Semn logaritmic de convergență

Semnul logaritmic al convergenței este un semn al convergenței serii numerice cu termeni pozitivi.

De fapt, acest semn de convergență se reduce la compararea seriei studiate pentru convergență cu o serie armonică generalizată (seria Dirichlet)

Formulare

O serie cu termeni pozitivi converge dacă există astfel încât următoarea inegalitate să fie valabilă pentru fiecare: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $a_{n}>0$ $N$ $n\geqslant N$

L_{n}={\frac {\ln {\frac {1}{a_{n)))){\ln n))\geqslant 1+\delta ,

unde nu depinde de .

\delta>0

n

Dacă , unde , atunci seria diverge. $\exists N\colon \forall n\geqslant N\quad L_{n}\leqslant 1-\delta$ $\delta>0$

Dar dacă , atunci nu se poate spune nimic cert despre convergență sau divergență [1] . $\lim _{{n\to \infty }}L_{n}=1$

Formulare în formă limită

Dacă există o limită:

L=\lim _{{n\to \infty }}L_{n}

apoi pentru , seria converge, iar pentru , diverge. $L>1$ $L<1$

Note

↑ Gursa E. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Partea 2. - 1933 - M .: Stat. teh.-teor. editura, - S. 17 (§ 154)

Literatură

Test logaritmic de convergență - articol din Encyclopedia of Mathematics

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich