Trapez

Un trapez (din altă greacă τραπέζιον - „ tabel ” din τράπεζα - „ tabel ”) este un patrulater convex , în care două laturi sunt paralele , iar celelalte două laturi nu sunt paralele [1] . Adesea, ultima condiție este omisă în definiția unui trapez (vezi mai jos). Laturile opuse paralele se numesc baze ale trapezului, iar celelalte două se numesc laturi. Linia mediană este un segment care leagă punctele medii ale laturilor.

Variante ale definiției

Există o altă definiție a unui trapez.

Un trapez este un patrulater convex cu două laturi paralele [2] [3] . Conform acestei definiții, un paralelogram și un dreptunghi sunt cazuri speciale ale unui trapez. Cu toate acestea, atunci când se utilizează această definiție, majoritatea semnelor și proprietăților unui trapez isoscel încetează să fie adevărate (deoarece paralelogramul devine cazul său special). Formulele date în secțiunea Proprietăți generale ale formulei sunt adevărate pentru ambele definiții ale unui trapez.

Definiții înrudite

Elemente ale trapezului

Laturile opuse paralele se numesc bazele unui trapez.
Celelalte două laturi se numesc laturi .
Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numește linia mediană a trapezului.
Unghiul de la baza unui trapez este unghiul său interior format de baza cu latura.

Tipuri de trapeze

Un trapez ale cărui laturi sunt egale se numește trapez isoscel (mai rar un trapez isoscel [4] sau isoscel [5] ).
Un trapez care are unghiuri drepte în lateral se numește dreptunghiular .

Trapez isoscel
Trapez dreptunghiular

Proprietăți

Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma acestora. [7]
Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor trapezului este egal cu jumătate din diferența bazelor și se află pe linia mediană.
Un segment paralel cu bazele și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor este împărțit la acesta din urmă la jumătate și este egal cu media armonică a lungimilor bazelor trapezului. ${\frac {2xy}{x+y}}$
Un cerc poate fi înscris într-un trapez dacă suma lungimilor bazelor trapezului este egală cu suma lungimilor laturilor sale.
Punctul de intersecție al diagonalelor unui trapez, punctul de intersecție al prelungirilor laturilor sale și punctele medii ale bazelor se află pe aceeași linie dreaptă.
Dacă suma unghiurilor la una dintre bazele trapezului este de 90°, atunci prelungirile laturilor laterale se intersectează în unghi drept, iar segmentul care leagă punctele medii ale bazelor este egal cu jumătatea diferenței bazelor. .
Diagonalele unui trapez îl împart în 4 triunghiuri. Două dintre ele, adiacente bazelor, sunt similare. Celelalte două, adiacente laturilor, au aceeași suprafață.
Dacă raportul bazelor este , atunci raportul ariilor triunghiurilor adiacente bazelor este . $K$ $K^{2}$
Înălțimea trapezului este determinată de formula:

h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}+ba\dreapta) ^{2}}}

unde este baza mai mare, este baza mai mică și sunt laturile.

b

A

c

d

Diagonalele unui trapez și sunt legate de laturi prin raportul: $d_{1}$ $d_{2}$

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}

Ele pot fi exprimate în mod explicit:

d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

Dacă, dimpotrivă, laturile și diagonalele sunt cunoscute, atunci bazele sunt exprimate prin formulele:

a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}

b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}

și cu baze și diagonale cunoscute, laturile sunt după cum urmează:

c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

Dacă înălțimea este cunoscută , atunci

h

d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2))))}={\sqrt {h^{2 }+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}

d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2))))}={\sqrt {h^{2 }+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}

Linia lui Newton pentru un trapez coincide cu linia lui mediană .

Trapez isoscel

Un trapez este isoscel dacă și numai dacă este îndeplinită oricare dintre următoarele condiții echivalente:

linia dreaptă care trece prin punctele medii ale bazelor este perpendiculară pe baze (adică este axa de simetrie a trapezului);
înălțimea coborâtă de la vârf la baza mai mare o împarte în două segmente, dintre care unul este egal cu jumătate din suma bazelor, celălalt este jumătate din diferența bazelor;
unghiurile la orice bază sunt egale;
suma unghiurilor opuse este de 180°;
lungimile diagonalelor sunt egale;
un cerc poate fi descris în jurul acestui trapez;
vârfurile acestui trapez sunt și vârfurile unor antiparalelograme .

in afara de asta

dacă într-un trapez isoscel diagonalele sunt perpendiculare, atunci înălțimea este jumătate din suma bazelor.

Cercuri înscrise și circumscrise

Dacă suma bazelor unui trapez este egală cu suma laturilor, atunci un cerc poate fi înscris în el . Linia mediană în acest caz este egală cu suma laturilor împărțită la 2 (deoarece linia mediană a trapezului este egală cu jumătate din suma bazelor).
Într-un trapez, latura sa este vizibilă din centrul cercului înscris la un unghi de 90°.
Dacă un trapez poate fi înscris într-un cerc, atunci este isoscel.
Raza cercului circumscris unui trapez isoscel:

R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(pb)(pc)(p-d_{1})))}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2 }}{4-\stânga({\frac {ba}{c}}\dreapta)^{2}}}}

unde este latura laterală, este baza mai mare, este baza mai mică, sunt diagonalele unui trapez isoscel.

p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c

b

A

d_{1}=d_{2}

Dacă , atunci un cerc cu rază poate fi înscris într-un trapez isoscel $a+b=2c$

r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}

Dacă un cerc cu rază este înscris într-un trapez și împarte latura laterală prin punctul de contact în două segmente - și - atunci . $r$ $v$ $w$ $r={\sqrt {vw))$

Zona

Iată care sunt formulele specifice trapezului. Vezi și formulele pentru aria patrulaterelor arbitrare .

Dacă și sunt baze și sunt înălțimi, formula ariei este : $A$ $b$ $h$

S={\frac {(a+b)}{2}}h

În cazul în care - linia mediană și - înălțimea, formula zonei : $m$ $h$

S=\displaystyle mh

Notă: Cele două formule de mai sus sunt echivalente deoarece jumătate din suma bazelor este egală cu linia mediană a trapezului:

m={\frac {(a+b)}{2}}

Formula, unde sunt bazele și laturile trapezului: $a<b$ $c$ $d$

S={\frac {a+b}{4(ba)}}{\sqrt {(a+c+db)(a+dbc)(a+cbd)(b+c+da)))).

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{ 2}}{ba}}+ba\right)^{2}}}

Linia de mijloc împarte figura în două trapeze, ale căror zone sunt legate ca [8] $m$

{\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3a+b}{a+3b}}

Aria unui trapez isoscel cu o rază a cercului înscrisă de , și un unghi la bază : $r$ $\alfa$

S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}

Aria unui trapez isoscel:

S=(bc\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }

unde este latura, este baza mai mare, este baza mai mică, este unghiul dintre baza mai mare și latura [9] .

c

b

A

\gamma

Aria unui trapez isoscel prin laturile sale

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(ba)^{2}}}

Istorie

Cuvântul „trapez” provine din cuvântul grecesc al altor greci. τραπέζιον „masă” (prescurtat de la τράπεζα „masă”), adică masă. În rusă, cuvântul „masă” (mâncare) provine de la acest cuvânt.

Note

↑ Dicţionar enciclopedic matematic . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1988. - S. 587 .
↑ Toate Matematicile Elementare . Preluat la 6 iulie 2015. Arhivat din original la 9 iulie 2015. (nedefinit)
↑ Wolfram MathWorld . Consultat la 6 iulie 2015. Arhivat din original la 19 aprilie 2015. (nedefinit)
↑ Echipa de autori. O carte modernă de referință pentru studenți. 5-11 clase. Toate articolele . — Litri, 03-09-2015. - S. 82. - 482 p. — ISBN 9785457410022 .
↑ M. I. Skanavi. Matematică elementară . - 2013. - S. 437. - 611 p. — ISBN 9785458254489 .
↑ Cadrilatere . Arhivat pe 16 septembrie 2015 la Wayback Machine
↑ Geometrie conform lui Kiselyov Arhivat la 1 martie 2021 la Wayback Machine , § 99.
↑ Zaitsev V.V., Ryzhkov V.V., Skanavi M.I. Matematică elementară. Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M.: Nauka, 1974. — 592 p.
↑ Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior 1986. S. 184

Poligoane

După numărul de laturi

Monogon
Bigon
Triunghi
Patrulater
Pentagon
Hexagon
Heptagon
Octogon
pentagon
Decagon
Hendecagon
Dodecagonul
Treisprezece
tetradecagon
Pentagon
Hexagon
Şaptesprezece
octogon
Nouăsprezece agon
Dodecagonul
Douăzeci și una de părți
Douăzeci și doi de unghi
Twentytrigon
Douăzeci și patru de unghi
Douăzeci de pentagon
Douăzeci de octogon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Patruzeci de pătrați
Patruzeci de bicagon
penticostal
penticostal
Hexagon
Șaizeci și patru
Heptagon
Octogon
Nonagon
[ en
Millagon
Zece-mii de gon
Suta de mii
Milliogon
infinit

corect

convex	Triunghi Pătrat Pentagon Hexagon Heptagon Octogon pentagon tetradecagon Şaptesprezece 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stelat	Pentagramă Hexagrama Heptagramă Octagrama ( Steaua lui Lakshmi ) Eneagrama Decagram Endecagramă Dodecagramă

triunghiuri

Cadrilatere

Vezi si