Dominanță (teoria jocurilor)

Dominanța în teoria jocurilor este o situație în care una dintre strategiile unui anumit jucător dă o răsplată mai mare decât alta, pentru orice acțiuni ale adversarilor săi. Conceptul invers, intranzitivitatea , apare dacă o strategie poate oferi profituri mai mici decât alta, în funcție de comportamentul celorlalți participanți.

Conceptul de dominanță este folosit în rezolvarea sau simplificarea anumitor tipuri de jocuri non-cooperative .

Terminologie

Atunci când își alege strategia din setul de cele admisibile, jucătorul compară rezultatele aplicării lor după preferință. Pot apărea trei tipuri de rezultate:

• Strategia B domină strategia A dacă, pentru orice comportament al altor jucători, utilizarea strategiei B nu duce la un rezultat mai rău decât folosirea lui A. Există dominanță strictă , când B oferă o răsplată mai mare decât A, în orice condiții, și dominanță slabă , dacă în cadrul unor acțiuni alți jucători, B oferă o recompensă mai mare decât A, iar pentru alții - la fel și cu ea.
• Strategia B este dominată de strategia A dacă, pentru orice comportament al celorlalți jucători, strategia B nu duce la un rezultat mai bun decât strategia A. La fel ca în cazul precedent, o strategie poate fi dominată puternic sau slab.
• Strategiile A și B sunt numite netranzitive dacă B nu îl domină pe A și A nu îl domină pe B. Aceasta înseamnă că, în funcție de alegerea strategiilor de către alți jucători, atât alegerea strategiei A, cât și a B pot oferi profituri mari pentru jucător.

Acest concept este generalizat pentru a compara mai mult de două strategii:

• Se spune că o strategie B este strict dominantă dacă domină strict orice altă strategie admisibilă a jucătorului.
• Se spune că Strategia B este slab dominantă dacă domină orice altă strategie fezabilă a jucătorului, dintre care unele sunt slab dominate.
• Strategia B se numește strict dominată dacă există o altă strategie care o domină strict.
• Strategia B se numește slab dominată dacă există o altă strategie care o domină slab.

Definiții formale

Se spune că strategia unui jucător domină slab strategia dacă

Iată produsul direct al seturilor strategice ale tuturor jucătorilor, cu excepția celui --lea.

Strategia este strict dominantă dacă

Dominanța și echilibrul Nash

Dacă există o strategie strict dominantă pentru unul dintre jucători, el o va folosi în oricare dintre echilibrele Nash din joc. Dacă toți jucătorii au strategii strict dominante, jocul are un echilibru Nash unic. Cu toate acestea, acest echilibru nu va fi neapărat Pareto eficient , adică Rezultatele de dezechilibru pot oferi tuturor jucătorilor un profit mai mare. Un exemplu clasic al acestei situații este jocul Prisoner's Dilemma .

Utilizarea strategiilor strict dominate nu este în niciun caz rațională pentru jucători și, prin urmare, nu vor fi incluse în echilibrul Nash. În același timp, strategiile slab dominate pot intra în echilibru. Un exemplu de astfel de joc este afișat în dreapta.

Aici strategiile D ale ambilor jucători sunt slab dominate de strategiile lor C . Totuși, situația ( D , D ) este echilibrul Nash în acest joc. Într-adevăr, niciun jucător, deviând de la folosirea lui D , nu poate obține mai multe plăți dacă celălalt jucător rămâne pe D .

Excluderea succesivă a strategiilor dominate

Excluderea succesivă a strategiilor dominate este o tehnică frecvent utilizată pentru rezolvarea sau simplificarea jocurilor necooperante. Se bazează pe presupunerea că în timpul jocului părțile nu vor folosi strategii dominate și, prin urmare, pot fi ignorate în deciziile ulterioare. Cu toate acestea, excluderea acestor strategii din considerare duce la o restrângere a setului de situații posibile, în urma căreia pot apărea noi strategii dominate care nu au fost dominate în jocul original. Excluderea succesivă a strategiilor dominate constă în găsirea și înlăturarea acestora într-o succesiune de jocuri reduse cu seturi de situații de joc care se micșorează.

Acest proces se poate opri, ducând la un joc redus în care toate strategiile jucătorilor sunt netranzitive sau la o singură situație. Dacă strategiile puternic dominate au fost eliminate, această situație este singurul echilibru Nash din joc. Eliminarea strategiilor slab dominate duce, de asemenea, la un echilibru Nash, dar acest echilibru poate să nu fie unic. În unele jocuri, în funcție de succesiunea de eliminare a strategiilor slab dominate, procesul de eliminare iterativă poate converge către diferite echilibre Nash.

Exemplu

Un exemplu de rezolvare a unui joc prin eliminarea succesivă a strategiilor strict dominate. [unu]

Lăsați jucătorii A și B să participe la joc. Pentru jucătorul A, sunt disponibile strategiile a 1 și a 2 , pentru jucătorul B - strategiile b 1 , b 2 , b 3 . Jucătorii aleg strategiile simultan și independent unul de celălalt. Tabelul arată plățile pe care jucătorii le primesc jucând strategia lor, în funcție de strategia aleasă a altui jucător. Prima cifră din celulă este plata primului jucător, numărul de după punct și virgulă este plata primită de al doilea jucător.

tabel sursă. De exemplu, tabelul arată că dacă jucătorul A joacă strategia a 2 și jucătorul B joacă strategia b 3 , atunci jucătorul A va primi 4 puncte și jucătorul B va primi 1 punct.

Se poate observa că indiferent de alegerea jucătorului A, pentru al doilea jucător strategia b 2 este inferioară ca caracteristici strategiei b 3 (6 < 9 și 0 < 1).

Prin urmare, coloana cu strategia b 2 poate fi ignorată în continuare, o ștergem. Din punctul de vedere al jucătorului A, printre strategiile rămase, un 1 este net inferior unui 2 (6 < 7 și 3 < 4)

Tăiați linia cu strategia a 1 . Au mai rămas doar două celule în tabelul de plăți, iar pentru al doilea jucător, strategia b 1 este clar preferabilă strategiei b 3 (1 < 7).

Astfel, excluzând strategiile puternic dominate, am rezolvat jocul: jucătorii raționali vor juca strategiile b 1 și a 2 , fiecare jucător va primi un câștig de 7.

Note

1. ↑ Tabel de la cursul Teoria jocurilor Arhivat 17 februarie 2015 pe Wayback Machine de Dmitry Dagaev (Școala Superioară de Economie) pe Coursera

Literatură

• Vasin A. A. , Morozov  V. V. Teoria jocurilor și modelele economiei matematice. - M. : Max-press, 2005. - 272 p. — ISBN 5-317-01388-7 .
• Vasin A.A. Jocuri non-cooperative în natură și societate. Moscova: Max Press, 2005, 412 p. ISBN 5-317-01306-2 .
• Danilov V. I. Prelegeri despre teoria jocurilor . - M.: NES, 2002. - 140 p. : bolnav. ISBN 5-8211-0193-X
• Petrosyan L.A. , Zenkevich N.A., Semina E.A. Teoria jocurilor: Proc. indemnizatie pentru un-tovaras. - M .: Mai sus. Scoala, Casa de carte „Universitate”, 1998. - S. 304. - ISBN 5-06-001005-8 , 5-8013-0007-4.
• Pechersky, S.L., Belyaeva, A.A. Teoria jocurilor pentru economiști. Curs introductiv. (Manual) - Sankt Petersburg: Editura Universității Europene, 2001.