Distribuție hiperexponențială

În teoria probabilității , distribuția hiperexponențială este o distribuție absolut continuă în care densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare este exprimată ca $X$

f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{Y_{i}}(y)p_{i},

unde este o variabilă aleatoare distribuită exponențial cu parametru și este probabilitatea ca X să aibă o distribuție exponențială cu parametru . Se numește distribuție hiperexponențială, deoarece coeficientul său de variație este mai mare decât coeficientul de variație al distribuției exponențiale (1) și distribuția hipoexponențială , în care coeficientul de variație este mai mic decât coeficientul de variație al distribuției exponențiale. Deși distribuția exponențială este un analog continuu al distribuției geometrice , distribuția hiperexponențială nu este analogul distribuției hipergeometrice . Distribuția hiperexponențială este un exemplu de distribuție de densitate mixtă. $Y_{i}$ $\lambda \,_{i)$ $p_{i}$ $\lambda \,_{i)$

Un exemplu de variabilă aleatoare distribuită conform legii hiperexponențiale poate fi găsit în telefonie : având în vedere un modem și un telefon, utilizarea unei linii telefonice poate fi modelată printr-o distribuție hiperexponențială cu o probabilitate dată de a vorbi la telefon p cu bitrate și o probabilitate de conectare prin modem q cu bitrate $\lambda \,_{1)$ $\lambda \,_{2}.$

Proprietăți ale distribuției hiperexponențiale

Deoarece așteptarea matematică a unei sume este suma așteptărilor matematice, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare distribuite hiperexponențial

E(X)=\int _{-\infty }^{\infty}xf(x)dx=p_{1}\int _{0}^{\infty }x\lambda \,_{1 }e^{-\lambda \,_{1}x}dx+p_{2}\int _{0}^{\infty }x\lambda \,_{2}e^{-\lambda \,_ {2}x}dx+\cdots +p_{n}\int _{0}^{\infty }x\lambda \,_{n}e^{-\lambda \,_{n}x}dx

=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda \,_{i}}}

și

E(X^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=p_{1}\int _{0}^{ \infty }x^{2}\lambda \,_{1}e^{-\lambda \,_{1}x}\,dx+p_{2}\int _{0}^{\infty }x ^{2}\lambda \,_{2}e^{-\lambda \,_{2}x}\,dx+\cdots +p_{n}\int _{0}^{\infty }x^{ 2}\lambda \,_{n}e^{-\lambda \,_{n}x}\,dx,

=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda \,_{i}^{2))}p_{i},

Funcția generatoare a momentelor

E(e^{tx})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)dx=p_{1}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda \,_{1}e^{-\lambda \,_{1}x}dx+p_{2}\int _{0}^{\infty }e^{tx} \lambda \,_{2}e^{-\lambda \,_{2}x}dx+\cdots +p_{n}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda \, _{n}e^{-\lambda \,_{n}x}dx

=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda \,_{i)}{\lambda _{i}-t))p_{i}.

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă