În teoria nodurilor, o legătură Brunniană este o legătură non-trivială care se destramă atunci când orice componentă este îndepărtată. Cu alte cuvinte, tăierea oricărui inel (topologic) decuplează toate celelalte inele (deci nici două dintre inele nu sunt legate, ca în legătura Hopf ).
Numele brunnovo este dat în onoarea lui Hermann Brunn , care, într-un articol din 1892 despre Über Verkettung , a dat exemple de astfel de angrenaje.
Cea mai faimoasă și simplă legătură brunniană este inelele Borromee , legătura a trei inele. Totuși, pentru orice număr, începând de la trei, există un număr infinit de legături brunniane care conțin un astfel de număr de inele. Există mai multe legături cu trei componente relativ simple, care nu sunt echivalente cu inelele Borromee:
Legătură cu 12 intersecții.
Legătură cu 18 intersecții.
Legătură cu 24 de intersecții.
Cea mai simplă legătură brunniană în afară de inelele Borromee (având 6 intersecții) pare să fie legătura L10a140 cu 10 intersecții [1] .
Un exemplu de legătură Brunnian cu n componente este legătura Brunniană „inel de cauciuc” , unde fiecare componentă o înfășoară pe cea anterioară în schema aba −1 b −1 și ultimul inel este legat de primul, formând un ciclu .
Legăturile brunniane sunt descrise până la homotopie de către John Milnor într-o lucrare din 1954 [2] , iar invarianții introduși de el sunt acum numiți invarianți Milnor .
O legătură ( n + 1)-componentă poate fi înțeleasă ca un element al grupului de legături n componente nelegate (grupul de legături în acest caz este grupul complement fundamental al legăturii ). Grupul de legături din n componente nelegate este un produs liber al n generatoare, adică un grup liber Fn .
Nu fiecare element al grupului F n generează o legătură brunniană. Milnor a arătat că grupul de elemente corespunzătoare legăturilor brunniene este legat de algebra Lie gradată a seriei centrale inferioare a grupului liber și poate fi înțeles ca „relații” în algebra Lie liberă .
Legăturile brunniene pot fi înțelese în termeni de produse Massey : un produs Massey este un produs cu n termeni care este definit doar dacă toate produsele ( n - 1) termeni dispar. Aceasta corespunde proprietății legăturii Brunnian, în care toate mulțimile de componente ( n - 1) nu sunt legate, dar toate n componente împreună formează o legătură non-trivială.
O împletitură Brunnian este o împletitură care devine banală atunci când oricare dintre firele sale este îndepărtată. Impletiturile brunniane formeaza un subgrup in grupul de impletituri . Impletiturile Brunniene pe o sferă care nu sunt Brunniene pe un disc (plat) dau elemente non-triviale în grupurile de homotopie ale sferei. De exemplu, împletitura „standard” corespunzătoare inelelor Borromee dă o fibrație Hopf S 3 → S 2 , iar continuarea unei astfel de țesături dă și o împletitură brunniană.
Multe puzzle- uri de dezlegare și unele puzzle-uri mecanice sunt variante ale legăturilor Brunnian, iar scopul lor este să elibereze un element care este parțial conectat cu restul puzzle-ului.
Lanțurile Brunn sunt folosite pentru a crea bijuterii decorative din inele de cauciuc folosind dispozitive precum Wonder Loom (sau varianta sa Rainbow Loom).