Semn Kummer

Criteriul Kummer este un criteriu general pentru convergența seriilor numerice cu termeni pozitivi, stabilit de Ernst Kummer .

Formulare

Să fie date o serie și o secvență numerică arbitrară astfel încât seria diverge. Atunci seria converge dacă următoarea inegalitate este valabilă pentru toate: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}\,(a_{n}\geqslant 0)$ $\{c_{n}\}\,(c_{n}\geqslant 0)$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\geqslant \delta

unde . $\delta>0$

Dacă pentru , atunci seria diverge. $K_{n}\leqslant 0$ $n>N$

Dovada [1]

Dat un rând . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

1. Dovada de convergenta. Să fie valabilă inegalitatea pentru toți: $n$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\geqslant \delta >0

Înmulțind ambele părți ale acestei inegalități cu , obținem: $a_{{n+1}}$

$c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}\geqslant \delta \cdot a_{{n+1}}$ ,

(*)

și de când , atunci: $\delta>0$

c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}>0

c_{n}\cdot a_{n}>c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}

Aceasta implică faptul că șirul este monoton în scădere și, prin urmare, tinde către o limită finită (deoarece este mărginită de jos de zero). În consecință, converge șirul ), care este suma primilor termeni ai seriei $c_{n}\cdot a_{n}$ $(c_{1}\cdot a_{1}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}$ $n$

\sum _{{n=1}}^{\infty }(c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}})

care deci şi converge. Dar apoi din inegalitatea (*), conform primei teoreme de comparație , rezultă că seria converge . Apoi, din moment ce , această serie trebuie să convergă . $\sum _{{n=1}}^{\infty }\delta a_{{n+1}}$ $a_{n}\leqslant \delta a_{{n+1}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Notă . La dovedirea convergenței nu este utilizată condiția ca seria diverge. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$

2. Dovada de divergenta. Acum să fie valabilă următoarea inegalitate pentru unii: $n>N$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\leqslant 0

c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}\leqslant c_{{n+1}}

Împărțind ambele părți ale acestei inegalități la obținem: $c_{{n+1}}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}$

{\frac {a_{{n+1}}}{a_{{n}}}}\geqslant {\frac {{\frac {1}{c_{{n+1}}}}}{{\frac {1}{c_{n}}}}}}

Deoarece, conform condițiilor teoremei, seria se presupune a fi divergentă, atunci, în virtutea teoremei de comparație , această serie trebuie și ea să diverge . ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Formulare în formă limită

Dacă există o limită:

K=\lim _{{n\to \infty }}K_{n}

apoi pentru , seria converge, iar pentru , diverge. $K>0$ $K<0$

Cazuri speciale importante

Alte teste pentru convergența seriilor sunt cazuri speciale ale testului lui Kummer cu tipuri specifice de secvență : $c_n$

Când - un semn al lui d'Alembert ; $c_{n}=1$
Când - un semn al lui Raabe ; $c_{n}=n$
Când este un semn de Bertrand . $c_{n}=n\,{\mathrm {ln))\,n$

Note

↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral . — M .: Nauka, 1970.

Literatură

Semnul Kummer - articol din Encyclopedia of Mathematics

Link -uri

Weisstein, Testul lui Eric W. Kummer (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich