Numerele Salem

În matematică , un număr Salem este un întreg algebric real α > 1 ale cărui conjugate au modul cel mult 1 și cel puțin unul dintre ele are modul 1. Numerele Salem sunt de interes pentru aproximările diofantine și analiza armonică . Ele sunt numite după matematicianul francez Raphael Salem .

Proprietăți

Deoarece numărul Salem are un număr conjugat cu valoarea absolută 1, polinomul minim pentru numărul Salem trebuie să fie invers . Rezultă că 1/α este, de asemenea, o rădăcină, iar toate celelalte rădăcini au o valoare absolută exact egală cu 1. În consecință, numărul α trebuie să fie un element inversabil (unitatea inelului) în inelul numerelor întregi algebrice , care este norma de 1.

Fiecare număr Salem este un număr Perron (un număr întreg algebric mai mare decât 1 al cărui modul este mai mare decât toate conjugatele sale).

Relația cu numerele Pisot-Vijayaraghavan

Cel mai mic număr Salem cunoscut este cea mai mare rădăcină reală a polinomului Lehmer (numit după matematicianul american Derrick Lehmer )

P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+ x+1,

a cărui valoare este x ≈ 1,177 628; se presupune că este cel mai mic număr Salem și cea mai mică măsură Mahler posibilă pentru un polinom neciclic ireductibil [1] .

Polinomul Lehmer este un factor al polinomului mai scurt de gradul 12,

Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,

ale căror toate cele douăsprezece rădăcini satisfac relația [2]

x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{ 90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1 )(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}

Numerele Salem sunt strâns legate de Pisot-Vijayaraghavan (numere PV) . Cel mai mic dintre numerele PV este singura rădăcină reală a polinomului de gradul 3

x^{3}-x-1,

cunoscut sub numele de „ număr plastic ” și aproximativ egal cu 1,324718. Numerele PV pot fi folosite pentru a genera o familie de numere Salem, inclusiv pe cel mai mic. Modul general este de a lua polinomul minim P ( x ) al unui număr PV de gradul n și polinomul său invers P* ( x ) (ai cărui coeficienți sunt, grosier vorbind, formați prin „reflectarea” coeficienților polinomului P ( x ) fata de x n /2 ) si rezolvati ecuatia

x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)

relativ la un număr întreg n . Scăzând o parte din cealaltă, factorizând și eliminând factorii triviali , se poate obține un polinom minim pentru unele numere Salem. De exemplu, dacă luăm un număr de plastic și alegem plus în loc de plus sau minus de mai sus, atunci:

x^{n}(x^{3}-x-1)=-x^{3}-x^{2}+1

iar pentru n = 8 obținem

(x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3} +x+1)=0,

unde polinomul de gradul 10 este polinomul Lehmer. Folosind o valoare mai mare a lui n , obținem o familie de polinoame, una dintre rădăcinile cărora se apropie de numărul plastic . Acest lucru poate fi înțeles prin extragerea radicalilor de putere a n-a din ambele părți ale ecuației,

x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n)

Cu cât valoarea lui n este mai mare , cu atât x se va apropia mai mult de soluția x 3 − x − 1 = 0.[ clarifica ] Când alegeți un semn pozitiv în loc de plus sau minus, rădăcina x se apropie de numărul plastic din opus[ ce? ] direcție. Folosind polinomul minim al următorului cel mai mic număr PV $x^{4}-x^{3}-1$

x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),

care pentru n = 7 ia forma

(x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0

la un grad polinom negenerat în cel precedent și are o rădăcină x ≈ 1,216391... care este al cincilea cel mai mic număr Salem cunoscut. Pe măsură ce n merge la infinit, această familie, la rândul său, merge la rădăcina reală mai mare a lui x 4 − x 3 − 1 = 0.

Note

↑ Borwein (2002) p.16
↑ D. Bailey și D. Broadhurst, A Seventh Order Polylogaritm Ladder

Literatură

Borwein, PeterExcursii computaționale în analiză șiteoria numerelor . - Springer-Verlag , 2002. - (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9 . Cap. 3.
Boyd, David (2001), Salem number , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
MJ Mossinghoff. Numerele mici de Salem . Data accesului: 7 ianuarie 2016. (nedefinit)
Salem, R.Numerele algebrice și analiza Fourier (nedefinită) . — Boston, MA: DC Heath and Company, 1963. - (Monografii matematice Heath).

Numerele algebrice
Soiuri	numere întregi algebrice noduri Chebyshev numere constructive întregul lui Eisenstein numere întregi gaussiene Inel Kummer numerele Perron Numerele Piso-Vijayaraghavan Iraționalitate pătratică ℚ Rădăcini din unitate Numerele Salem
Specific	Conway constantă 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2