A șaisprezecea problemă a lui Hilbert

A șaisprezecea problemă a lui Hilbert este una dintre cele 23 de probleme pe care David Hilbert le-a propus la 8 august 1900 la al II-lea Congres Internațional al Matematicienilor .

Inițial, problema a fost numită „Problema topologiei curbelor și suprafețelor algebrice” ( germană: Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen ).

Acum este considerat a fi divizibil în două probleme similare în diferite domenii ale matematicii:

Investigarea dispunerii reciproce a ovalelor curbelor algebrice reale de grad n (și o întrebare similară pentru suprafețele algebrice ).
Obținerea unei limite superioare a numărului de cicluri limită ale unui câmp vectorial polinomial de grad n (și studierea aranjamentului lor reciproc).

Setare originală

Prima parte (algebrică)

Numărul maxim de ramuri închise și situate separat pe care le poate avea o curbă algebrică de ordin n a fost determinat de Harnack {Math. Ann. 10 (1876), 189-192}. <...> Mi se pare interesant să studiez în detaliu aranjarea reciprocă a numărului maxim de ramuri individuale, precum și studiul corespunzător asupra numărului, naturii și aranjamentului cavităților individuale ale unei suprafețe algebrice în spațiu ; la urma urmei, încă nu s-a stabilit care este de fapt numărul maxim de cavități ale suprafeței de gradul al patrulea în spațiul tridimensional. [1] .

Text original (germană)[ arataascunde] 16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flachen. Die Maximalzahl der geschlossenen und getrennt liegenden Züge, welche eine ebene algebraische Curve n -ter Ordnung haben kann, ist von Harnack {Mathematische Annalen, Bd. 10} bestimmt worden; es entsteht die weitere Frage nach der gegenseitigen Lage der Curvenzüge in der Ebene. Was die Curven 6ter Ordnung angeht, so habe ich mich - freilich auf einem recht umständlichen Wege - davon überzeugt, daß die 11 Züge, die sie nach Harnack haben kann, keinesfalls sämtlich auf einem recht umständlichen Wege - davon überzeugt, daß die 11 Züge, die sie nach Harnack haben kann, keinesfalls sämtlich auf einem recht umständlichen Wege und in dessen Aeußerem neun Züge verlaufen oder umgekehrt. Eine gründliche Untersuchung der gegenseitigen Lage bei der Maximalzahl von getrennten Zügen scheint mir ebenso sehr von Interesse zu sein, wie die entsprechende Untersuchung über die Anzahl, Gestalt und Lage der Mäntel einer algebraischen Fläch - no Mäntelänchät entsprechende eine Fläche 4ter Ordnung des dreidimensionalen Raumes im Maximum wirklich besitzt. {Vgl. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preisschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886} [2] .

A doua parte (diferențială)

În legătură cu această întrebare pur algebrică, voi atinge o alta, care, mi se pare, ar trebui rezolvată prin metoda menționată a modificării continue a coeficienților<...>, și anume întrebarea numărului maxim și localizarea ciclurilor limită Poincaré pentru ecuația diferențială a primului grad de vedere

{\frac {dy}{dx}}={\frac {Y}{X}},

unde X , Y sunt funcții raționale întregi de gradul al n -lea în raport cu x , y , sau, în notație omogenă,

X\left(y{\frac {dz}{dt}}-z{\frac {dy}{dt}}\right)+Y\left(z{\frac {dx}{dt}}- x{\frac {dz}{dt}}\right)+Z\left(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\right)=0,

unde X , Y , Z sunt funcții omogene raționale întregi de gradul al n - lea în raport cu x , y , z , care trebuie definite ca funcții ale parametrului t . [unu]

Text original (germană)[ arataascunde] Im Anschluß an dieses rein algebraische Problem möchte ich eine Frage aufwerfen die sich, wie mir scheint, mittelst der nämlichen Methode der continuirlichen Coefficientenänderung in Angriff nehmen läßt, und deren Beantwortung für Maximum de la limite de la topologie de topologies de maximă durabilitate a ciclului ) für eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grade von der Form:

{\frac {dy}{dx}}={\frac {Y}{X}},

wo X , Y ganze rationale Funktionen nten Grade in x , y sind, oder in homogener Schreibweise

X\left(y{\frac {dz}{dt}}-z{\frac {dy}{dt}}\right)+Y\left(z{\frac {dx}{dt}}-x{\ frac {dz}{dt}}\right)+Z\left(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\right)=0

wo X , Y , Z ganze rationale homogene Functionen nten Grades von x , y , z bedeuten und diese als Funktionen des Parameters t zu bestimmen sind. [2]

Istoria primei părți

Până la momentul raportului lui Hilbert, Newton și Descartes obțineau [3] descrieri topologice ale curbelor de gradul 3 și 4, iar teorema demonstrată de Harnack făcea posibilă estimarea numărului de componente conexe ale unei curbe: nu putea depăși , unde este genul lui . $g+1$ $g=(d-1)(d-2)/2$

Gilbert a spus în raportul său:

În ceea ce privește curbele de ordinul al șaselea, eu - totuși, pe un drum destul de dificil - m-am asigurat ca acele 11 ramuri care se obțin după Harnack să nu fie niciodată situate toate una în afara celeilalte; există întotdeauna o ramură, în interiorul căreia există o alta, iar în afara căreia sunt restul de nouă, sau invers.

Totuși, așa cum a fost descoperit [4] în anii 1970 de D.A. Gudkov, cazul este posibil și atunci când există 5 ovale în interiorul și în afara unei curbe, caz pe care Hilbert l-a considerat imposibil. Analizând construcțiile sale, Gudkov a formulat o presupunere care a afirmat pentru M-polinoame de grad par comparabilitatea modulo 8 a caracteristicii Euler a unei regiuni construite conform exemplului cu un număr dat (și anume, cu pentru polinoame de gradul 2 k ); în special, a explicat că în cele trei variante de grad 6 care sunt realizate, numărul de curbe din interior, 1, 5 și 9, trece prin 4. $k^{2}$

Această ipoteză a fost dovedită chiar de Gudkov. În cazul general, a fost dovedit de V. I. Arnold [5] într-o formă slăbită de congruență modulo 4, iar apoi de V. A. Rokhlin [6] [7] în generalitate deplină, când se consideră varietăți cu patru dimensiuni special construite [4] . $k = 3$

Construcția diferitelor exemple l-a determinat și pe O. Ya . Viro să creeze tehnica de patchworking , care face posibilă „lipirea curbelor algebrice din piese cu un anumit comportament”.

În 1972, Vyacheslav Kharlamov a dat soluția primei părți, referitoare la numărul de componente și topologii ale suprafețelor algebrice de ordinul al patrulea în trei dimensiuni, iar în 1976 a finalizat un studiu asupra problemei Hilbert.

Istoria părții a doua

Teorema de finititate individuală

Primul pas către studiul celei de-a șaisprezecelea probleme a lui Hilbert în generalitate deplină a fost să fie teorema individuală de finitate : un câmp vectorial polinomial în plan are doar un număr finit de cicluri limită . Această teoremă a fost publicată în 1923 de matematicianul francez Henri Dulac [8] și a fost considerată dovedită multă vreme.

În anii 1980, Yu. S. Ilyashenko a descoperit o lacună semnificativă în demonstrația lui Dulac [9] [10] , iar problema finiității individuale a rămas deschisă până în 1991-92, când Ilyashenko [11] și Ekal [12] simultan și independent, folosind diferite abordări, i-a dat un răspuns pozitiv (prezentarea unei dovezi complete a cerut fiecăruia dintre ei să scrie o carte separată), vezi și schema noii dovezi [13] .

Strategia Petrovsky-Landis

Câmpuri vectoriale cuadratice

Versiuni relaxate ale problemei

Vezi și

Problema Hilbert-Arnold

Literatură

↑ 1 2 Traducerea raportului lui Hilbert din germană - M. G. Shestopal și A. V. Dorofeev , publicat în cartea Hilbert's Problems / ed. P. S. Alexandrova . - M. : Nauka, 1969. - S. 39. - 240 p. — 10.700 de exemplare. Copie arhivată (link indisponibil) . Data accesului: 3 ianuarie 2010. Arhivat din original la 17 octombrie 2011. (nedefinit)
↑ 12 David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (germană) (link inaccesibil) . — Textul raportului citit de Hilbert la 8 august 1900 la al II-lea Congres Internaţional al Matematicienilor de la Paris. Consultat la 27 august 2009. Arhivat din original la 17 iulie 2009.
↑ V. I. Arnold, Ce este matematica? MTsNMO, 2002; Cu. 39.
↑ 1 2 V. I. Arnold, Ce este matematica? MTsNMO, 2002; Cu. 43.
↑ V. I. Arnold, „Despre aranjarea ovalelor curbelor algebrice plane reale, involuții ale varietăților netede cu patru dimensiuni și aritmetica formelor pătratice integrale”, Funkts. analiză și aplicațiile sale, 5:3 (1971), 1–9.
↑ V. A. Rokhlin, „Proof of the Gudkov Conjecture”, Funct. analiză și aplicațiile sale, 6:2 (1972), 62–64.
↑ V. A. Rokhlin, „Modulo 16 comparații în a șaisprezecea problemă a lui Hilbert”, Funct. analiză și aplicațiile sale, 6:4 (1972), 58–64.
↑ Dulac, H. Sur les cycles limits. Taur. soc. Matematică. Franța , 51 : 45–188 (1923); // Traducere rusă: Dulac A. Despre ciclurile limită - M .: Nauka, 1980
↑ Ilyashenko , Yu . _ _ 4, p. 127.
↑ Yu . S. Iliașenko . „Memoriile lui Dulac „Despre ciclurile limită” și întrebările conexe ale teoriei locale a ecuațiilor diferențiale”, Uspekhi Mat. Nauk, 40 :6(246) (1985), 41-78.
↑ Yu. Ilyashenko, Teoreme de finititate pentru cicluri limită, Societatea Americană de Matematică, Providence, RI, 1991.
↑ J. Ecalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992.
↑ Iu. S. Ilyașenko. Teoreme de finitate pentru cicluri limită: o schiță a unei demonstrații actualizate. Izv. A FUGIT. Ser. Mat., 80:1 (2016), 55–118

V. I. Arnold, Ce este matematica? MTsNMO, 2002; Cu. 39-45.
M. E. Kazaryan, Geometrie tropicală , note de curs.
Yu. S. Ilyashenko, Istoria de o sută de ani a celei de-a 16-a probleme a lui Hilbert. În colecția „Globe: Seminar general de matematică. Problema. 1” , M.: MTsNMO, 2004. // Istoria centenară a problemei a 16-a a lui Hilbert, Bull AMS, v 39, nr 3, 2002, 301-354.
Probleme Hilbert. sat. ed. P. S. Alexandrova. Moscova: Nauka, 1969.

Probleme Hilbert
unu 2 3 patru 5 6 7 opt 9 zece unsprezece 12 13 paisprezece cincisprezece 16 17 optsprezece 19 douăzeci 21 22 23 ( 24 )