Semnul Dirichlet

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 13 noiembrie 2018; verificările necesită 4 modificări .

Testul Dirichlet este o teoremă care indică condiții suficiente pentru convergența integralelor improprie și sumabilitatea serii infinite . Numit după matematicianul german Lejeune Dirichlet .

Testul Dirichlet pentru convergența integralelor improprie

Luați în considerare funcții și definite pe intervalul , , și având o singularitate (de primul sau al doilea fel) la punct. Să fie îndeplinite următoarele condiții: $f$ $g$ $[A; b)$ $a\în {\mathbb {R}}$ $b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \)$ $b$

o integrală cu o limită superioară variabilă este definită pentru toate și limitată la ; $\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $x\in[a; b)$ $[A; b)$
functia este monotona pe si . $g(x)$ $[A; b)$ $\lim _{x\to b-}g(x)=0$

Apoi converge. $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

Dovada

Luați în considerare integrala pentru unii (fără pierderea generalității, vom presupune ). Deoarece este monoton pe , este integrabil pe acesta și, prin urmare, integrabil ca produs al funcțiilor integrabile. $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt$ $x_{1},x_{2}\in [a;b)$ $x_{1}\leq x_{2)$ $g(t)$ $[x_{1};x_{2}]$ $f(t)g(t)$ $[x_{1};x_{2}]$

$f(t)$ — integrabil, — monoton. Condițiile celei de-a doua teoreme a valorii medii sunt îndeplinite și există un punct astfel încât $g(t)$ $\xi \in [x_{1};x_{2}]$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt=g(x_{1})\int \limits _{x_{1} }^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt

Funcția este limitată la , ceea ce înseamnă că există astfel încât , . Apoi: $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt$ $[a;b)$ $M\geq 0$ $\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|\leq M$ $\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq M$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|=\left|g(x_{1})\ int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t) \,dt\right|\leq |g(x_{1})|\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|+|g( x_{2})|\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq |g(x_{1})|M+|g( x_{2})|M=M(|g(x_{1})|+|g(x_{2})|)

$g(x)$ motonic tinde spre zero, prin urmare, este limitat pe de o parte , iar pe de altă parte . Apoi și $g(a)$ $0$ $|g(x_{2})|\leq |g(x_{1})|$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1})|

$g(x)\la 0$ , care prin definiție înseamnă

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\colon |g(x)|<\varepsilon

Apoi ( luați mai puțin sau egal cu ) $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b)$ $x_{1}$ $x_{2}$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\leq 2M|g(x_{1})|<2M\varepsilon

care nu este altceva decât criteriul Cauchy pentru convergenţa unei integrale improprii.

Semnul poate fi formulat și pentru cazul în care singularitatea este în punctul . Fie , și să fie definite pe . În acest caz, condițiile se modifică după cum urmează: $A$ $a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \)$ $b\in \mathbb {R}$ $f$ $(a;b]$

integrala cu o limită variabilă inferioară este definită pentru toate și limitată la ; $\int \limits _{x}^{b}f(t)\,dt$ $x \in (a; b]$ $(a;b]$
$g(x)$ este monoton pe şi . $(a;b]$ $\lim _{x\to a+}g(x)=0$

Apoi converge. $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

De asemenea, nu este necesar ca . Dacă , atunci convergența este echivalentă cu convergența lui . $a<b$ $a>b$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=-\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\, dx$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ $\int \limits _{b}^{a}f(x)g(x)\,dx$

Dacă integrala îndeplinește condițiile criteriului Dirichlet, atunci următoarea estimare este adevărată pentru restul ei:

|r_{\xi }|=\left|\int \limits _{\xi }^{b}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(\xi) |

Aici , este un număr arbitrar din interval și este numărul de care este mărginită integrala cu limita superioară a variabilei. Folosind această estimare, se poate aproxima valoarea integralei necorespunzătoare cu integrala adecvată cu orice precizie predeterminată. $\xi$ $M$

Criteriul Dirichlet pentru convergența seriilor de tip abelian

Definiție (serie tip Abel)

Seria , unde și succesiunea este pozitivă și monotonă (începând dintr-un anumit loc, cel puțin în sensul cel mai larg al cuvântului), se numește serie de tip Abel . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$ $|B_{n}|=\left|\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}\right|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$ $\{un}\}$

Teorema (testul Dirichlet pentru convergența seriilor de tip abelian)

Să fie îndeplinite următoarele condiții:

Secvența sumelor parțiale este mărginită, adică . $B_{n}=\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}$ $\exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$
$a_{n}\geqslant a_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$ .
$\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ .

Apoi seria converge. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$

Testul Dirichlet pentru convergența seriei Abeliene este analog cu testul Dirichlet pentru convergența unei integrale improprie de primul fel.
Este ușor de observat că criteriul Leibniz pentru convergența serii alternative este un caz special al acestei teoreme, și anume:

\sum _{{n=1}}^{\infty }(-1)^{{n+1}}c_{n},\quad c_{n}>0,\;c_{{n+1} }\leqslant c_{n}\quad \forall n\in \mathbb{N} ,\quad \lim _{{n\to \infty }}c_{n}=0;

b_{n}=(-1)^{n+1}\Rightarrow |B_{n}|=\left|\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+ 1 }\right|\leqslant 1\quad \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow

convergenţa seriei Leibniz pe baza testului Dirichlet.

Estimarea restului unei serii de tip abelian
Luați în considerare seria și lăsați să fie îndeplinite condițiile criteriului Dirichlet. Apoi are loc următoarea estimare: . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$ $|r_{n}|=\left|\sum _{{k=n+1}}^{\infty }a_{k}b_{k}\right|\leqslant 2Ma_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$
Dovada criteriului Dirichlet rezultă din transformarea Abel .

Criteriul Dirichlet pentru convergența uniformă a unei integrale improprie cu parametrul

Fie definită funcția și pe mulțimea , și se presupune că integrala pentru unele puncte are o singularitate în punctul . Să fie îndeplinite următoarele condiții: $f$ $g$ $[a;b)\time Y$ $a\în {\mathbb {R}}$ $b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \)$ $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$ $y\în Y$ $b$

integrala cu o limită superioară variabilă este definită pentru toți și mărginită uniform pe ; $\int \limits _{a}^{x}f(t,y)\,dt$ $x\in[a; b)$ $y\în Y$ $[a;b)\time Y$
functia este monotona in on pentru fiecare beton si pentru . $g(x,y)$ $X$ $[A; b)$ $y\în Y$ $g(x,y)\rightrightarrows 0$ $x\la b-$

Apoi converge uniform. $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)g(x,y)\,dx$

Dovada

Dovada este aproape identică cu cazul unei integrale fără parametru. Fixăm și luăm în considerare în continuare funcțiile și ca funcții ale unei variabile . Pentru ei, facem totul la fel ca în demonstrația pentru integrale fără parametru, cu excepția faptului că luăm același lucru pentru toate (acest lucru se poate face prin mărginire completă). Vino la $y\în Y$ $f(x,y)$ $g(x,y)$ $X$ $M$ $y\în Y$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{ 1},y)|

$g(x,y)$ tinde uniform spre zero. Scriem definiția convergenței uniforme:

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\forall y\in Y\colon |g(x,y)|< \varepsilon

Apoi $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2},\forall y\in Y$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\leq 2M|g(x_{1},y)| <2M\varepsilon

Am ajuns la criteriul Cauchy pentru convergența uniformă a unei integrale improprie cu un parametru.

Vezi și

semnul Abel

Literatură

A. K. Boyarchuk „Funcțiile unei variabile complexe: teorie și practică” Carte de referință despre matematica superioară. T.4 M.: Editorial URSS, 2001. - 352p.

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich