Semnul lui Ermakov

Semnul lui Ermakov este un semn de convergență a seriilor numerice cu termeni pozitivi, stabilit de Vasily Ermakov . Specificul său constă în faptul că depășește toate celelalte semne cu „sensibilitatea” sa. Această lucrare a fost publicată în articolele: „The general theory of the convergence of series” („Colecția matematică”, 1870 și „Bullet. des sciences mathém. et astronom.”, 2-me série, t. III), „A nou criteriu de convergență și divergență serii alternante infinite” („Universitetskie Izvestia a Universității Sf. Vladimir” pentru 1872).

Formulare

Lăsați funcția să îndeplinească: $f(x)$

$f(x)>0\;\forall x$ (funcția acceptă numai valori pozitive);
funcţia scade monoton pe măsură ce . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Atunci seria converge dacă următoarea inegalitate este valabilă pentru: $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $x\geqslant x_{0}$

\varepsilon (x)={\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda

unde . $\lambda<1$

Dacă pentru , atunci seria diverge. $\varepsilon(x)\geqslant 1$ $x\geqslant x_{0}$

Dovada [1]

1. Fie valabilă următoarea inegalitate:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda .

Înmulțim ambele părți ale acestei inegalități cu și integrăm folosind substituția : $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt=\int \limits _{{x_{0}}} ^{x}f(e^{u})\cdot e^{u}\,du\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt ,

de aici

(1-\lambda )\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant \lambda \left(\ int \limits _{{x_{0}}}}^{x}f(t)\,dt-\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{ x }}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \left(\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f ( t)\,dt-\int \limits _{x}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0} } }^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt,

întrucât subtrahendul din ultimele paranteze este pozitiv. Prin urmare, împărțind inegalitatea la , obținem: $e^{x}>x$ $1-\lambda$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {\lambda }{(1-\ lambda )}}\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt.

Adăugând integrala la ambele părți , obținem $\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}\,f(t)dt$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {1}{(1-\lambda )))\int \ limitele _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt=L.

Având în vedere că , la $e^{x}>x$ $x\geqslant x_{0}$

\int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt\leqslant L.

Deoarece integrala crește odată cu creșterea și, există o limită finită pentru ea la : $X$ $x\la \infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt\leqslant L.

Deoarece această integrală converge, conform testului integral Cauchy-Maclaurin , seria converge de asemenea. $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

2. Acum să fie valabilă următoarea inegalitate:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\geqslant 1.

Înmulțind ambele părți ale acestei inegalități și integrând, folosind substituția din partea stângă , obținem: $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt.

Să adăugăm integrala ambelor părți : $\int \limits _{x}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt$

\int \limits _{{x}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_ {0}}}}}f(t)\,dt=\gamma .

Pentru că , atunci . Acum definim secvența după cum urmează: $x_{0}<e^{{x_{0}}}$ $\gamma >0$ $\{x_i\}$

x_{i}=e^{{x_{{i-1}}}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,\;\ldots

Folosind această secvență, ultima inegalitate poate fi scrisă ca:

\int \limits _{{x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant \gamma .

Însumăm această integrală peste : $i=0,\;1,\;\ldots ,\;n$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{x_{n}}}f(t)\,dt=\sum _{{i=1}}^{n}\int \limits _{ {x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant n\gamma ,

adică această integrală este nemărginită pentru . De aceea: $n\la\infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{{x\to \infty }}\int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt=+\infty .

Deoarece această integrală diverge, conform testului integral Cauchy-Maclaurin , și seria diverge. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

Formulare în formă limită

Dacă există o limită:

\varepsilon =\lim _{{x\to \infty }}\varepsilon (x),

apoi pentru , seria converge, iar pentru , diverge. $\varepsilon<1$ $\varepsilon >1$

Generalizare [2]

Lăsați funcția să îndeplinească: $f(x)$

$f(x)>0\;\forall x$ (funcția acceptă numai valori pozitive);
funcţia scade monoton pe măsură ce . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Să luăm o funcție , care: $\varphi (x)>x$

$\varphi (x)>0\;\forall x$ (funcția acceptă numai valori pozitive);
crește monoton;
are o variabilă continuă.

Atunci seria converge dacă este valabilă următoarea inegalitate: $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\leqslant \lambda <1

Dacă

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\geqslant 1

apoi seria diverge.

Note

↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral . — M .: Nauka, 1970.
↑ A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov. Manual de matematică pentru ingineri și oameni de știință. - 2006. - S. 340. - 1544 p. - ISBN 978-1420010510 .

Literatură

Semnul Ermakov - articol din Enciclopedia Matematicii

Link -uri

Weisstein, Testul lui Eric W. Ermakoff (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich