În teoria nodurilor, o diagramă a unui nod sau a unei legături este alternativă dacă intersecțiile alternează - sub, peste, sub, peste etc., dacă parcurgeți fiecare componentă a legăturii. O legătură este alternativă dacă are o diagramă alternativă.
Multe dintre nodurile cu intersecții mai mici de 10 sunt alterne. Acest fapt și proprietățile utile ale nodurilor alternative, cum ar fi conjecturile lui Tate , au permis unor cercetători, inclusiv lui Tate, să alcătuiască tabele cu relativ puține erori sau omisiuni. Cele mai simple noduri simple nealternante au 8 intersecții (și există trei astfel de noduri - 8 19 , 8 20 , 8 21 ).
Există o ipoteză conform căreia, pe măsură ce numărul de intersecții crește, procentul de noduri nealternante tinde spre 0 exponențial rapid.
Legăturile alternative joacă un rol important în teoria nodurilor și teoria 3 -varietății , deoarece complementele lor au proprietăți geometrice și topologice utile și interesante. Și asta i-a permis lui Ralph Fox să pună întrebarea: „Ce este un nod alternativ?” . Astfel, el întreabă ce proprietăți ale complementului unui nod, care nu sunt legate de diagrame, pot caracteriza nodurile alternante.
În noiembrie 2015, Joshua Evan Green a publicat un preprint care stabilește o caracterizare a legăturilor alternative în ceea ce privește definirea suprafețelor contractante, i.e. definiții de legături alternante (printre care nodurile alternative sunt un caz special) fără a folosi conceptul de diagrame de legături [1] .
Diverse informații geometrice și topologice sunt dezvăluite în diagrame alternante. Simplitatea și divizibilitatea link-ului este ușor de văzut pe diagramă. Numărul de intersecții ale diagramei alternative date este numărul de intersecții ale nodului, iar aceasta este una dintre faimoasele conjecturi ale lui Tate.
O diagramă de noduri alternante este într-o corespondență unu-la-unu cu un grafic plan . Fiecare intersecție este asociată cu o muchie și jumătate din componentele conexe ale complementului diagramei sunt asociate cu vârfuri.
Ipotezele lui Tate:
Primele două conjecturi ale lui Tate au fost dovedite de Morven B. Thistlethwaite , Louis Kaufman și K. Murasugi în 1987, iar în 1991 aceiași Thistlethwaite și William Menasco au demonstrat conjectura de inversare a lui Tate.
William Menasco , aplicând teorema de hiperbolizare a lui Thurston la varietăți Haken , a demonstrat că orice legătură alternativă simplă inseparabilă este hiperbolic , i.e. complementul unei legături are geometrie Lobachevsky , cu excepția cazului în care legătura este toric .
Astfel, volumul hiperbolic este un invariant al multor legături alternative. Mark Lakenby a arătat că volumul are limite liniare superioare și inferioare în funcție de numărul de regiuni de răsucire din diagrama alternativă dată.