Formula lui Ciolkovski

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 14 februarie 2022; verificările necesită 5 modificări .

Formula Tsiolkovsky determină viteza pe care o dezvoltă o aeronavă sub influența împingerii unui motor de rachetă , neschimbată în direcție, în absența tuturor celorlalte forțe. Această viteză se numește viteza caracteristică :

V=I\cdot \ln {\frac {M_{1}}{M_{2}}},

unde - viteza finală a aeronavei , care pentru cazul manevrei în spațiu în timpul manevrelor orbitale și zborurilor interplanetare se notează adesea ΔV , numită și viteza caracteristică;

V

eu

- impulsul specific al unui motor rachetă (raportul dintre forța motorului și consumul de masă al celui de-al doilea combustibil);

M_{{1}}

- masa inițială a aeronavei (sarcină utilă + proiectarea aeronavei + combustibil);

M_{{2}}

este masa finală a aeronavei (sarcină utilă + proiectarea aeronavei).

Istorie

Această formulă a fost derivată de K. E. Tsiolkovsky în manuscrisul „Rocket” la 10 mai ( 22 ), 1897 [1] și publicată în 1903 în numărul de mai al revistei „ Scientific Review ” în următoarea formă [2] :53 [3 ] [4] :

{V \over V_{1}}=\ln \left(1+{M_{2} \over M_{1}}\right),

unde este viteza finală a rachetei;

V

V_{1}

- viteza elementelor care scapă în raport cu racheta;

M_{1}

- masa rachetei fără explozibili (adică fără combustibil);

M_{2}

- masa de explozibili.

Cu toate acestea, primii care au rezolvat ecuația de mișcare a unui corp cu masă variabilă au fost cercetătorii englezi W. Moore în 1810-1811 [5] , care au publicat soluția în cartea sa în 1813 [6] , de asemenea ca P. G. Tate în 1861 și W. J. Steele de la Universitatea din Cambridge în 1856 .

Formula Tsiolkovsky poate fi obținută prin integrarea ecuației diferențiale Meshchersky pentru un punct material cu masă variabilă :

m\cdot {\frac {d{\vec {V}}}{dt}}+{\vec {u}}\cdot {\frac {dm}{dt}}=0,

unde este masa punctuală;

m

V

este viteza punctului;

u

- viteza relativa cu care se misca partea din masa sa care se separa de punct.

Pentru un motor rachetă, această valoare este impulsul său specific [7] . $eu$

Pentru o rachetă cu mai multe etape, viteza finală este calculată ca suma vitezelor obținute prin formula Tsiolkovsky separat pentru fiecare etapă, iar atunci când se calculează viteza caracteristică a fiecărei etape, masa inițială totală a tuturor etapelor ulterioare se adaugă la ea. masa inițială și finală.

Să introducem notația:

$M_{{1i}}$ este masa etapei alimentate cu combustibil a rachetei; $i$
$M_{{2i}}$ este masa treptelor fără combustibil; $i$
$eu_{{i}}$ este impulsul specific al motorului din treapta a III-a; $i$
$M_{{0}}$ - masa sarcinii utile;
$N$ este numărul de trepte de rachetă.

Apoi formula Tsiolkovsky pentru o rachetă în mai multe etape poate fi scrisă în următoarea formă:

V=\sum _{i=1}^{N}I_{i}\cdot \ln \left({\frac {M_{0}+{\sum _{j=i}^{N} }M_{1j}}{M_{0}+M_{2i}-M_{1i}+{\sum _{j=i}^{N}}M_{1j}}}\right).

Diferența dintre viteza reală a rachetei și caracteristica

Deoarece, în condiții reale de zbor, asupra rachetei acționează și alte forțe pe lângă forța motorului, viteza dezvoltată de rachete în aceste condiții este de obicei mai mică decât cea caracteristică din cauza pierderilor cauzate de forțele gravitaționale, rezistența mediului și alți factori.

Următorul tabel arată echilibrul vitezelor rachetei Saturn V atunci când nava spațială Apollo ar trebui să intre pe calea de zbor către Lună [8] .

Etapa	Viteza caracteristică, m/s	Pierderi gravitaționale, m/s	Pierderi aerodinamice, m/s	Pierderi de control, m/s	Viteza reală, m/s
Primul (S-IC)	3660	1220	46	0	2394
Al doilea (S-II)	4725	335	0	183	4207
Al treilea (S-IVB)	4120	122	0	4.5	3993,5
In total	12505	1677	46	187,5	10594,5 [9]

După cum se poate observa din tabel, componenta gravitațională este cea mai mare în pierderea totală. Pierderile gravitaționale apar din cauza faptului că racheta, pornind vertical, nu numai că accelerează, ci și câștigă altitudine, depășind gravitația Pământului, iar aceasta consumă și combustibil. Valoarea acestor pierderi se calculează prin formula: [10]

\Delta v_{g}\ =\int \limits _{0}^{t}g(t)\cdot \cos(\gamma (t))\,dt,

unde este accelerația locală a gravitației și unghiul dintre vectorul de tracțiune al motorului și, respectiv, vectorul gravitațional local , care sunt funcții de timp conform programului de zbor.

g(t),

\gamma (t)

După cum se poate observa din tabel, cea mai mare parte a acestor pierderi se încadrează pe segmentul de zbor din prima etapă. Acest lucru se explică prin faptul că în această secțiune traiectoria se abate de la verticală într-o măsură mai mică decât în secțiunile pașilor următori, iar valoarea este aproape de valoarea maximă - 1. $\cos(\gamma (t))$

Pierderile aerodinamice sunt cauzate de rezistența aerului atunci când racheta se mișcă în el și sunt calculate prin formula:

\Delta v_{a}\ =\int \limits _{0}^{t}{\frac {A(t)}{m(t)))\,dt,

unde este forța rezistenței aerodinamice frontale;

La)

m(t)

este masa actuală a rachetei.

Principalele pierderi din cauza rezistenței aerului apar și în zona de operare a primei etape a rachetei, deoarece această zonă are loc în straturile inferioare, cele mai dense ale atmosferei.

Nava spațială trebuie să fie lansată pe orbită cu parametri strict definiți, pentru aceasta sistemul de control în faza activă a zborului întoarce racheta conform unui anumit program, în timp ce direcția de tracțiune a motorului se abate de la direcția curentă a rachetei și aceasta implică pierderi de viteză pentru control, care sunt calculate după formula:

\Delta v_{u}\ =\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(t)}{m(t)}}\cdot (1-\cos(\alpha ( t)))\,dt,

unde este forța de împingere curentă a motorului;

F(t)

m(t)

este masa curentă a rachetei și este unghiul dintre vectorii de tracțiune și viteză ai rachetei.

\alpha (t)

Cea mai mare parte a pierderilor de control al rachetelor are loc în secțiunea de zbor a 2-a etapă, deoarece în această secțiune are loc tranziția de la zborul vertical la cel orizontal, iar vectorul de tracțiune al motorului se abate cel mai mult în direcția de la vectorul viteza rachetei.

Folosind formula Tsiolkovsky în proiectarea rachetei

Derivată la sfârșitul secolului al XIX-lea, formula Tsiolkovsky încă formează o parte importantă a aparatului matematic utilizat în proiectarea rachetelor, în special, în determinarea principalelor caracteristici de masă ale acestora.

Prin transformări simple ale formulei, obținem următoarea ecuație:

{\frac {M_{1}}{M_{2}}}=e^{V/I},

(unu)

Această ecuație oferă raportul dintre masa inițială a rachetei și masa sa finală pentru valori date ale vitezei finale ale rachetei și ale impulsului specific .

Să introducem următoarea notație:

$M_{{0}}$ - masa sarcinii utile;
$M_{{k}}$ - masa structurii rachetei;
$M_{{t}}$ - masa combustibilului.

Masa structurii rachetei într-o gamă largă de valori depinde de masa combustibilului aproape liniar: cu cât este mai mare alimentarea cu combustibil, cu atât este mai mare dimensiunea și masa rezervoarelor pentru depozitarea acestuia, cu atât este mai mare masa suportului. elemente structurale, cu atât sistemul de propulsie este mai puternic (și, prin urmare, mai masiv). Exprimăm această dependență sub forma:

M_{k}={\frac {M_{t)} {k)),

unde este un coeficient care arată cât de mult combustibil este pe unitatea de masă a structurii.

k

Cu un design rațional, acest coeficient depinde în primul rând de caracteristicile (densitatea și rezistența) materialelor structurale utilizate la fabricarea rachetei. Cu cât materialele folosite sunt mai puternice și mai ușoare, cu atât valoarea coeficientului este mai mare . Acest coeficient depinde și de densitatea medie a combustibilului (combustibilul mai puțin dens necesită recipiente și mase mai mari, ceea ce duce la o scădere a valorii lui ). $k$ $k$

Ecuația anterioară poate fi scrisă astfel:

{\frac {M_{0}+M_{t}+M_{t}/k}{M_{0}+M_{t}/k}}=e^{V/I},

care, prin transformări elementare, se reduce la forma:

M_{t}={\frac {M_{0}\cdot k\cdot (e^{V/I}-1)}{k+1-e^{V/I)}}.

Această formă a ecuației Tsiolkovsky face posibilă calcularea masei de combustibil necesară pentru a atinge o anumită viteză caracteristică de către o rachetă cu o singură etapă, având în vedere masa sarcinii utile, valoarea impulsului specific și valoarea coeficientului . $k$

Formula are sens numai atunci când valoarea rezultată din înlocuirea datelor de intrare este pozitivă. Deoarece exponentul unui argument pozitiv este întotdeauna mai mare decât 1, numărătorul formulei este întotdeauna pozitiv, prin urmare, numitorul acestei formule trebuie să fie și pozitiv:

k+1-e^{V/I}>0

, cu alte cuvinte,

k>e^{V/I}-1.

Această inegalitate este un criteriu pentru atingerea unei viteze date de către o rachetă cu o singură etapă pentru valori date ale impulsului și coeficientului specific . Dacă inegalitatea nu este îndeplinită, viteza dată nu poate fi atinsă la orice consum de combustibil: cu o creștere a cantității de combustibil, masa structurii rachetei va crește, iar raportul dintre masa inițială a rachetei și cea finală. nu va atinge niciodată valoarea cerută de formula Tsiolkovsky pentru a atinge viteza dată. $V$ $eu$ $k$

Un exemplu de calcul al masei unei rachete

Este necesar să lansați un satelit artificial Pământesc de masa m pe o orbită circulară cu o înălțime de 250 km. Motorul disponibil are un impuls specific m/s. Coeficientul înseamnă că masa structurii este de 10% din masa rachetei (etapa) alimentată. Să determinăm masa vehiculului de lansare . $M_{0}=10$ $I=2900$ $k=9$

Prima viteză spațială pentru orbita aleasă este de 7759,4 m/s, la care se adaugă pierderile gravitaționale presupuse de 600 m/s, viteza caracteristică este astfel m/s (alte pierderi pot fi neglijate în prima aproximare). Cu acești parametri, valoarea . Inegalitatea (4) nu este satisfăcută, prin urmare, în aceste condiții, este imposibil să se realizeze obiectivul stabilit cu o rachetă cu o singură etapă . $V=8359,4$ $e^{V/I}=17,86$

Acest calcul este simplificat și nu ia în considerare costul schimbării energiei potențiale a corpului, iar odată cu aplicarea sa directă, apare iluzia că costul scade odată cu creșterea înălțimii orbitei. În realitate, fără a lua în considerare pierderile datorate rezistenței atmosferice și pierderile gravitaționale în timpul lansării pe orbită, viteza necesară (dată instantaneu corpului la altitudine zero deasupra suprafeței) se dovedește a fi mai mare. Poate fi determinat aproximativ prin aplicarea legii conservării energiei mecanice (o orbită eliptică ipotetică cu pericentrul în punctul de contact cu Pământul și apocentrul la înălțimea orbitei țintei):

\left({\frac {mV^{2}}{2}}\right)-\left({\frac {GmM}{R}}\right)=\left({\frac {mV_{ 0}^{2}}{2}}\dreapta)-\stanga({\frac {GmM}{r}}\dreapta),

unde este raza medie a Pământului;

r

R

- înălțimea orbitei circulare (ținând cont de raza Pământului, adică ); .

R=r+H

V_{0}^{2}=V^{2}-{\frac {2GM}{r))+{\frac {2GM}{R)}

Dacă luăm viteza în periapsis egală cu cea circulară la nivelul suprafeței Pământului ( ), atunci: $V_{0}^{2}={\frac {GM}{r)}$

V_{0}^{2}={\frac {2GM}{r}}-{\frac {GM}{R}}

, sau

V_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}{\sqrt {1-{\frac {r}{2R}}}}.

Această aproximare nu ține cont de impulsurile de tranziție de la orbita circulară a Pământului la una eliptică și de la una eliptică la una circulară nouă și este aplicabilă, de asemenea, numai tranzițiilor Hohmann (adică aplicarea tranzițiilor parabolice și hiperbolice. nu funcționează), dar este mult mai precis decât simpla luare pentru viteza necesară a primei misiune spațială pentru o gamă largă de altitudini LEO.

Apoi, la o altitudine de 250 km, viteza necesară pentru ieșire va fi de 8,063 m/s, și nu de 7,764, iar pentru orbita geostaționară (35,786 km deasupra nivelului Pământului) va fi deja 10,762 m/s, și nu 3,077. m/s, așa cum ar fi dacă costul schimbării energiei potențiale.

Calcul pentru o rachetă în două etape

Împărțim viteza caracteristică la jumătate, care va fi viteza caracteristică pentru fiecare dintre etapele unei rachete în două trepte: m / s. De data aceasta , care satisface criteriul de accesibilitate (4), și, substituind valorile în formulele (3) și (2), pentru a doua etapă obținem: $V=4179,7$ $e^{V/I}=4,23$

M_{{t2}}={\frac {10\cdot 9\cdot (4,23-1)}{9+1-4,23}}=50,3

M_{{k2}}={\frac {50,3}{9}}=5,6

Astfel, masa totală a celei de-a doua etape este de 55,9 tone.

Pentru prima etapă, masa totală a celei de-a doua etape se adaugă la masa sarcinii utile; după înlocuirea corespunzătoare obținem:

M_{{t1}}={\frac {(10+55,9)\cdot 9\cdot (4,23-1)}{9+1-4,23}}=331,3

M_{{k1}}={\frac {331,3}{9}}=36,8

Astfel, masa totală a primei etape este de 368,1 tone, iar masa totală a unei rachete în două trepte cu o sarcină utilă va fi de 10 + 55,9 + 368,1 = 434 tone. Calculele sunt efectuate în mod similar pentru mai multe etape. Ca rezultat, obținem că greutatea de lansare a unei rachete în trei trepte va fi de 323,1 tone, a unei rachete în patru etape - 294,2 tone, a unei rachete în cinci trepte - 281 de tone.

Acest exemplu arată cât de mult este justificat în știința rachetelor: la aceeași viteză finală, o rachetă cu un număr mai mare de etape are o masă mai mică.

Aceste rezultate sunt obținute în ipoteza că coeficientul de perfecțiune structurală al rachetei rămâne constant, indiferent de numărul de etape. O examinare mai atentă arată că aceasta este o simplificare puternică. Etapele sunt conectate între ele prin secțiuni speciale adaptoare - structuri de susținere, fiecare dintre acestea trebuie să reziste la greutatea totală a tuturor etapelor ulterioare, înmulțită cu valoarea maximă de suprasarcină experimentată de rachetă în toate secțiunile de zbor în care adaptorul face parte din rachetă. Odată cu creșterea numărului de etape, masa lor totală scade, în timp ce numărul și masa totală a adaptoarelor cresc, ceea ce duce la o scădere a coeficientului și, odată cu aceasta, la efectul pozitiv al mai multor etape . În practica modernă a științei rachetelor, mai mult de patru etape, de regulă, nu sunt realizate. $k$ $k$

Astfel de calcule sunt efectuate nu numai în prima etapă de proiectare - atunci când alegeți o opțiune de aspect al rachetei, ci și în etapele ulterioare de proiectare, deoarece proiectarea este detaliată, formula Tsiolkovsky este utilizată în mod constant în calculele de verificare , atunci când vitezele caracteristice sunt recalculate. , luând în considerare raporturile dintre masa inițială și cea finală a rachetei (etapei), caracteristicile specifice ale sistemului de propulsie, clarificarea pierderilor de viteză după calcularea programului de zbor pe locul activ etc., pentru a controla realizarea a vitezei specificate de rachetă.

Formula generalizată a lui Ciolkovsky

Pentru o rachetă care zboară cu o viteză apropiată de viteza luminii, formula generalizată Tsiolkovsky este valabilă:

{\frac {M_{2}}{M_{1}}}=\left({\frac {1-{\frac {V}{c}}}{1+{\frac {V}{} c))))\dreapta)^{\frac {c}{2I)),

unde este viteza luminii [11] .

c

Pentru o rachetă cu fotoni și formula are forma: $I=c$

{\frac {M_{2}}{M_{1}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {V}{c}}}{1+{\frac {V}{ c}}}}}.

Viteza unei rachete fotonice se calculează cu formula:

{\frac {V}{c}}={\frac {1-\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)^{2}}{1+ \left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)^{2}}}.

În filatelie

Formula lui Tsiolkovsky este descrisă pe o timbru poștal polonez din 1963 ( Sc #1178) , o timbru poștal din Nicaragua din 1971 din seria „10 formule matematice care au schimbat fața pământului” ( Sc #880) și pe marginile unei poștale din Belarus din 2002. bloc dedicat explorării spațiale a 45-a aniversare ( Sc #454) .

Vezi și

Note

↑ Arhiva Academiei Ruse de Științe (ARAS). F. 555. Op. 1. D. 32. Ll. 1-2, 5, 11, 20. Vezi copiile electronice Copia de arhivă din data de 20 ianuarie 2019 pe Wayback Machine a acestor pagini de pe site-ul arhivelor RAS.
↑ Tsiolkovsky K. Exploration of world spaces with reactive devices // Scientific Review . - 1903. - Nr 5 . - S. 44-75 .
↑ Tsiolkovsky K. E. Proceedings on rocket technology / Editat de M. K. Tikhonravov . - M . : Oborongiz, 1947. - S. 33.
↑ K. Tsiolkovsky, Exploring World Spaces with Reactive Instruments, 1903 (disponibil online aici Arhivat 15 august 2011. într-un PDF RARed )
↑ Moore, William; al Academiei Militare Regale, Woolwich . A Journal of Natural Philosophy, Chemistry and the Arts Vol. XXVII, decembrie 1810, Articolul IV: Teoria asupra mișcării rachetelor . — Londra: W. Nichelson, 1810.
↑ Moore, William; al Academiei Militare Regale, Woolwich . Un tratat despre mișcarea rachetelor. La care se adaugă, Un Essay on Naval Gunnery . - Londra: G. și S. Robinson, 1813.
↑ Pentru un motor cu rachetă termică, acest lucru este adevărat dacă presiunile la ieșirea duzei și în mediu sunt egale. Formula lui Ciolkovski își păstrează valabilitatea indiferent dacă această condiție este îndeplinită.
↑ Manned Moon Missions, Design and Performance of the SATURN V APOLLO Arhivat 14 noiembrie 2017 la Wayback Machine . VINITI abstract. - M., 1973.
↑ La această valoare se adaugă viteza de rotație a Pământului la latitudinea Capului Canaveral , din care s-au făcut lansări în cadrul programului Apollo - 406 m/s. Astfel, nava spațială Apollo s- a lansat pe Lună cu o viteză de 11.000 m/s. La o altitudine de 500 km, (apogeul orbitei apropiate de Pământ, de la care nava a trecut pe calea de zbor către Lună), a doua viteză de evacuare este de 10.772 m/s.
↑ Feodosyev V., Sinyarev G. Introducere în tehnologia rachetelor. Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M.: Oborongiz, 1961.
↑ Levantovski, 1980 , p. 444.

Literatură

Levantovsky VI Mecanica zborului spațial într-o prezentare elementară. — M .: Nauka, 1980. — 512 p.

Mecanica cerească

Legi și sarcini	legile lui Newton Legea gravitației legile lui Kepler Problemă cu două corpuri Problemă cu trei corpuri Problemă gravitațională a N-corpilor problema lui Bertrand ecuația lui Kepler
Sfera celestiala	Sistemul de coordonate ceresc galactic orizontală ecuatorial ecliptic Sistemul internațional de coordonate cerești Sistem de coordonate sferice axa mondială Ecuatorul ceresc ascensiunea dreaptă declinaţie Ecliptic Echinocţiu Solstițiul plan fundamental
Parametrii orbitei	Elementele kepleriene ale orbitei excentricitate semi-axa mare înseamnă anomalie longitudinea nodului ascendent argument periapsis Apocentrul și periapsis Viteza orbitală Nodul orbital Epocă
Mișcarea corpurilor cerești	Mișcarea soarelui și a planetelor în sfera cerească Efemeride Configurații de planetă confruntare compus cuadratura elongaţie parada planetelor Eclipsă eclipsă de soare eclipsa de luna saros Ciclul metonic Strat Tutorial punct culminant perioada siderale perioada sinodica Perioada de rotație rezonanța orbitală Preludiul echinocțiului Apropiere librare Domeniul gravitației efectul Kozai Efectul Yarkovsky efectul Dzhanibekov

Astrodinamica

Zbor în spațiu	viteza spatiala primul (circular) al doilea (parabolic) al treilea Al patrulea formula lui Ciolkovski Manevra gravitațională traiectoria Hohmann Metoda elementelor osculatoare Accelerația mareelor Modificarea înclinației orbitale Rețeaua de transport interplanetar Andocare puncte Lagrange Efect de pionier
SC orbite	orbită geostaţionară Orbită heliocentrică orbită geosincronă orbita geocentrică orbita de geotransfer Orbită terestră joasă orbită polară Orbită „Tundra” Orbită sincronă cu Soarele Orbită „Fulger” Orbită osculatoare