Accelerare

Accelerare
${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}$
Dimensiune	LT- 2
Unități
SI	m/s²
GHS	cm/s²
Note
cantitatea vectorială

Accelerația (notată de obicei prin literele latine a (din lat. acceleratio ) sau w ) este o mărime fizică care determină viteza de schimbare a vitezei unui corp, adică prima derivată a vitezei în raport cu timpul . Accelerația este o mărime vectorială care arată cât de mult se modifică vectorul viteză al unui corp pe măsură ce se mișcă pe unitatea de timp: ${\vec {v}}$

\vec a={d\vec v \over dt}.

De exemplu, corpurile care cad liber lângă suprafața Pământului de-a lungul verticală, în cazurile în care rezistența aerului pe care o experimentează este mică, își măresc viteza cu aproximativ 9,8 m/s pe secundă, adică accelerația lor este aproximativ egală cu 9,8 m . / s² . În cazul mișcării nerectilinii, se ia în considerare nu numai modificarea mărimii vitezei, ci și direcția acesteia: de exemplu, accelerația unui corp care se deplasează de-a lungul unui cerc cu o viteză constantă în valoare absolută nu este egală cu zero: există este o accelerație constantă în valoare absolută (și variabilă în direcție) direcționată spre centrul cercului.

Unitatea de măsură a accelerației în Sistemul Internațional de Unități (SI) este metrul pe secundă pe secundă (desemnare rusă: m/s 2 ; internațional: m/s 2 ).

Accelerația în cinematica punctului

Cel mai general caz

Accelerație și cantități aferente

Vectorul de accelerație al unui punct material în orice moment de timp se găsește printr-o singură diferențiere în timp a vectorului viteză al unui punct material (sau o diferențiere dublă a vectorului rază ):

\vec a = {d\vec v \over dt} = {d^2\vec r \over dt^2}.

Dacă coordonatele și vectorul viteză sunt cunoscute pe traiectoria punctului în orice moment t 0 , precum și dependența accelerației de timp , atunci prin integrarea acestei ecuații, puteți obține coordonatele și viteza punctului în orice moment. timpul t (atât înainte, cât și după momentul t 0 ): $\vec r (t_0) = \vec r_0$ $\vec v(t_0) = \vec v_0$ $\vec a (t),$

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+\int _{t_{0}}^{t}{\vec {a}}(\tau ) d\tau ,

{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+(t-t_{0}){\vec {v}}_{0}+\int _{ t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{\xi }{\vec {a}}(\tau )d\tau d\xi .

Derivata în timp a accelerației, adică valoarea care caracterizează viteza de modificare a accelerației, se numește smucitură :

\vec j=\frac {\mathrm{d} \vec a} {\mathrm{d}t},

unde este vectorul smucitura.

\vec j

Analiza mișcării curbei

Traiectoria mișcării unui punct material într-o zonă mică poate fi considerată plată. Vectorul de accelerație poate fi extins în baza însoțitoare $\vec a$ $\left\{\vec \tau, \vec{n}, \vec{b}\right\}:$

\vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} + {a}_b {\vec b} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau } + \frac{v^2}{R} {\vec n} + {a}_b {\vec b} ,

Unde

v\

- valoarea vitezei ,

{\vec \tau} = \vec v/|\vec v|

este o unitate tangentă la vectorul traiectorie direcționat de-a lungul vitezei ( vector unitar tangențial ),

{\vec n}

este vectorul normalei principale la traiectorie, care poate fi definit ca un vector unitar în direcție

d\vec\tau/dl ,

{\vec b}

este ort al binormalului pe traiectorie, perpendicular pe ambele orte și (adică ortogonal pe planul instantaneu al traiectoriei),

{\vec \tau}

{\vec n}

R

este raza de curbură a traiectoriei.

Termenul numit accelerație binormală este întotdeauna egal cu zero. Aceasta poate fi considerată o consecință directă a definiției vectorilor , putem spune că aceștia sunt aleși în așa fel încât primul să coincidă întotdeauna cu accelerația normală, în timp ce al doilea este ortogonal cu primul. ${a}_b{\vec b},$ $\vec n, \vec b:$

Vectorii și se numesc accelerații tangenți ( tangențial ) și , respectiv , normale . ${a}_\tau\vec \tau}$ ${a}_n{\vec n}$

Deci, având în vedere cele de mai sus, vectorul de accelerație atunci când se deplasează de-a lungul oricărei traiectorii poate fi scris ca:

\vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau} + \frac{v^2}{ R} {\vec n}.

Cazuri speciale importante

Mișcare uniform accelerată

Dacă vectorul nu se modifică în timp, mișcarea se numește uniform accelerată . Cu o mișcare uniform accelerată, formulele generale de mai sus sunt simplificate în următoarea formă: $\vec a$

\vec v(t) = \vec v_0 + (t - t_0)\vec a,

\vec r(t) = \vec r_0 + (t-t_0)\vec v_0 + {(t-t_0)^2\over 2}\vec a.

Un caz special de mișcare uniform accelerată este cazul când accelerația este zero pe tot timpul mișcării. În acest caz, viteza este constantă, iar mișcarea are loc de-a lungul unei traiectorii rectilinie (dacă viteza este și zero, atunci corpul este în repaus), prin urmare, o astfel de mișcare se numește rectilinie și uniformă.

Mișcarea uniform accelerată a unui punct este întotdeauna plată, iar cea a unui corp rigid este întotdeauna plan-paralelă ( translație ). În general, invers nu este adevărat.

Mișcarea uniform accelerată în timpul tranziției la un alt cadru de referință inerțial rămâne uniform accelerată.

Cazul mișcării uniform accelerate, când accelerația (constantă) și viteza sunt direcționate de-a lungul aceleiași drepte, dar în direcții diferite, se numește mișcare uniform lentă. Mișcarea uniformă lentă este întotdeauna unidimensională. Mișcarea poate fi considerată ca fiind uniform încetinită doar până în momentul în care viteza devine egală cu zero. În plus, există întotdeauna cadre de referință inerțiale în care mișcarea nu este la fel de lentă.

Mișcare rectilinie

Un caz particular important de mișcare cu accelerație este mișcarea rectilinie, atunci când accelerația în orice moment este coliniară cu viteza (de exemplu, cazul unui corp în cădere cu o viteză inițială verticală). În cazul mișcării rectilinie, se poate alege una dintre axele de coordonate de-a lungul direcției de mișcare și se poate înlocui vectorul rază și vectorii accelerație și viteză cu scalari. În același timp, la accelerație constantă, din formulele de mai sus rezultă că

v^{2}=v_{0}^{2}+2\,as.

Aici v 0 și v sunt vitezele inițiale și finale ale corpului, a este accelerația acestuia, s este calea parcursă de corp.

O serie de formule practic importante conectează timpul scurs, distanța parcursă, viteza atinsă și accelerația în mișcare rectilinie uniform accelerată cu viteza inițială zero ( ): $v_{0}=0$

t = \sqrt{\frac{2 s}{a}} = \frac{v}{a} = \frac{2s}{v}, \qquad\qquad s = \frac{vt}{2}=\ frac{at^2}{2} = \frac{v^2}{2a},

v = \sqrt{2 \, as} = at = \frac{2s}{t}, \qquad\qquad a = \frac{v}{t} = \frac{2s}{t^2} = \frac {v^2}{2s},

deci oricare două dintre aceste mărimi le determină pe celelalte două (aici se presupune că timpul se numără de la începutul mișcării: t 0 = 0 ).

Mișcare circulară

Vector de accelerație

\vec a = \frac{d \vec v}{dt}

când un punct se mișcă de-a lungul unui cerc, acesta poate fi descompus în doi termeni (componente):

\vec a = \vec a_\tau + \vec a_n .

Accelerația tangenţială sau tangenţială (uneori notată, etc., în funcție de ce literă dintr-un anumit text se obișnuiește să desemneze accelerația) este direcționată tangențial la traiectorie. Este o componentă a vectorului accelerațiecoliniar cu vectorul viteză instantanee. Caracterizează schimbarea vitezei modulo. $\vec a_\tau$ $\vec w_\tau, \vec u_\tau$ $\vec a,$

\vec a_\tau = \frac{\vec v}{|\vec v|} \cdot \frac{d |\vec v|}{dt}.

Accelerația centripetă sau normală (notată și uneori, etc.) apare (nu egală cu zero) întotdeauna atunci când un punct se mișcă nu numai de-a lungul unui cerc, ci și de-a lungul oricărei traiectorii cu curbură diferită de zero. Este o componentă a vectorului accelerațieperpendicular pe vectorul viteză instantanee. Caracterizează schimbarea vitezei în direcție. Vectorul de accelerație normal este întotdeauna îndreptat către axa instantanee de rotație, $\vec a_n$ $\vec w_n, \vec u_n$ $\vec a,$

\vec a_n = {|\vec v|} \cdot \frac{d}{dt}\frac{\vec v}{|\vec v|},

iar modulul este

|\vec a_n| = \omega ^2 r = {v^2 \over r},

unde ω este viteza unghiulară în jurul centrului de rotație și r este raza cercului.

În plus față de aceste două componente, este utilizat și conceptul de accelerație unghiulară , care arată cât de mult s-a schimbat viteza unghiulară pe unitatea de timp și, în mod similar cu accelerația liniară, calculată după cum urmează:

\vec \varepsilon = {d\vec \omega \over dt}.

Direcția vectorului indică aici dacă modulul de viteză crește sau descrește. Dacă vectorii accelerației unghiulare și vitezei unghiulare sunt co-direcționați (sau cel puțin produsul lor scalar este pozitiv), valoarea vitezei crește și invers.

În cazul particular al mișcării uniforme de-a lungul unui cerc, vectorii accelerației unghiulare și ai accelerației tangențiale sunt egali cu zero, iar accelerația centripetă este constantă în valoare absolută.

Accelerație în mișcare complexă

Se spune că un punct material (corp) efectuează o mișcare complexă dacă se mișcă în raport cu orice cadru de referință și că, la rândul său, se mișcă în raport cu un alt cadru de referință „de laborator”. Atunci accelerația absolută a corpului în sistemul de laborator este egală cu suma accelerațiilor relative, translaționale și Coriolis :

{\vec {a}}={\vec {a}}_{r'}+{\vec {a}}_{e}+2\left[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{r'}\right].

Ultimul termen conține produsul vectorial al vitezei unghiulare de rotație a cadrului de referință în mișcare și a vitezei unui punct material din acest cadru în mișcare.

Accelerații în cinematica unui corp rigid

Legătura dintre accelerațiile a două puncte ale unui corp absolut rigid A și B poate fi obținută din formula lui Euler pentru vitezele acestor puncte:

\vec{v}_B = \vec{v}_A + \left[\vec{\omega}\times\vec{AB}\right],

unde este vectorul viteză unghiulară al corpului. Diferențiând -o în funcție de timp, obținem formula Rivals [1] [2] (Marc-Joseph-Émilien Rivals, 1833–1889 [3] ): $\vec{\omega}$

\vec{a}_B = \vec{a}_A + \left[\vec{\omega}\times \left[ \vec{\omega}\times \vec{AB}\right] \right] + \left [ \vec{\varepsilon}\times \vec{AB} \right],

unde este vectorul de accelerație unghiulară al corpului. $\vec{\varepsilon}$

Al doilea termen se numește accelerație oscilantă , iar al treilea termen se numește accelerație de rotație [1] .

Crearea accelerației. Dinamica punctului

Prima lege a lui Newton postulează existența cadrelor de referință inerțiale . În aceste sisteme de referință, mișcarea rectilinie uniformă are loc atunci când corpul ( punctul material ) nu este supus niciunei influențe externe în cursul mișcării sale. Pe baza acestei legi, conceptul de forță , care este cheie pentru mecanică, ia naștere ca atare o influență externă asupra unui corp care îl scoate dintr-o stare de repaus sau afectează viteza de mișcare a acestuia. Astfel, se postulează că cauza accelerației diferite de zero într-un cadru de referință inerțial este întotdeauna o acțiune a forței externe [4] .

Mecanica clasică

A doua lege a lui Newton, aplicată mișcării non-relativiste (adică mișcării cu viteze mult mai mici decât viteza luminii), afirmă că accelerația unui punct material este întotdeauna proporțională cu forța aplicată acestuia și care generează accelerația, iar coeficientul de proporționalitate este întotdeauna același, indiferent de tipul de acțiune al forței (se numește masa inerțială a unui punct material):

m \vec a = \vec F.

Dacă se cunosc masa unui punct material și (în funcție de timp) forța care acționează asupra acestuia, atunci accelerația sa este cunoscută și din legea a doua a lui Newton: Dacă forța este constantă, accelerația va fi și ea constantă. Viteza și coordonatele unui punct în orice moment de timp pot fi obținute prin integrarea accelerației folosind formulele din secțiunea privind cinematica unui punct pentru viteze și coordonate inițiale date. $\vec a = \vec F /m.$

Mecanica relativistă

În fizica relativistă, a doua lege a lui Newton este scrisă sub formă

m{\frac {d}{dt}}{\frac {\vec {v}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\vec {F }}

ceea ce face găsirea acceleraţiei mai dificilă decât în cazul clasic. În special, mișcarea pe termen lung cu accelerație constantă este fundamental imposibilă (altfel viteza unui punct va depăși în cele din urmă viteza luminii ), iar invarianța forței nu înseamnă invarianța accelerației: va tinde spre zero cu creşterea vitezei. Cu toate acestea, dacă dependența este totuși găsită, calculul poate fi efectuat folosind aceleași formule ca în limita nerelativista. ${\vec {a}}(t)$ ${\vec {v}}(t)$ ${\vec r}(t)$

Accelerația în relativitate

În teoria relativității , mișcarea unui corp cu viteză variabilă de-a lungul liniei lumii în spațiu-timp 4-dimensional este caracterizată de o anumită valoare, similară cu accelerația. Spre deosebire de vectorul de accelerație obișnuit (tridimensional), vectorul de accelerație 4 (numit 4-accelerație ) a i este derivata a doua a vectorului 4 de coordonate x i nu în raport cu timpul, ci în raport cu spațiul- intervalul de timp τ (sau, echivalent, , în timpul potrivit ) de-a lungul liniei mondiale a corpului:

a^i = \frac {d^2 x^i}{d\tau^2} = \frac{du^i}{d\tau} .

În orice punct al liniei lumii, vectorul 4 de accelerație este întotdeauna ortogonal cu viteza 4 :

u_i a^i = 0 \, .

Aceasta înseamnă, în special, că 4-viteze se schimbă nu în valoare absolută, ci numai în direcție: indiferent de direcția în spațiu-timp, 4-viteze a oricărui corp este egală în valoare absolută cu viteza luminii. Din punct de vedere geometric, accelerația 4 coincide cu curbura liniei lumii și este analogă cu accelerația normală din cinematica clasică.

În mecanica clasică, valoarea accelerației nu se schimbă atunci când se trece de la un cadru de referință inerțial la altul, adică accelerația este invariabilă în cadrul transformărilor galileene . În mecanica relativistă, accelerația 4 este un vector de 4, adică sub transformările Lorentz, se schimbă în mod similar cu coordonatele spațiu-timp.

Vectorul de accelerație tridimensional „obișnuit” (la fel ca în secțiunile anterioare, denumirea este schimbată pentru a evita confuzia cu accelerația 4), definită ca derivata vitezei tridimensionale „obișnuite” în raport cu timpul de coordonare , este folosit și în cadrul cinematicii relativiste, dar invariantul transformărilor Lorentz nu este. Într-un cadru de referință inerțial care însoțește instantaneu, accelerația 4 este Sub acțiunea unei forțe constante, accelerația unui punct scade odată cu creșterea vitezei, dar accelerația 4 rămâne neschimbată (acest caz se numește mișcare relativ accelerată uniform , deși „obișnuită „accelerația nu este constantă). $\vec{w}$ ${\vec {a}}(t)$ $\vec{v}$ ${\vec {w}}=d{\vec {v}}/dt$ $a=(0, \vec{w}).$ $\vec{w}$

Măsurătorile de accelerație

Unitățile folosite

metru pe secundă pătrat (metru pe secundă pe secundă), m/s² , unitate derivată SI ;
centimetru pe secundă pătrat (centimetru pe secundă pe secundă), cm / s² , o unitate derivată a sistemului CGS , are, de asemenea, propriul nume gal , sau galileo (folosit în principal în gravimetrie );
g (pronunțat „la fel”), accelerația standard a căderii libere pe suprafața Pământului, care este, prin definiție, 9,80665 m/s² . În calculele tehnice care nu necesită o precizie mai mare de 2%, este adesea folosită aproximarea g ≈ 10 m/s² .

Conversii între diferite unități de accelerație

	m/s 2	ft/s 2	g	cm/s 2
1 m/s² =	unu	3,28084	0,101972	100
1 ft /s² =	0,304800	unu	0,0310810	30,4800
1 g =	9,80665	32.1740	unu	980.665
1 cm/s² =	0,01	0,0328084	0,00101972	unu

Mijloace tehnice

Dispozitivele de măsurare a accelerației se numesc accelerometre . Ele nu „detectă” accelerația direct, ci măsoară forța reacțieisprijin care apare în timpul mișcării accelerate. Deoarece forțe de rezistență similare apar într-un câmp gravitațional, gravitația poate fi măsurată și folosind accelerometre .

Accelerografele sunt dispozitive care măsoară și înregistrează automat (sub formă de grafice) valorile accelerației mișcării de translație și rotație.

Valorile accelerației în unele cazuri

Valori de accelerație ale diferitelor mișcări: [5]

Tipul de mișcare	Accelerație, m/s 2
Accelerația centripetă a sistemului solar în timpul mișcării orbitale în galaxie	2,2⋅10 −10
Accelerația centripetă a Pământului în timpul mișcării orbitale în jurul Soarelui	0,0060
Accelerația centripetă a Lunii în timpul mișcării orbitale în jurul Pământului	0,0027
lift de pasageri	0,9—1,6
tren de metrou	unu
Mașina „Zhiguli”	1.5
alergător pe distanțe scurte	1.5
Ciclist	1.7
Patinator	1.9
Motocicletă	3-6
Frânarea de urgență a mașinii	4-6
Usain Bolt , accelerație maximă	8 [6]
Mașină de curse	8-9
Frânarea la deschiderea unei parașute	30 ( 3 g )
Lansarea navelor spațiale și decelerare	40-60 ( 4-6g )
manevra cu jet	până la 100 (până la 10 g )
Grămadă după impact	300 ( 30 g )
Piston motor cu ardere internă	3×10 3
Glonț în țeava puștii	2,5×10 5
Microparticule în accelerator	(2—50)×10 14
Electroni între catod și anodul unui tub TV color (20 kV , 0,5 m)	≈7×10 15
Ciocnirea electronilor cu fosforul unui tub TV color (20 kV)	≈10 22
Particule alfa într-un nucleu atomic	≈10 27

Notă: aici g ≈ 10 m/s 2 .

Conceptul de „accelerare generalizată”

Dacă dinamica unui sistem mecanic este descrisă nu în carteziene, ci în coordonate generalizate (de exemplu, în formulările hamiltoniene sau lagrangiene ale mecanicii), atunci pot fi introduse accelerații generalizate - derivatele primare ale vitezelor generalizate sau derivatele secunde ale coordonate generalizate; de exemplu, dacă un unghi este ales ca una dintre coordonatele generalizate, atunci accelerația generalizată va fi accelerația unghiulară corespunzătoare . Dimensiunea accelerațiilor generalizate în cazul general nu este egală cu LT −2 . $q_{i}$ $\ddot{q_i}$ $\dot{q_i}$

Vezi și

Note

↑ 1 2 Markeev A.P. Mecanica teoretică. - M. : CheRo, 1999. - S. 59. - 572 p.
↑ Review of Rivals' results: Appendice au Mémoire de M. Bresse // Journal de l'École polytechnique. - 1853. - T. 20 . - S. 109-115 . Arhivat din original pe 9 martie 2016.
↑ Joulin L. Notice biographique sur M. le commandant Rivals // Mémoires de l'Académie royale des sciences, inscriptions et belles-lettres de Toulouse. - 1891. - T. 3 , nr. 9 . - S. 535-539 . Arhivat din original pe 8 martie 2016.
↑ Pentru a utiliza ecuația mișcării într-o formă care coincide cu forma ecuației celei de-a doua legi a lui Newton, în raport cu accelerațiile care apar în cadre de referință neinerțiale, chiar și în absența oricăror influențe asupra corpului, inerțiale fictivă se introduc forte . De exemplu, să fie un corp de masă m în repaus într-un cadru de referință inerțial la o anumită distanță R de axă. Dacă aducem cadrul de referință în rotație cu o viteză unghiulară ω în jurul acestei axe, atunci sistemul devine neinerțial, iar corpul va efectua o mișcare de rotație vizibilă cu o viteză liniară v = ω R într-un cerc în jurul axei. Pentru a-l descrie într-un cadru de referință rotativ, este necesar să se introducă accelerația centripetă, care poate fi considerată formal rezultatul acțiunii uneia dintre forțele de inerție - forța Coriolis , egală în modul 2 mv ω și îndreptată spre axă. , perpendicular pe axa și viteza corpului; în același timp, este compensată pe jumătate de acțiunea unei alte forțe de inerție - forță centrifugă , egală în modul mv ω și direcționată din axa de rotație.
↑ Koshkin N.I., Shirkevich M.G. Manual de fizică elementară. - a 10-a, corect. şi suplimentare .. - M . : Nauka , 1988. - S. 61. - 256 p. — ISBN 5-02-013833-9 .
↑ Diagrama de accelerație în funcție de timp a lui W. Bolt Arhivat 10 mai 2013 la Wayback Machine - cursa de 100 m la Jocurile Olimpice de vară din 2008 de la Beijing

Link -uri

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mecanica. - Ediția a 5-a, stereotip. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 p. — („Fizica teoretică”, volumul I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
David C. Cassidy, Gerald James Holton și F. James Rutherford. înțelegerea fizicii . — Birkhauser, 2002. - ISBN 978-0-387-98756-9 .
Pauli W. Teoria relativității. - Dover, 1981. - ISBN 978-0-486-64152-2 .

Dicționare și enciclopedii	mare danez mare chinezesc Mare norvegian Rusă mare Brockhaus și Efron Britannica (online) Treccani
În cataloagele bibliografice	BNF : 11978022j GND : 4144870-4 J9U : 987007292957505171 LCCN : sh85000344

mișcare mecanică
sistem de referință	cadru inerțial de referință Cadrul de referință non-inerțial Mișcare compusă Principiul relativității
Punct material	Mișcare uniformă Mișcare rectilinie Ecuația mișcării Ecuații de mișcare într-un cadru de referință non-inerțial Traiectorie (cale) in miscare Viteză Accelerație ( accelerare centripetă accelerație tangențială ) liniuță
Corpul fizic	mișcare de translație Mișcare plan-paralelă ( translație paralelă ) Mișcare sferică ( Mișcare rotativă Mișcare circulară Precesiune nutatie )
continuum	flux laminar curgere turbulentă
Concepte înrudite	Planul de viteză Tracțiunea trenului Șase grade de libertate