Teorema

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 5 noiembrie 2021; verificările necesită 4 modificări .

Teoremă - ( greaca veche Θεώρημα , din altă greacă Θεώρηώ - susțin [2] ) o afirmație matematică , al cărei adevăr este stabilit prin demonstrație . Demonstrațiile teoremelor se bazează pe teoreme demonstrate anterior și enunțuri general acceptate ( axiome ) [3] .

Teorema este o consecință logică a axiomelor. Dovada unei teoreme matematice este un argument logic pentru enunțul unei teoreme date conform regulilor unui sistem formal . Dovada unei teoreme este adesea interpretată ca o justificare pentru adevărul enunțului teoremei. În lumina cerinței ca teoremele să fie dovedite, conceptul de teoremă este fundamental deductiv , spre deosebire de conceptul de lege științifică , care este experimental [4] .

Multe teoreme matematice sunt declarații condiționale. În acest caz, demonstrația trage o concluzie din condiții numite ipoteze sau premise . În lumina interpretării dovezilor ca justificare a adevărului, concluzia este adesea văzută ca o consecință necesară a ipotezelor , și anume că concluzia este adevărată dacă ipotezele sunt adevărate, fără ipoteze suplimentare. Cu toate acestea, condițiile pot fi interpretate diferit în unele sisteme deductive , în funcție de semnificațiile atribuite regulilor de inferență și simbolului condiției.

În timp ce teoremele pot fi scrise într-o formă complet simbolică, cum ar fi cu calculul propozițional , ele sunt adesea exprimate în limbaj natural (engleză, rusă, franceză etc.). Același lucru este valabil și pentru dovezi, care sunt adesea exprimate ca un lanț logic organizat și bine formulat de argumente informale menite să convingă cititorii de adevărul enunțului teoremei, din care se poate construi, în principiu, o demonstrație simbolică formală. Astfel de argumente tind să fie mai ușor de testat decât cele pur simbolice și, de fapt, mulți matematicieni sunt în favoarea unei dovezi care nu numai că demonstrează validitatea teoremei, ci și explică într-un fel de ce este în mod evident adevărată. În unele cazuri, o imagine este suficientă pentru a demonstra teorema.

Deoarece teoremele sunt în centrul matematicii, ele joacă, de asemenea, un rol central în estetica acesteia. Teoremele sunt adesea descrise ca fiind „banale”, „dure”, „profunde” sau chiar „frumoase”. Aceste judecăți subiective nu variază doar de la persoană la persoană, ci și în timp: de exemplu, atunci când o demonstrație este simplificată sau mai bine înțeleasă, o teoremă care a fost cândva dificilă poate deveni trivială. Pe de altă parte, o teoremă profundă poate fi enunțată simplu, dar demonstrarea ei poate implica conexiuni surprinzătoare și subtile între diferite domenii ale matematicii. Un exemplu deosebit de faimos al unei astfel de teoreme este Ultima Teoremă a lui Fermat .

Enunț informal de teoreme

Din punct de vedere al logicii , multe teoreme iau forma unei convenții: dacă A, atunci B. O astfel de teoremă nu afirmă adevărul lui B , ci doar că B este o consecință necesară a lui A. În acest caz, A se numește ipoteza logică a teoremei, iar B  este concluzia (în mod formal , A și B se numesc enunțurile precedente și următoare ). Trebuie subliniat faptul că o ipoteză logică și o ipoteză matematică  sunt concepte diferite. Deci, afirmația „Dacă n  este un număr natural par, atunci n / 2 este un număr natural” este un exemplu de teoremă în care ipoteza este afirmația „ n  este un număr natural par”, iar afirmația „ n / 2 este și un număr natural” este o concluzie.

Pentru a demonstra teorema, aceasta trebuie exprimată ca o afirmație formală exactă. Cu toate acestea, pentru comoditatea cititorului, teoremele sunt de obicei exprimate nu într-o formă complet simbolică, ci în limbaj natural. Cititorul transformă independent declarația informală într-una formală.

În matematică, este obișnuit să alegeți mai multe ipoteze și să creați o teorie , care constă din toate afirmațiile care decurg logic din acele ipoteze. Ipotezele care stau la baza unei teorii se numesc axiome sau postulate . Domeniul matematicii care studiază limbajele formale, axiomele și structura demonstrațiilor se numește teoria demonstrației .

Unele teoreme sunt „ triviale ” în sensul că urmează într-un mod evident din definiții, axiome și alte teoreme și nu conțin idei surprinzătoare. Pe de altă parte, unele teoreme pot fi numite „profunde” deoarece demonstrațiile lor pot fi lungi și dificile, implică domenii ale matematicii care sunt superficial diferite de afirmația teoremei în sine sau prezintă conexiuni surprinzătoare între diferite domenii ale matematicii. O teoremă poate fi simplă în prezentare și în același timp profundă. Un exemplu excelent de teoremă profundă este Ultima Teoremă a lui Fermat . În teoria numerelor și în combinatorică , precum și în alte domenii ale matematicii, există multe exemple de teoreme simple, dar profunde.

Pe de altă parte, există teoreme care au o demonstrație care nu poate fi scrisă într-o formă simplă. Cele mai izbitoare exemple de astfel de teoreme sunt teorema celor patru culori și ipoteza Kepler . Ambele teoreme sunt cunoscute pentru că sunt reduse la un anumit algoritm, care este apoi verificat de un program de calculator. Inițial, mulți matematicieni nu au acceptat această formă de demonstrație, dar acum a devenit permisă. Matematicianul Doron Zeilberger susține chiar că acestea sunt poate singurele rezultate non-triviale care au fost vreodată dovedite de matematicieni [5] . Multe teoreme matematice pot fi reduse la calcule mai simple, inclusiv identități polinomiale, identități trigonometrice și identități hipergeometrice [6] .

Securitatea și teorema

Pentru a stabili o afirmație matematică ca teoremă, este necesară o demonstrație, adică trebuie demonstrată o linie de raționament de la axiomele din sistem (și alte teoreme deja stabilite) la afirmația dată. Cu toate acestea, demonstrația este de obicei considerată separat de enunțul teoremei. În timp ce mai multe dovezi pot fi cunoscute pentru o singură teoremă, este necesară o singură demonstrație pentru a stabili statutul unei declarații ca teoremă. Teorema lui Pitagora și legea reciprocității pătratice sunt concurenții pentru numele teoremei cu cel mai mare număr de dovezi diferite.

Relația cu teoriile științifice

Teoremele din matematică și teoriile din știință sunt fundamental diferite în epistemologia lor . O teorie științifică nu poate fi dovedită; atributul său cheie este că este falsificabil , adică face predicții despre lumea naturală care pot fi testate experimental . Orice discrepanță între predicție și experiment demonstrează că teoria științifică este greșită, sau cel puțin îi limitează acuratețea sau domeniul de aplicare. Teoremele matematice, pe de altă parte, sunt enunțuri formale pur abstracte: demonstrarea unei teoreme nu poate implica experimente sau alte dovezi empirice în același mod în care aceste dovezi sunt folosite pentru a susține teoriile științifice.

Cu toate acestea, există un anumit grad de empirism și de colectare a datelor implicate în descoperirea teoremelor matematice. Prin crearea unui model, uneori folosind un computer puternic, matematicienii pot avea o idee despre ce să dovedească și, în unele cazuri, chiar despre cum să procedeze cu demonstrația. De exemplu, conjectura Collatz a fost testată pentru valori inițiale de până la aproximativ 2,88 × 10 18 . Ipoteza Riemann a fost testată pentru primele 10 trilioane de zerouri ale funcției zeta . Niciuna dintre aceste afirmații nu este considerată dovedită.

Asemenea dovezi nu sunt dovezi. De exemplu, conjectura Mertens  este o afirmație falsă despre numerele naturale, dar nu se cunoaște un contraexemplu explicit. Se știe doar că cel mai mic contraexemplu nu este mai mic de 10 14 și nu mai mult de 10 4,3 × 10 39 . Este imposibil să găsiți un contraexemplu explicit folosind căutarea exhaustivă , dar se știe că există.

Cuvântul „teorie” există și în matematică pentru a se referi la un corp de axiome, definiții și teoreme matematice, cum ar fi teoria grupurilor . Există și „teoreme” în știință, în special în fizică, și în inginerie, dar ele au adesea afirmații și dovezi în care presupunerile fizice și intuiția joacă un rol important; axiomele fizice pe care se bazează astfel de „teoreme” sunt ele însele falsificabile.

Terminologie

Există o serie de termeni diferiți pentru enunțurile matematice; acești termeni indică rolul pe care enunțurile îl joacă într-un anumit subiect. Inconsecvența dintre diferiții termeni este uneori destul de arbitrară și, de-a lungul timpului, unii termeni au devenit mai des folosiți decât alții.

Există și alți termeni, mai puțin folosiți, care sunt de obicei atașați afirmațiilor dovedite, astfel încât unele teoreme sunt denumite denumiri istorice sau convenționale. De exemplu:

Câteva teoreme binecunoscute au nume și mai ciudate. Algoritmul de împărțire (vezi împărțirea cu rest ) este o teoremă care exprimă rezultatul împărțirii prin numere naturale și inele mai generale. Raportul lui Bezout  este o teoremă care afirmă că cel mai mare divizor comun a două numere poate fi scris ca o combinație liniară a acestor numere. Paradoxul Banach-Tarski  este o teoremă în teoria măsurii care este paradoxală în sensul că contrazice ideile comune despre volum în spațiul tridimensional.

Structura teoremei

Teorema și demonstrația ei sunt de obicei prezentate după cum urmează:

Teorema și numele persoanei care a demonstrat-o și anul descoperirii, dovedirii sau publicării. O afirmație a unei teoreme (uneori numită propoziție ). Dovada Descrierea dovezii. Sfârşit.

Sfârșitul probei poate fi indicat prin literele QED ( quod erat demonstrandum ) sau una dintre pietrele funerare „□” sau „∎”, adică „Sfârșitul probei”, introduse de Paul Halmos după utilizarea lor în articolele de jurnal.

Stilul exact depinde de autor sau de publicație. Multe publicații oferă instrucțiuni sau macrocomenzi pentru introducerea unui ghid de stil .

De obicei, o teoremă este precedată de definiții care descriu semnificația exactă a termenilor utilizați în teoremă. De asemenea, enunțul teoremei precede o serie de propoziții sau leme, care sunt apoi folosite în demonstrație. Cu toate acestea, lemele sunt uneori incluse în demonstrarea unei teoreme, fie cu demonstrații imbricate, fie cu demonstrațiile lor prezentate după demonstrarea teoremei.

Consecințele teoremei sunt prezentate fie între teoremă și demonstrație, fie imediat după demonstrație. Uneori, corolarele au propriile lor dovezi care explică de ce decurg din teoremă.

Fapte interesante

Se estimează că mai mult de un sfert de milion de teoreme sunt dovedite în fiecare an [11] .

Cunoscutul aforism „ un matematician este o mașină pentru a transforma cafeaua în teoreme ” este adesea atribuit eminentului matematician Pal Erdős , care a fost renumit pentru demonstrarea unui număr mare de teoreme, numărul Erdős caracterizând numărul posibililor săi colaboratori și cantitatea uriașă de cafea pe care a băut-o [12] . Cu toate acestea, această afirmație îi aparține unui coleg al lui Erdős, Alfred Renyi (deși Renyi, rostind această frază, cel mai probabil însemna Erdős).

Clasificarea grupurilor finite simple este privită de unii matematicieni drept cea mai lungă demonstrație a teoremei. A fost produs de aproximativ 100 de autori în 500 de articole de reviste care se întind pe un total de zeci de mii de pagini. Aceste publicații împreună sunt considerate a oferi o demonstrație completă, iar mulți matematicieni speră să scurteze și să simplifice această demonstrație [13] . O altă teoremă de acest tip este problema celor patru culori, a cărei dovezi computerizate este prea lungă pentru a fi citită de un om. Aceasta este de departe cea mai lungă demonstrație cunoscută a teoremei, iar afirmația este ușor de înțeles pentru neprofesionist.

Vezi și

Note

  1. ↑ Elisha Scott Loomis. Propoziția pitagoreică: demonstrațiile sale analizate și clasificate și bibliografia surselor de date pentru cele patru tipuri de dovezi . Centrul de informare privind resursele educaționale . Institutul de Științe ale Educației (IES) al Departamentului de Educație al SUA . Preluat: 26 septembrie 2010.
  2. ↑ Dicționar scurt de cuvinte străine. - Ed. a VII-a. - M . : Limba rusă , 1984. - S. 250. - 312 p.
  3. ↑ Teorema // Enciclopedia matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4. - S. 334-335. — 1216 p.
  4. ↑ Totuși, atât teoremele, cât și legea științifică sunt rezultatul investigațiilor. Vezi Heath, 1897 Introducere, Terminologia lui Archimedes , p. clxxxii: „teorema (θεώρημα) din θεωρεῖν pentru a investiga”
  5. ↑ Doron Zeilberger. Opinia 51 . Consultat la 25 aprilie 2019. Arhivat din original la 10 iunie 2016.
  6. ↑ Petkovsek și colab. 1996.
  7. ↑ Wentworth, G.; Smith, D.E. Art. 46, 47 // Geometrie plană  (nedefinită) . — Ginn & Co., 1913.
  8. ↑ Wentworth & Smith Art. 51
  9. ↑ Urmat de Wentworth & Smith Art. 79
  10. ^ Cuvântul lege se poate referi și la o axiomă, o regulă de inferență sau, în teoria probabilității , la o distribuție a probabilității .
  11. ↑ Hoffman 1998, p. 204.
  12. ↑ Hoffman 1998, p. 7.
  13. ↑ Huge Theorem: Classification of Finite Simple Groups Arhivat la 2 februarie 2009 la Wayback Machine , Richard Elwes, Plus Magazine, numărul 41 decembrie 2006.

Literatură

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii
În cataloagele bibliografice