Semnul lui Schlömilch

Formulare

Dacă există astfel încât, pornind de la un număr , să fie valabilă următoarea inegalitate: $\delta>0$ $n$

S_{n}=n\cdot \ln \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)\geqslant 1+\delta ,

apoi seria converge. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Dacă , pornind de la unele , atunci seria diverge. $S_{n}\leqslant 1$ $n$

Daca exista o limita :

S=\lim _{n\la \infty }S_{n)

apoi pentru , seria converge, iar pentru , diverge. $S>1$ $S<1$

Cometariu. Dacă , atunci criteriul Schlömilch nu răspunde la întrebarea despre convergența seriei. $S=1$

Semnul Schlömilch vă permite să stabiliți convergența unor serii pentru care semnul Raabe nu este aplicabil [1] . De exemplu, pentru un rând:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!] ^{2}}}

raportul dintre membrii adiacente:

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n) -1)!!]^{2))}\cdot {\frac {[(2n+1)!!]^{2)){4^{n}[n!]^{2))}={ \frac {1}{4}}\cdot {\frac {(2n+1)^{2}}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}

;

semnul lui Raabe pentru el dă:

R_{n}=1+{\frac {1}{4n}}\xrightarrow {n\to \infty } 1

și semnul lui Schlömilch:

S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\xrightarrow {n \to \infty } 0

În mod similar, testul Bertrand confirmă și convergența acestei serii:

B_{n}={\frac {\ln n}{4n)}\xrightarrow {n\la \infty } 0

Cu toate acestea, semnul lui Schlömilch este mai puțin sensibil decât semnul lui Bertrand. De exemplu, nu permite stabilirea convergenței seriei: [1]

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2))}

Pentru el, raportul termenilor vecini:

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!] ^{2}}}\cdot {\frac {[(n+2)!]^{2}}{n!\cdot (n+3)!}}={\frac {(n+2)^{ 2}}{n\cdot (n+3)}}=1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}

Semnul lui Raabe pentru el dă:

R_{n}=n\cdot {\frac {n+4}{n^{2}+3n)}={\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n }}\xrightarrow {n\la \infty } 1

precum și semnul Schlömilch:

S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } 1

Pe de altă parte, testul Bertrand indică fără ambiguitate convergența acestei serii:

B_{n}=\ln n\cdot \left({\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n)) -1\right)={\frac {\ln n}{n+3}}\xrightarrow {n\la \infty } 0

↑ 1 2 Franciszek Prus-Wiśniowski, Comparație între testele lui Raabe și Schlömilch Arhivat la 29 ianuarie 2022 la Wayback Machine , Tatra Mt. Matematică. Publ. 42 (2009), 119-130

Subir Kumar Mukherjee. Teorema 15 // Primul curs de analiză reală (engleză) . - Kolkata: Academic Publishers, 2009. - P. 190. - 383 p. — ISBN 9788189781903 .

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesara Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semn Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich