Distribuție Weibull

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 octombrie 2013; verificările necesită 44 de modificări .

Distribuție Weibull
Probabilitate densitate
funcția de distribuție
Desemnare	$\mathrm{W}(k,\lambda)$
Opțiuni	$\lambda >0$ - factor de scară , - factor de formă $k>0$
Purtător	$x\in [0;+\infty )$
Probabilitate densitate	$(k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}$
funcția de distribuție	$1-e^{-(x/\lambda)^k}$
Valorea estimata	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k)}\right)$
Median	$\lambda \ln(2)^{1/k)$
Modă	$\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k))}{k^{\frac{1}{k))},$ pentru $k>1$
Dispersia	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$
Coeficient de asimetrie	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3} {\sigma^3}$
Coeficientul de kurtoză	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac 4k}\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+{\frac 3k}\right) +6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac 2k}\right)-3\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$
Entropia diferenţială	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k +\ln\left(\frac{\ lambda}{k}\dreapta)$
Funcția generatoare a momentelor	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!)}}\Gamma (1+n/k),\k \ geq 1$
functie caracteristica	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$

Distribuția Weibull în teoria probabilității este o familie cu doi parametri de distribuții absolut continue . Numit după Waloddy Weibull , care a descris-o în detaliu în 1951, deși a fost definit pentru prima dată de Fréchet în 1927 și a fost aplicat încă din 1933 pentru a descrie distribuția dimensiunilor particulelor.

Definiție

Fie distribuția unei variabile aleatoare dată de densitatea având forma: $X$ $f_{X}(x)$

f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-\left (\frac{x}{\lambda}\right)^k} și x \ge 0 \\ 0 și x < 0 \end{matrix} \right..

Apoi spunem că are o distribuție Weibull. Scrie: . $X$ $X\sim \mathrm {W} (k,\lambda )$

Dacă valoarea lui X este luată ca timp până la eșec , atunci se obține o distribuție în care rata de eșec este proporțională cu timpul. Apoi:

k < 1 arată că rata de eșec scade cu timpul
k = 1 arată că rata de eșec nu se modifică în timp
k > 1 arată că rata de eșec crește în timp

În știința materialelor, coeficientul k este cunoscut sub numele de modul Weibull.

Proprietăți

Funcția de densitate

Forma funcției de densitate Weibull depinde puternic de valoarea lui k . Pentru 0 < k < 1, densitatea tinde spre infinit pe măsură ce și scade strict. Pentru k = 1, densitatea tinde spre 1/λ pe măsură ce și scade strict. Pentru k > 1, densitatea tinde spre 0 la , crește până când ajunge la modul său și scade după. Este interesant de observat că densitatea are o pantă negativă infinită la x = 0 pentru 0 < k < 1 , o pantă pozitivă infinită la x = 0 pentru 1 < k < 2 și o pantă zero la x = 0 pentru k > 2. Pentru k = 2 densitatea are o pantă pozitivă finită la x = 0. La , distribuția Weibull converge către o funcție delta centrată pe x = λ . În plus, coeficientul de asimetrie și coeficientul de variație depind doar de coeficientul de formă. $x\la 0+$ $x\la 0+$ $x\la 0+$ $k\to \infty$

Funcția de distribuție

Funcția de distribuție Weibull:

F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k))

pentru x ≥ 0 și F(x; k; λ) = 0 pentru x < 0

Cuantila de distribuție Weibull :

Q(p;k,\lambda )=\lambda {(-\ln(1-p))}^{1/k)

pentru 0 ≤ p < 1.

Rata de esec h :

h(x;k,\lambda)={k \over \lambda}\left({x \over \lambda}\right)^{k-1}.

Momente

Funcția generatoare a momentelor logaritmului unei variabile aleatoare cu distribuția Weibull

\mathbb {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k))+1\right),

unde Γ este funcția gamma . În mod similar, funcția caracteristică a logaritmului lui X este dată de

\mathbb {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k))+1\right).

Momentele unei variabile aleatoare cu distribuție Weibull au forma $X$

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \lambda^n \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\right)

, unde este funcția gamma ,

\Gamma

Unde

\mathbb{E}[X] = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)

\mathrm{D}[X] = \lambda^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{ k}\dreapta)\dreapta]

Coeficientul de asimetrie este dat de funcție

\gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k)}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2} -\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}

Coeficientul de kurtoză

\gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{ 2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{ 2}}},

unde , se mai poate scrie: $\Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)$

\gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k))} -4\gamma _{1}\sigma ^{3} \mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3

Funcția generatoare a momentelor

Există multe expresii pentru funcția generatoare de moment în sine. $X$

\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{ n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).

De asemenea, puteți lucra direct cu integrala

\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left( {\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.

Dacă se presupune că coeficientul k este un număr rațional , exprimat ca k = p/q , unde p și q sunt numere întregi, atunci integrala poate fi calculată analitic. [1] Cu t înlocuit cu -t , obținem

\mathbb {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k))}\,{\frac {p ^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\, q,p}\!\left(\left.{\begin{matrice}{\frac {1-k}{p)),{\frac {2-k}{p)),\dots ,{\frac {pk}{p))\\{\frac {0}{q)),{\frac {1}{q)),\dots ,{\frac {q-1}{q))\end{matrice }}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right ),

unde G este funcția G Meyer.

Entropia informațională

Entropia informației este dată în acest fel

H(\lambda,k)=\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k))\right)+\ln \left({\frac {\lambda}} }}\dreapta)+1,

unde este constanta Euler-Mascheroni . $\gamma$

Estimarea coeficienților

Probabilitate maximă

Estimarea de probabilitate maximă pentru coeficient $\lambda$

{\hat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}

Pentru $k$

{\hat {k}}^{-1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}

Funcția de fiabilitate Weibull condiționată

Pentru o distribuție Weibull cu 2 parametri, funcția are forma:

R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)))={\frac {e^{-\left({\frac {T+t}{\ lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T}{\lambda }}\right)^{k}}}}

R(t|T)=e^{-\left[\left({\frac {T+t}{\lambda }}\right)^{k}-\left({\frac {T} {\lambda }}\right)^{k}\right]}

Pentru 3 parametri:

R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)))={\frac {e^{-\left({\frac {T+t-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}}

Se numește condițional deoarece arată probabilitatea ca obiectul să funcționeze mai mult timp , cu condiția ca acesta să fi funcționat deja . $t$ $T$

Weibull plot

Datele de distribuție Weibull pot fi evaluate vizual folosind un diagramă Weibull [2] . Acesta este un grafic de tip QQ al unei funcții de distribuție a eșantionului cu axe speciale. Axe - și Motivul modificării variabilelor este că eșantionul de funcție de distribuție Weibull poate fi reprezentat într-o formă liniară $\ln(-\ln(1-{\hat {F))(x))}$ $\ln(x)$

{\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k))\\-\ln(1-F(x))&=(x/ \lambda )^{k}\\\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{ \textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}

Prin urmare, dacă datele provin dintr-o distribuție Weibull, se poate aștepta o linie dreaptă pe diagrama Weibull.

Există multe modalități de a obține funcția de distribuție a eșantionului din date: o metodă este de a obține coordonatele verticale a fiecărui punct folosind , unde este rangul punctului de date și este numărul total de puncte. [3] ${\hat {F}}={\frac {i-0,3}{n+0,4}}$ $i$ $n$

Utilizare

Distribuția Weibull este utilizată:

În analiza supraviețuirii
În Analiza Fiabilității și Eșecurilor
În inginerie electrică , pentru a reprezenta supratensiunea care apare în circuitele electrice
În inginerie industrială
În teoria valorii extreme

În prognoza meteo
- Pentru a descrie distribuția vitezei vântului ca o distribuție care coincide de obicei cu distribuția Weibull în energia eoliană
În sistemele radar pentru modelarea dispersiei nivelului semnalului recepţionat creat de unele tipuri de dezordine
În modelarea decolorării semnalului în comunicațiile fără fir
În prezicerea schimbărilor tehnologice
În hidrologie , distribuția Weibull este aplicabilă evenimentelor extreme, cum ar fi precipitațiile anuale într-o zi sau inundarea unui râu. Figura arată o astfel de potrivire, precum și un interval de încredere de 90% bazat pe distribuția binomială .
În descrierea dimensiunii particulelor obținute prin zdrobire, măcinare sau zdrobire
Datorită accesibilității utilizate în foile de calcul , atunci când comportamentul de bază este de fapt mai bine descris de distribuția Erlang

Relația cu alte distribuții

Distribuția obișnuită Weibull, prin schimbarea variabilei, se reduce la distribuția gamma .
Distribuție Weibull cu 3 parametri. Are functie de densitate

f(x;k,\lambda,\theta)={k \over \lambda}\left({x-\theta \over \lambda}\right)^{k-1}e^{-( {x-\theta \over \lambda })^{k}}

unde și f ( x ; k , λ, θ) = 0 pentru x < θ, unde este factorul de formă, este factorul de scară și este factorul de schimbare a distribuției . Când θ=0, se reduce la o distribuție Weibull cu 2 parametri. $x\geq \theta$ $k>0$ $\lambda >0$ $\theta$

Distribuție Weibull cu 1 parametru. Este derivat presupunând și : $\theta=0$ $k=C=constant$

f(t)={\frac {C}{\lambda }}\left({\frac {t}{\lambda }}\right)^{C-1}e^{-\left({ \frac {t}{\lambda }}\right)^{C}}

Distribuția Weibull poate fi obținută în funcție de exponențialul .

Dacă este o distribuție exponențială pentru parametru , atunci variabila aleatoare are distribuția Weibull . Pentru demonstrație, luați în considerare funcția de distribuție : $X$ $\operatorname {Exp} (\lambda )$ $\lambda$ $Y=X^{1/k}~(k>0)$ $\operatorname {W} (\lambda ^{1/k},k)$ $Y$

$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X^{1/k}\leq y)=P(X\leq y^{k})=1-e^{ -\lambda \cdot y^{k}}=1-e^{-(\lambda ^{1/k}\cdot y)^{k}},~y>0$

Funcția rezultată este funcția de distribuție pentru distribuția Weibull.

Metoda de transformare inversă : dacă , atunci $U\sim \mathrm {U} (0,1)$

\lambda \left(-\ln U\right)^{1/k} \sim \mathrm{W}(k,\lambda)

Cu distribuția Fréchet: dacă , atunci . $\mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha,\lambda =m)$ ${\tfrac {m^{2}}{\mathrm {X} }}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha,s,m)$
Cu distribuția Gumbel: dacă , atunci . $\mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}$ $\log(X)\sim {\textrm {Gumbel}}$
Distribuția Rayleigh este un caz special al distribuției Weibull pentru și [4] $k=2$ $\lambda ={\sqrt {2}}\sigma$
Distribuția Weibull este un caz special al distribuției generalizate a valorilor extreme [5]
Pentru prima dată, distribuția Weibull a fost aplicată pentru a descrie distribuția mărimii particulelor. A fost utilizat pe scară largă în prelucrarea mineralelor în timpul măcinarii . În acest context

functia de distributie are forma

f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{ln\left(0,2\right)\left({\frac {x}{P_{ \rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}

Unde

X

: Dimensiunea particulelor

P_{\rm {80}}

: percentila 80 de distribuție a dimensiunii particulelor

m

: Coeficient care descrie intervalul de distribuție

Note

↑ Vezi ( Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004 ) pentru cazul întregului k și ( Sagias & Karagiannidis 2005 ) pentru cazul rațional.
↑ Weibull plot . Data accesului: 20 septembrie 2015. Arhivat din original la 25 martie 2008. (nedefinit)
^ Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis . Wiley-Blackwell ISBN 0-471-64462-5
↑ Rayleigh Distribution - MATLAB & Simulink - MathWorks Australia . Consultat la 21 septembrie 2015. Arhivat din original la 12 octombrie 2014. (nedefinit)
↑ Organizația Mondială de Meteorologie. Ghid de practica hidrologica. - 6. - Elveția, 2012. - V. 2. - S. 165. - ISBN 978-92-63-40168-7 ..

Literatură

Fréchet, Maurice (1927), Sur la loi de probabilité de l'écart maximum, Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Cracovie T. 6: 93–116 .
Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel & Balakrishnan, N. (1994), Distribuții univariate continue. Vol. 1 (ed. a 2-a), Seria Wiley în probabilitate și statistică matematică: probabilitate aplicată și statistică, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-58495-7
Muraleedharan, G.; Rao, AD; Kurup, PG & Nair, N. Unnikrishnan (2007), Modified Weibull Distribution for Maximum and Significant Wave Height Simulation and Prediction , Coastal Engineering vol. 54(8): 630–638 , doi 10.1016/j.coastaleng.2007.05.001
Muraleedharan, G. & Soares, CG (2014), Funcții caracteristice și generatoare de momente ale distribuțiilor Pareto generalizate (GP3) și Weibull , Journal of Scientific Research and Reports vol . 3 (14): 1861–1874 , DOI 10.9734/JSRR/2014 /10087 .
Rosin, P. & Rammler, E. (1933), The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal, Journal of the Institute of Fuel vol . 7: 29–36 .
Sagias, Nikos C. & Karagiannidis, George K. (2005), Distribuții Weibull multivariate de clasă Gaussian: teorie și aplicații în canalele de decolorare , Institutul de Ingineri Electrici și Electronici. Transactions on Information Theory vol. 51 (10): 3608–3619, ISSN 0018-9448 , doi : 10.1109/TIT.2005.855598 , < http://pelopas.uop.gr/~nsagias/Files/Papers/Journals/20005s J4_2005.pdf > (link indisponibil)
Weibull, W. (1951), A statistical distribution function of wide applicability , J. Appl. Mech.-Trans. ASME T. 18(3): 293–297 , < http://www.barringer1.com/wa_files/Weibull-ASME-Paper-1951.pdf > .
Manual de statistici de inginerie . Institutul Național de Standarde și Tehnologie (2008). (nedefinit)
Nelson, Jr., Ralph Dispersing Powders in Liquids, Partea 1, Cap 6: Particle Volume Distribution (5 februarie 2008). Consultat la 5 februarie 2008. Arhivat din original pe 13 februarie 2008. (nedefinit)
Levin B.R. Manual de fiabilitate. — Manual de fiabilitate / Ed. Levina B.R., în 3 volume, V.1. M.: Mir, 1969, 339 p. - M.: Mir, 1969. - S. 176. - 339 p.
J. Cheng, C. Tellambura și N. C. Beaulieu Analiza performanței modulațiilor digitale pe canalele de fading Weibull / Proc. IEEE Veh. Tehnol. Conf. 2004.

Link -uri

Exemple de diagrame ale funcției de distribuție Weibull
Distribuție Weibull
Complotul Weibull
Trasarea distribuției Weibull în excel (rusă)

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă