Semn telescopic

Semnul telescopic ( semnul de îngroșare a lui Cauchy ) este un semn de convergență a seriilor numerice cu termeni pozitivi, stabilit de Augustin Cauchy în 1821 [1] .

Formulare

Lăsați următoarele pentru membrii seriei: $f(n)$

succesiunea este monoton descrescătoare $\{f(n)\}$
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - membrii nu sunt negativi

Apoi seria converge sau diverge simultan cu seria . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

Dovada

1. După condiţiile teoremei, succesiunea termenilor este monoton descrescătoare, adică. orice membru al secvenței nu trebuie să fie mai mic decât fiecare ulterior, ceea ce înseamnă că suma termenilor, începând de la , nu depășește : $\{f(n)\}$ $m$ $f(n)$ $m\cdot f(n)$

\sum _{i=n}^{n+m-1}f(i)\leq m\cdot f(n)

Grupăm membrii seriei și, folosind această proprietate a unei secvențe descrescătoare, obținem: $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty}f(n)&=f(1)+\underbrace {f(2)+f(3)} _{\leq f(2)+f(2)}+\underbrace {f(4)+f(5)+f(6)+f(7)} _{\leq f(4)+f(4)+f( 4)+f(4)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n}+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1) } _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+\cdots +f(2^{n})}+\cdots \\&\leq f(1)+2f( 2)+4f(4)+\cdots +2^{n}f(2^{n})+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^ {n}).\end{aliniat}}

Adică dacă seria converge, atunci după criteriul de comparație seria converge cu atât mai mult. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

2. În mod similar:

{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=\underbrace {f(1)+f(2)} _{\leq f(1)+f(1)}+\underbrace {f(2)+f(4)+f(4)+f(4)} _{\leq f(2)+f(2 )+f(3)+f(3)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n+1})+\cdots +f(2^{n+1 })} _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+f(2^{n}+1)+f(2^{n}+1)+\cdots + f(2^{n+1}-1)}+\cdots \\&\leq f(1)+f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3) +\cdots +f(n)+f(n)+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).\end{aliniat))

Adică, dacă seria diverge, atunci, după criteriul de comparație , seria diverge cu atât mai mult. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).

■

Generalizări

În 1864, Joseph Bertrand a arătat că în loc de o serie în această teoremă, poate fi folosită orice serie de formă: [2] $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

\sum _{n=0}^{\infty }m^{n}f(m^{n})

, Unde

m\in \mathbb {N} ,m\geq 2

În 1902, Émile Borel a extins în continuare această teoremă folosind o serie de formă în loc de o serie: [3] $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}f([a]^{n})

, Unde

a\in \mathbb {R} ,a>1

Aici este partea întreagă a . $[A]$ $A$

Semnul de condensare al lui Schlömilch

În 1873 , Oskar Schlömilch a dovedit o altă generalizare a caracteristicii telescopice [4] :

Lăsați următoarele pentru membrii seriei: $f(n)$

succesiunea este monoton descrescătoare $\{f(n)\}$
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - membrii nu sunt negativi

Apoi seria converge sau diverge simultan cu seria și . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty}(2n-1)\cdot f(n^{2})$ $\sum _{n=1}^{\infty }2n\cdot f(n^{2})$

Semnul de condensare al lui Knopp

În cartea sa din 1922, Konrad Knopp a formulat următoarea generalizare a caracteristicii telescopice.

Lăsa:

$\{f(n)\}$ este o secvență monoton descrescătoare (termenii seriei)
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - succesiunea este nenegativă
$\{u_{n}\}$ este o secvență strict crescătoare
$u_{n}\in \mathbb {N}$ (ceea ce înseamnă ) $u_{n}>0$ $\forall n$
secvență limitată $\{r_{n}\}=\left\{{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}\dreapta\}$

Apoi seria converge sau diverge simultan cu seria . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1}-u_{n})f(u_{n})$

Această teoremă este uneori atribuită lui Schlömilch [5] .

De exemplu, dacă luăm în considerare o secvență care satisface cerințele teoremei pentru o fixă arbitrară , atunci conform acestei teoreme seria converge sau diverge simultan cu seria , și deoarece înmulțirea seriei cu o constantă diferită de zero nu îi afectează convergență, seria originală converge sau diverge simultan cu seria la orice constantă aleasă . $u_{n}=c^{n}$ $c\in \mathbb {N} \setminus \{1\)$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $(c-1)\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ $c\in \mathbb {N} ,\;c\neq 1$

Note

↑ Cauchy AL I.re partie: Analyse algébrique // Cours d'analyse de l'École royale polytechnique. Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. - p. 135-136. — 576 p.
↑ Bertrand J. Premiere Partie. Calcul Différentiel // Traité de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral (franceză) . - Paris: Gauthier-Villars, 1864. - S. 234-235. — 780 s.
↑ Borel E. Leçons sur les Séries a Termes Positifs (franceză) . - Paris: Gauthier-Villars, 1902. - 91 p.
↑ Schlömilch O. Ueber dei gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen (germană) // ZfMuP. - 1873. - Bd. b28 . - S. 425-426 .
↑ Bonar, Khoury, 2006 , Teorema 2.4 cu dovezi.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Cauchy Condensation Test (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
D. D. Bonar și M. Khoury, Jr. Tehnici mai sofisticate // Real Infinite Series . - Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. - pp . 43-45 . — 264 p. — ISBN 0-88385-745-6 .

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich