A(A^{-1}-\lambda E))\\&=\det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda AE )\\&=(-\lambda )^{n}\det(A-(1/\lambda )E)=(-\lambda )^{n}\chi _{A}(1/\lambda )\ sfârşit{aliniat}}$

Dacă și sunt două matrici , atunci . În special, aceasta implică faptul că urma produsului lor și . $A$ $B$ $n\ ori n$ $\chi _{{AB}}\,=\,\chi _{{BA}}$ ${\mathrm {tr}}\,(AB)={\mathrm {tr}}\,(BA)$ $\det(AB)=\det(BA)$
Într-o formă mai generală, dacă este o matrice , și este o matrice , și , astfel încât și sunt matrici pătrate de dimensiuni și , respectiv, atunci: $A$ $m\ori n$ $B$ $de n\ ori m$ $m<n$ $AB$ $BA$ $m$ $n$

\chi _{{BA}}(\lambda )\,=\,\lambda ^{{nm}}\,\chi _{{AB}}(\lambda )

Link -uri

V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina. Matematică superioară. Algebră liniară . — Universitatea de Stat de Inginerie Energetică din Ivanovo. Arhivat pe 23 decembrie 2008 la Wayback Machine

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte