A doua lege a lui Newton

A doua lege a lui Newton este o lege diferențială a mișcării mecanice , care descrie dependența accelerației unui corp de rezultanta tuturor forțelor și masei corporale aplicate corpului. Una dintre cele trei legi ale lui Newton . Legea de bază a dinamicii [1] [2] [3] .

Obiectul la care se referă cea de-a doua lege a lui Newton este un punct material , care are o proprietate inalienabilă - inerție [4] , a cărei valoare este caracterizată de masă . În mecanica clasică (newtoniană) , se presupune că masa unui punct material este constantă în timp și independentă de orice caracteristică a mișcării sale și a interacțiunii cu alte corpuri [5] [6] [7] [8] .

A doua lege a lui Newton, în formularea sa cea mai comună, care este valabilă pentru viteze mult mai mici decât viteza luminii , afirmă: în cadrele de referință inerțiale , accelerația dobândită de un punct material, care este direct proporțională cu forța care o provoacă, nu depind de natura sa [9] , coincide cu ea în direcție și invers proporțional cu masa unui punct material [10] .

A doua lege a lui Newton în mecanica clasică

Formulare posibile

În lucrarea sa „ Principii matematice ale filosofiei naturale ” , Isaac Newton dă următoarea formulare [11] a legii sale:

Modificarea impulsului este proporțională cu forța motrice aplicată și are loc în direcția dreptei de-a lungul căreia acționează această forță.

Formulare modernă:

În sistemele de referință inerțiale, accelerația dobândită de un punct material este direct proporțională cu forța care îl provoacă, coincide cu aceasta în direcție și este invers proporțională cu masa punctului material.

Această lege este de obicei scrisă ca o formulă

{\vec {a}}={\frac {{\vec {F}}}{m}},

unde este accelerația corpului, este forța aplicată corpului și este masa corpului.

{\vec {a}}

\vec{F}

\m

Sau sub alta forma:

m{\vec {a}}={\vec {F}}

Formularea celei de-a doua legi a lui Newton folosind conceptul de impuls este :

În sistemele de referință inerțiale, derivata în timp a impulsului unui punct material este egală cu forța care acționează asupra acestuia [12] :

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}},

unde este impulsul (momentul) punctului, este viteza acestuia și este timpul .

{\vec p}=m{\vec v}

{\vec {v}}

t

Domeniul de aplicare al legii

A doua lege a lui Newton în mecanica clasică este formulată în raport cu mișcarea unui punct material. Se presupune că masa unui punct material este constantă în timp [13] [14] [15] . Ecuațiile corespunzătoare acestei legi se numesc ecuațiile de mișcare a unui punct material sau ecuațiile de bază ale dinamicii unui punct material .

Uneori, în cadrul mecanicii clasice, s-a încercat extinderea sferei de aplicare a ecuației la cazul corpurilor de masă variabilă. Cu toate acestea, împreună cu o interpretare atât de largă a ecuației, a fost necesar să se modifice semnificativ definițiile acceptate anterior și să se schimbe semnificația unor astfel de concepte fundamentale ca punct material, impuls și forță [16] [17] . $d{\vec {p}}/dt={\vec {F}}$

În cazul în care mai multe forțe acționează asupra unui punct material, fiecare dintre ele conferă punctului o accelerație determinată de legea a doua a lui Newton ca și când nu ar exista alte forțe ( principiul suprapunerii forțelor ). Prin urmare, accelerația rezultată a unui punct material poate fi determinată de a doua lege a lui Newton prin substituirea forței rezultante în el [18] .

Ecuația a doua lege a lui Newton presupune aditivitatea scalară a maselor [19] . ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

Pe lângă punctul material, ecuația celei de-a doua legi a lui Newton este aplicabilă și pentru a descrie mișcarea mecanică a centrului de masă al unui sistem mecanic. Centrul de masă se mișcă ca un punct material care are o masă egală cu masa întregului sistem și se află sub acțiunea tuturor forțelor externe aplicate punctelor sistemului ( teorema privind mișcarea centrului de masă al sistem ).

A doua lege a lui Newton este valabilă numai în cadrele de referință inerțiale [20] [21] . Totuși, adăugând forțe inerțiale la forțele care acționează din alte corpuri, pentru a descrie mișcarea în cadre de referință non-inerțiale, puteți folosi ecuația celei de-a doua legi a lui Newton [22] . În acest caz, pentru un cadru de referință non-inerțial , ecuația mișcării este scrisă în aceeași formă ca și pentru un cadru inerțial: masa corpului, înmulțită cu accelerația sa față de cadrul de referință non-inerțial, este egală ca mărime și direcție cu rezultanta tuturor forțelor, inclusiv forțele inerțiale aplicate corpului [23] [24] .

Rolul logic al celei de-a doua legi a lui Newton

În prezentarea newtoniană a mecanicii clasice, legile lui Newton nu sunt „derivate” de nicăieri, ele au statutul de axiome bazate pe un set de fapte experimentale. La fel ca și axiomele matematicii, axiomele dinamicii newtoniene pot fi formulate în moduri ușor diferite.

Într-o abordare, a doua lege a lui Newton este poziționată ca o afirmație verificabilă experimental despre proporționalitatea accelerației cu forța care o provoacă și, în același timp, definirea masei inerțiale a corpului prin raportul dintre forță și accelerație [25]. ] [26] . Atunci ideea principală a celei de-a doua legi este declararea liniarității relației „forță-accelerare”, adică că sunt aceste mărimi (și nu, să zicem, forță și viteză) și în acest fel (și nu pătratic etc.) care sunt interconectate.

Cu o altă abordare, se poate introduce o masă inerțială , indiferent de a doua lege a lui Newton, prin masa unui anumit corp luată ca standard. Atunci a doua lege conține două afirmații verificate experimental independent: despre proporționalitatea accelerației cu forța și proporționalitatea inversă cu masa [27] .

În multe probleme practice și educaționale, a doua lege a lui Newton vă permite să calculați forța . Dar această lege nu este o definiție a forței [28] (o afirmație precum „prin definiție, forța este produsul dintre masă și accelerație” este nepotrivită), altfel s-ar transforma într-o tautologie.

Dacă nu există niciun impact asupra corpului de la alte corpuri ( ), din a doua lege a lui Newton rezultă că accelerația corpului este zero. De aici poate părea că prima lege a lui Newton intră în a doua ca caz special. Totuși, acest lucru nu este așa, deoarece este prima lege care postulează existența cadrelor de referință inerțiale, care este o declarație independentă cu sens. În consecință, prima lege a lui Newton este formulată independent de a doua [29] . ${\vec {F}}=0$

A doua lege a lui Newton stabilește o legătură între mărimile dinamice și cinematice [30] . În plus, ecuația legii poate fi considerată drept ecuația de legătură între mărimile fizice în determinarea unităților de forță în SI , CGS și alte sisteme [31] . Unitatea de forță este definită ca o astfel de forță care conferă o accelerație unui punct material cu o masă egală cu unitatea de masă, luată ca principală, egală cu unitatea de accelerație, definită anterior ca unitate derivată [32] . (Cu o alegere independentă a unităților de masă , forță și accelerație, expresia celei de-a doua legi trebuie scrisă sub forma ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ $m{\vec {a}}=k{\vec {F}}$ $k$

Forța din a doua lege a lui Newton depinde doar de coordonatele și viteza punctului material: . Problema principală a mecanicii fizice se reduce la găsirea unei funcții [37] . $\vec{F}$ ${\vec {r))$ $\vec{v}$ ${\dot {\vec {p}}}={\vec {F}}({\vec {r}},{\vec {v}})$ ${\vec {F}}({\vec {r}}, {\vec {v}})$

Formula celei de-a doua legi a lui Newton exprimă principiul cauzalității în mecanica clasică. Coordonatele și vitezele unui punct material într-un punct în timp (unde ) sunt determinate continuu și unic prin valorile lor la un punct în timp și forța dată care acționează asupra punctului. Expandând într- o serie Taylor și limitându-ne la mic ordinul întâi în , obținem [38] : , . Forma în care cauzalitatea se realizează în mecanică se numește determinism mecanicist sau laplacian [39] . ${\vec {a}}={\vec {F}}/m$ $t+\Delta t$ $\Delta t\la 0$ $t$ $\vec{F}$ $t$ ${\vec {r}}(t+\Delta t)={\vec {r}}(t)+{\vec {v}}\Delta t$ ${\vec {v}}(t+\Delta t)={\vec {v}}(t)+{\vec {a}}\Delta t$

Ecuația a doua lege a lui Newton este invariantă în cadrul transformărilor galileene . Această afirmație se numește principiul relativității lui Galileo [40] . ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

În mecanica clasică , legea conservării energiei , legea conservării momentului și legea conservării momentului unghiular sunt consecințe ale celei de-a doua legi a lui Newton, omogenitatea timpului, omogenitatea și izotropia spațiului, precum și unele ipoteze privind natura forțelor care acționează [41] .

În cazul în care forța este constantă, integrarea ecuației celei de-a doua legi a lui Newton duce la egalitatea . Acest raport arată că, sub acțiunea unei forțe date, are loc o anumită modificare a vitezei unui corp cu o masă mai mare pe o perioadă mai lungă de timp. Prin urmare, ei spun că toate corpurile au inerție, iar masa se numește măsura inerției corpului [42] . $\vec{F}$ ${\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {\vec {F}}{m}}$ ${\vec {v_{2}}}-{\vec {v_{1}}}={\frac {\vec {F}}{m}}(t_{2}-t_{1})$ $\vec{F}$ $\Delta {\vec {v}}={\vec {v_{2}}}-{\vec {v_{1}}}$ $m$

Înregistrarea legii în diferite sisteme de coordonate

Notația vectorială a celei de-a doua legi a lui Newton este adevărată pentru orice sistem de coordonate inerțial, în raport cu care sunt determinate mărimile incluse în această lege (forță, masă, accelerație) [43] . Cu toate acestea, descompunerea în componente (proiecții) va fi diferită pentru sistemele carteziene, cilindrice și sferice. Interesantă este și descompunerea în componente normale și tangenţiale. $m{\vec {a}}={\vec {F}}$

Sistemul de coordonate carteziene

$m{\ddot {x}}=F_{x}$ , , , unde , și ortele sistemului cartezian , , sunt direcționate de-a lungul axelor de coordonate (în direcția de creștere a coordonatei specifice), $m{\ddot {y}}=F_{y}$ $m{\ddot {z}}=F_{z}$ ${\vec {F}}=F_{x}{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}$ $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$

Sistem de coordonate cilindric

$m({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2})=F_{\rho }$ , , , unde , și ortele , , ale sistemului cilindric sunt luate în punctul de aplicare a forței și sunt direcționate, respectiv, de la axa de la 90 0 către aceasta, de-a lungul circumferinței în planul centrat pe axă, și de-a lungul (în direcția creșterii coordonatelor specifice), $m(\rho {\ddot {\varphi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }})=F_{\varphi }$ $m{\ddot {z}}=F_{z}$ ${\vec {F}}=F_{\rho }{\vec {e}}_{\rho }+F_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+F_{z }{\vec {e}}_{z}$ ${\vec {e}}_{\rho }$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{z}$ $z$ $X y$ $z$

Sistem de coordonate sferice

$m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta -r{\dot {\theta }}^{2})= F_{r}$ , , , unde , și vectorii unitari , , ai sistemului sferic sunt luați în punctul de aplicare a forței și direcționați, respectiv, din centru , de-a lungul „paralelelor”, și de-a lungul „meridianelor” (în direcția creșterii coordonată specifică). $m([r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}]\sin \theta +2r{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}\cos \theta )=F_{\varphi }$ ${\displaystyle m(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \ cos \theta )=F_{\theta ))$ ${\vec {F}}=F_{r}{\vec {e}}_{r}+F_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+F_{\theta } {\vec {e}}_{\theta }$ ${\vec {e}}_{r}$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{\theta }$ $O$

Descompunerea într-un plan tangent

Într -un plan contiguu , accelerația unui punct material de către o masă și forța care acționează asupra acestuia pot fi descompuse în normal (perpendicular pe tangente la traiectoria din planul contiguu) și tangențial (paralel cu tangenta la traiectorie în planul contiguu). plan contigu) componente. ${\vec {a}}={\vec {a_{n}}}+{\vec {a_{t}}}$ $m$ ${\vec {F}}={\vec {F_{n}}}+{\vec {F_{t}}}$ ${\vec {F_{n}}}=m{\vec {a_{n}}}$ ${\vec {F_{t}}}=m{\vec {a_{t}}}$

Valoarea absolută a forței normale este , unde este raza de curbură a traiectoriei punctului material, este valoarea absolută a vitezei sale. Forța normală este îndreptată spre centrul de curbură al traiectoriei punctului material. În cazul unei traiectorii circulare cu raza , valoarea absolută a forței normale este , unde este viteza unghiulară a punctului. Forța normală se mai numește și centripetă . $F_{n}=ma_{n}=mv^{2}/R$ $R$ $v$ $R$ $F_{n}=m\omega ^{2}R$ $\omega$

Componenta tangențială a forței este , unde este coordonata arcului de-a lungul traiectoriei punctului [44] . Dacă , atunci forța coincide în direcție cu vectorul viteză și se numește forță motrice . Dacă , atunci forța este opusă în direcție vectorului viteză și se numește forță de frânare . $F_{t}=ma_{t}=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2)))$ $s=s(t)$ ${\frac {d^{2}s}{dt^{2)}}>0$ ${\vec {F_{t)})$ $\vec{v}$ ${\frac {d^{2}s}{dt^{2)}}<0$ ${\vec {F_{t)})$ $\vec{v}$

A doua lege în afara mecanicii clasice

În dinamica relativistă

A doua lege a lui Newton în formă este aproximativ valabilă numai pentru viteze mult mai mici decât viteza luminii și în cadrele de referință inerțiale . $m{\vec {a}}={\vec {F}}$

Sub forma celei de-a doua legi a lui Newton, este exact adevărat și în cadrele de referință inerțiale ale teoriei relativității speciale și în cadrele de referință local inerțiale ale teoriei generale a relativității , totuși, în loc de expresia anterioară pentru impuls, se folosește egalitatea , unde este viteza luminii [45] . ${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}$ ${\vec p}={\frac {m{\vec v}}({\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}}$ $c$

Există, de asemenea, o generalizare relativistă în patru dimensiuni a celei de-a doua legi a lui Newton. Derivată a patru-momentului în raport cu timpul propriu al unui punct material este egală cu patru-forța [46] : ${\vec {\mathrm {P} }}$ $\tau$ ${\vec {\Phi ))$

{\vec {\Phi }}={\frac {d{\vec {\mathrm {P} }}}{d\tau }}

În dinamica relativistă, vectorul accelerație tridimensional nu mai este paralel cu vectorul forță tridimensional [47] . ${\vec {a}}$ $\vec{F}$

În mecanica cuantică

Legile dinamicii newtoniene, inclusiv a doua lege a lui Newton, sunt inaplicabile dacă lungimea de undă de Broglie a obiectului luat în considerare este proporțională cu dimensiunile caracteristice ale regiunii în care este studiată mișcarea sa. În acest caz, este necesar să se folosească legile mecanicii cuantice [48] .

Cu toate acestea, a doua lege a lui Newton, în anumite condiții, este relevantă în raport cu mișcarea unui pachet de undă în mecanica cuantică. Dacă energia potențială a unui pachet de undă se modifică neglijabil în regiunea în care se află pachetul, atunci derivata în timp a valorii medii a impulsului pachetului va fi egală cu forța, înțeleasă ca gradient de energie potențială luat cu semnul opus ( teorema lui Ehrenfest ).

Pentru a descrie mișcarea unei particule într-un câmp potențial, în mecanica cuantică, este valabilă o ecuație de operator , care coincide în formă cu ecuația celei de-a doua legi a lui Newton: . Aici: este masa particulei, este operatorul viteză, este operatorul momentului, este operatorul energiei potențiale [49] . $m{\frac {d{\hat {v}}}{dt}}=-\nabla {\hat {U}}$ $m$ ${\hat {v}}={\frac {\hat {p}}{m}}$ ${\hat {p}}$ ${\hat {U}}=U(x,y,z)$

O a doua lege modificată a lui Newton este, de asemenea, utilizată în descrierea mecanică cuantică a mișcării electronilor într-o rețea cristalină. Interacțiunea unui electron cu un câmp electromagnetic periodic al rețelei este luată în considerare prin introducerea conceptului de masă efectivă .

Semnificația științifică și istorică a dreptului

Evaluând semnificația celei de-a doua legi a lui Newton, A. Einstein a scris:

Legea diferențială este singura formă de explicație cauzală care poate satisface pe deplin fizicianul modern. O înțelegere clară a legii diferențiale este una dintre cele mai mari realizări spirituale ale lui Newton... Doar trecerea la analizarea unui fenomen într-un timp infinit de scurt (adică la o lege diferențială) i-a permis lui Newton să dea o formulare potrivită pentru a descrie orice mișcare. Deci Newton a venit... la stabilirea faimoasei legi a mișcării:

Vector accelerație × Masă = Vector forță.

Acesta este fundamentul tuturor mecanicii și, poate, al tuturor fizicii teoretice.

- Einstein A. Culegere de lucrări științifice. - M. : Nauka, 1967. - T. 4. - S. 82, 92. - 599 p. - 31.700 de exemplare.

Toate legile naturii pentru forțe, în funcție de proprietățile corpurilor, stările și mișcările lor, sunt obținute din experimente și se stabilesc întotdeauna și numai pe baza rezolvării ecuației care este folosită pentru a exprima forța [50] . ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

A doua lege a lui Newton este o parte importantă a paradigmei adoptate în tabloul fizic clasic al lumii [51] .

Generalizări lagrangiene și hamiltoniene ale legii

Există două abordări axiomatice în mecanica analitică. O abordare ia a doua lege a lui Newton ca o axiomă și derivă din ea ecuațiile lui Lagrange . Într-o altă abordare, ecuațiile Lagrange sunt luate ca axiomă. Atunci a doua lege a lui Newton este considerată ca o consecință a acestora [52] .

Din ecuațiile Lagrange pentru un sistem holonomic arbitrar , care este afectat atât de forțe generalizate potențiale ( ) și nepotențiale ( ) , rezultă că derivata în timp a impulsului generalizat este egală cu forța generalizată totală : $Q_{i}^{p)$ $Q_{i}^{n)$ ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{n}$ $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q)}_{i)}}$ $Q_{i}=Q_{i}^{p}+Q_{i}^{n}={\frac {\partial L}{\partial q_{i)}}+Q_{i}^{ n}$

{\dot {p}}_{i}=Q_{i}

Ecuațiile Lagrange scrise în acest fel în coordonate carteziene se numesc ecuații ale mișcării lui Newton [53] .

Teorema privind modificarea momentului generalizat generalizează și include ca cazuri speciale teoremele dinamicii newtoniene asupra modificării momentului și asupra modificării momentului unghiular [54] .

În dinamica hamiltoniană

{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i)}}

unde, ca mai sus, este impulsul generalizat, notat cu funcția Hamilton și este Lagrangianul , adică diferența dintre energiile cinetice și potențiale ale sistemului. $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q)}_{i)}}$ $H=\sum _{i=1}^{s}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L$ $L=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$

Vezi și

Note

↑ G. A. Bugaenko, V. V. Malanin , V. I. Yakovlev Fundamentele mecanicii clasice. - M., Şcoala Superioară , 1999. - ISBN 5-06-003587-5 - Tiraj 3000 exemplare. — c. 43
↑ Kuznetsov B. G. Principiile de bază ale fizicii lui Newton // ed. ed. Grigoryan A. T. , Polak L. S. Eseuri despre dezvoltarea ideilor fizice de bază. - M., Academia de Științe a URSS , 1959. - Tiraj 5000 de exemplare. - Cu. 188;
↑ Tarasov V. N., Boyarkina I. V., Kovalenko M. V., Fedorchenko N. P., Fisenko N. I. Mecanica teoretică. - M., TransLit, 2012. - ISBN 978-5-94976-455-8 . – Tiraj 1000 de exemplare. - Cu. 249
↑ La fel ca inerția . Vezi Inerția // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1990. - T. 2: Factorul de calitate - Magneto-optică. - S. 146. - 704 p. — 100.000 de exemplare. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ „O caracteristică suplimentară (în comparație cu caracteristicile geometrice) a unui punct material este mărimea scalară m - masa punctului material, care, în general, poate fi atât constantă, cât și variabilă... În mecanica clasică newtoniană, o punctul material este de obicei modelat de un punct geometric cu masa constantă inerentă) fiind o măsură a inerției sale." p. 137 Sedov LI , Tsypkin AG Fundamentele teoriilor macroscopice ale gravitației și electromagnetismului. M: Nauka, 1989.
↑ Markeev A.P. Mecanica teoretică. - M. : CheRO, 1999. - S. 87. - 572 p. „Masa unui punct material este considerată o valoare constantă, independent de circumstanțele mișcării.”
↑ Golubev Yu. F. Fundamentele mecanicii teoretice. - M. : MGU, 2000. - S. 160. - 720 p. — ISBN 5-211-04244-1 . « Axioma 3.3.1. Masa unui punct material își păstrează valoarea nu numai în timp, ci și în timpul oricăror interacțiuni ale unui punct material cu alte puncte materiale, indiferent de numărul acestora și de natura interacțiunilor.
↑ Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică. - M . : Şcoala superioară, 1995. - S. 287. - 416 p. — ISBN 5-06-003117-9 . „În mecanica clasică, masa fiecărui punct sau particule a sistemului este considerată o constantă atunci când se mișcă”
↑ Butikov E.I., Bykov A.A., Kondratiev A.S. Fizică pentru studenți. — M.: Nauka, 1982. — P.39.
↑ Landsberg G.S. Manual elementar de fizică. Volumul 1. Mecanica. Căldură. Fizica moleculară. — M.: Nauka, 1975. — C. 107
↑ Isaac Newton. Principii matematice ale filosofiei naturale. - M. : Nauka, 1989. - S. 40. - 690 p. - („Clasice ale științei”). - 5000 de exemplare. - ISBN 5-02-000747-1 .
↑ Sivukhin D.V. Curs general de fizică. — M .: Fizmatlit; Institutul de Fizică și Tehnologie din Moscova, 2005. - T. I. Mecanică. - S. 76. - 560 p. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Markeev A.P. Mecanica teoretică. - M. : CheRO, 1999. - S. 254. - 572 p. „... A doua lege a lui Newton este valabilă numai pentru un punct de compoziție constantă. Dinamica sistemelor cu compoziție variabilă necesită o atenție specială.”
↑ Irodov I. E. Legile fundamentale ale mecanicii. - M . : Şcoala superioară, 1985. - S. 41. - 248 p. „În mecanica newtoniană... m=const și dp/dt=ma”.
↑ Kleppner D., Kolenkow RJ O introducere în mecanică . - McGraw-Hill, 1973. - P. 112. - ISBN 0-07-035048-5 . Copie arhivată (link indisponibil) . Preluat la 9 februarie 2013. Arhivat din original la 17 iunie 2013. (nedefinit) „Pentru o particulă din mecanica newtoniană, M este o constantă și (d/dt)(M v ) = M(d v /dt) = M a ”.
↑ Sommerfeld A. Mechanics = Sommerfeld A. Mechanik. Zweite, revidierte Auflage, 1944. - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2001. - P. 45-46. — 368 p. — ISBN 5-93972-051-X .
↑ Kilchevsky N. A. Curs de mecanică teoretică. Volumul 1. - M .: Nauka, 1977. 480 p.
↑ 1 2 Yavorsky B.M. , Detlaf A.A. , Lebedev A.K. Manual de fizică pentru ingineri și studenți. — M.: Oniks , 2007. — ISBN 978-5-488-01248-6 . – Tiraj 5.100 exemplare. — S. 38 - 39
↑ Orir J. Fizica // M., Mir, 1981. - Tiraj 75.000 exemplare. - Volumul 1. - p. 54
↑ Savelyev I.V. Curs de fizică generală. Volumul 1. Mecanica. Fizica moleculară. — M.: Nauka, 1987. — P. 118
↑ Landsberg G.S. Manual elementar de fizică. Volumul 1. Mecanica. Căldură. Fizica moleculară. — M.: Nauka, 1975. — C. 289
↑ Savelyev I.V. Curs de fizică generală. Volumul 1. Mecanica. Fizica moleculară. — M.: Nauka, 1987. — C. 118-119
↑ Landsberg G.S. Manual elementar de fizică. Volumul 1. Mecanica. Căldură. Fizica moleculară. — M.: Nauka, 1975. — C. 291
↑ Savelyev I.V. Curs de fizică generală. Volumul 1. Mecanica. Fizica moleculară. — M.: Nauka, 1987. — P. 119
↑ Landsberg G.S. Manual elementar de fizică. Volumul 1. Mecanica. Căldură. Fizica moleculară. — M.: Nauka, 1975. — P. 106
↑ Khaikin S. E. Fundamentele fizice ale mecanicii. — M.: Fizmatgiz, 1963. — P. 104
↑ Butikov E.I., Bykov A.A., Kondratiev A.S. Fizică pentru studenți. - M .: Nauka, 1982. - S. 30.
↑ R. F. Feynman Feynman Lecturi despre fizică. Volumul I. Știința modernă a naturii Legile mecanicii. - M .: Nauka, 1978. - S. 209-210.
↑ Savelyev I.V. Curs de fizică generală. Volumul 1. Mecanica. Fizica moleculară. — M.: Nauka, 1987. — C. 54
↑ Seleznev Yu. A. Fundamentele fizicii elementare. - M., Nauka, 1966. - Tiraj 100.000 exemplare. - Cu. 40
↑ G. D. Burdun, B. N. Markov Fundamentele metrologiei. - M .: Editura de standarde, 1972. - Tiraj 30.000 exemplare. - S. 49.
↑ Sena L. A. Unități de mărimi fizice și dimensiunile acestora. — M.: Nauka , 1977. — S. 24.
↑ Savelyev I. V. Curs de fizică generală / Ed. a 2-a, revizuită. - M . : Nauka, 1982. - T. 1. Mecanica. Fizica moleculară. - S. 54. - 432 p.
↑ Sena L. A. Unități de mărimi fizice și dimensiunile acestora . - M. : Nauka, 1969. - S. 22. - 304 p.
↑ Multanovsky V.V. Curs de fizica teoretica: Mecanica clasica. Fundamentele teoriei speciale a relativității. Mecanica relativistă . - M . : Educaţie, 1988. - S. 73. - 304 p. - ISBN 5-09-000625-3 .
↑ „Nu trebuie să confundați conceptele de forță și produsul de masă și accelerația cu care este egală” ( Fok V.A. Mechanics. Recenzie de carte: L. Landau și L. Pyatigorsky. Mechanics. (Fizica teoretică sub redactia generală a Prof. L.D. Landau, vol. I), Gostekhizdat, Moscova-Leningrad, 1940, UFN , 1946, vol.28 , numărul 2–3 , pp . 377–383 .
↑ Sivukhin D.V. Curs general de fizică. Mecanica. - M., Nauka, 1979. - Tiraj 50.000 exemplare. - Cu. 71-72
↑ R. F. Feynman Feynman Lecturi despre fizică. Volumul I. Știința modernă a naturii Legile mecanicii. - M .: Nauka, 1978. - S. 164.
↑ Bugaenko G. A., Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Fundamentele mecanicii clasice. - M .: Liceu, 1999. ISBN 5-06-003587-5 - Tiraj 3.000 exemplare. - S. 47.
↑ Sivukhin D.V. Curs general de fizică. Mecanica. - M., Nauka, 1979. - Tiraj 50.000 exemplare. - Cu. 94
↑ Sivukhin D.V. Curs general de fizică. Mecanica. - M., Nauka, 1979. - Tiraj 50.000 exemplare. - Cu. 199
↑ Zhirnov N. I. Mecanica clasică. - M., Educaţie, 1980. - p. 34-35
↑ R. Nevanlinna Spațiu, timp și relativitate. - M., Mir, 1966. - c. 202
↑ Tarasov V. N., Boyarkina I. V., Kovalenko M. V. Mecanica teoretică. - M., TransLit, 2012. - ISBN 978-5-94976-455-8 . - Cu. 254
↑ Savelyev I.V. Curs de fizică generală. T. 1. Mecanica. Fizica moleculară. — M.: Nauka, 1987. — S. 237.
↑ Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Fundamentele mecanicii clasice. - M .: Liceu, 1999. - S. 347. - ISBN 5-06-003587-5
↑ Kychkin I. S., Sivtsev V. I. Fizica școlară: a doua lege a lui Newton Copie de arhivă din 30 mai 2019 la Wayback Machine // Jurnalul Internațional de Educație Experimentală. - 2016. Nr 3-2. - S. 194-197.
↑ Butikov E. I., Bykov A. A., Kondratiev A. S. Fizica pentru solicitanții la universități. - M .: Nauka, 1982. - S. 544.
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Mecanica cuantică. - M., Nauka, 1972. - p. 76
↑ Sedov L.I. Metode de asemănare și dimensiune în mecanică. - M .: Gostekhteorizdat, 1954. - S. 21 - 28.
↑ Thomas Kuhn Structura revoluțiilor științifice . - M., AST, 2020. - ISBN 978-5-17-122824-8 . - Cu. 280-282
↑ Aizerman M.A. Mecanica clasica. - M .: Nauka, 1980. - Tiraj 17.500 exemplare. — p. 164-165
↑ Medvedev B.V. Începuturile fizicii teoretice. Mecanica, teoria câmpului, elemente de mecanică cuantică. - M .: Fizmatlit, 2007. - ISBN 978-5-9221-0770-9 - P. 38.
↑ Bugaenko G. A., Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Fundamentele mecanicii clasice. - M .: Liceu, 1999. - S. 247. - ISBN 5-06-003587-5

Link -uri

Gundlach JH, Schlamminger S., Spitzer CD, Choi K.-Y., Woodahl BA, Coy JJ, Fischbach E. Test de laborator al celei de-a doua legi a lui Newton pentru accelerații mici (engleză) . Fiz. Rev. Lett., voi. 98 . Societatea Americană de Fizică (13 aprilie 2007). Preluat la 7 aprilie 2017. Arhivat din original la 30 martie 2021.