Distribuția Tracy-Widom

Distribuția Tracy-Widom este o distribuție statistică introdusă de Craig Tracy și Harold Widom pentru a descrie cea mai mare valoare proprie normalizată a unei matrice hermitiene aleatoare [1] .

În termeni aplicați, distribuția Tracy-Widom este o funcție de tranziție între două faze ale sistemului: cu componente slab cuplate și puternic cuplate [2] . De asemenea, apare ca o distribuție a lungimii celei mai mari subsecvențe crescătoare de permutări aleatoare [3] , în fluctuațiile fluxului unui proces asimetric cu excepții simple (ASEP) cu o condiție inițială în trepte [4] [5] , și în modelele matematice simplificate ale comportamentului în cele mai mari subsecvențe de probleme comune ale intrărilor aleatoare [6] [7] .

Distribuția F 1 este deosebit de interesantă din punctul de vedere al statisticii multivariate [8] [9] [10] [11] .

Definiție

Distribuția Tracy-Widom este definită ca limită [12]

F_{\beta }(s)=\lim \limits _{{n\rightarrow \infty }}{{\rm {Prob}}}\left((\lambda _{{{\rm {max}}}} -{\sqrt {2n)))({\sqrt {2}})n^{{1/6}}\leq s\right){\mbox{,}}

unde este cea mai mare valoare proprie a unei matrice aleatoare a unui standard (pentru componentele matricei ) Ansamblu gaussian : pentru β=1 - ortogonal, pentru β=2 - unitar, pentru β=4 - simplectic. Decalajul este utilizat pentru a centra distribuția în punctul 0. Multiplicatorul este utilizat deoarece abaterea standard a distribuției este scalată ca . $\lambda _{{{\rm {max))))$ $n\ ori n$ $\sigma =1/{\sqrt 2}$ ${\sqrt {2n}}$ $({\sqrt {2}})n^{{1/6}}$ $n^{{-1/6}}$

Reprezentări echivalente

Funcția de distribuție Tracy-Widom cumulată pentru ansambluri unitare ( ) poate fi reprezentată ca determinant Fredholm $\beta=2$

F_{2}(s)=\det(I-A_{s})

operator pe o funcție pătrat-integrabilă pe raza cu un nucleu în termeni de funcții Airy în termeni de $La fel de$ $(s,\infty )$ ${\mathrm {Ai}}$

{\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} „(y)-\mathrm {Ai} „(x)\mathrm {Ai} (y)}{xy)).

Poate fi reprezentat și ca o integrală

F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(xs)q^{2}(x)\,dx\right)

prin soluția ecuației Painlevé II

q^{{\prime \prime }}(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,{\mbox{,}}

unde , numită soluție Hastings–McLeod, satisface condițiile la limită: $q$

\displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\rightarrow \infty .

Alte distribuții Tracy-Widom

Distribuțiile Tracy-Widom pentru ambele ansambluri ortogonale ( ) și simplectice ( ) sunt de asemenea exprimabile în termenii transcendentului Painlevé [13] : $F_{1}$ $F_{4}$ $\beta=1$ $\beta=4$ $q$

F_{1}(s)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left( F_{2}(e)\dreapta)^{{1/2}}

și

F_{4}(s/{\sqrt {2}})={\mathrm {ch}}\left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x )\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{{1/2}}.

Există o extindere a acestei definiții la cazuri pentru toți [14] . $F_{\beta }$ $\beta>0$

Aproximații numerice

Metodele numerice pentru obținerea soluțiilor aproximative ale ecuațiilor Painlevé II și Painlevé V și a distribuțiilor determinate numeric ale valorilor proprii ale matricelor aleatoare în ansambluri beta au fost prezentate pentru prima dată în 2005 [15] (folosind MATLAB ). Aceste metode aproximative au fost ulterior rafinate analitic [16] și sunt folosite pentru a obține analize numerice ale distribuțiilor Painlevé II și Tracy-Widom (pentru ) în S-PLUS . Aceste distribuții au fost tabulate [16] la patru cifre semnificative prin valori de argument cu un pas de 0,01; lucrarea a inclus, de asemenea, un tabel statistic al valorilor p . În 2009 [17] , algoritmi exacti și rapidi pentru determinarea numerică și funcțiile de densitate pentru . Acești algoritmi pot fi utilizați pentru a calcula numeric media , varianța , asimetria și curtoza distribuțiilor . $\beta=1,2,4$ $F_{\beta }$ $\textstyle f_{\beta }(s)={dF_{\beta } \over ds}$ $\beta=1,2,4$ $F_{\beta }$

β	In medie	Dispersia	Coeficient de asimetrie	Exces
unu	−1,2065335745820	1.607781034581	0,29346452408	0,1652429384
2	−1,771086807411	0,8131947928329	0,224084203610	0,0934480876
patru	−2,306884893241	0,5177237207726	0,16550949435	0,0491951565

Funcțiile pentru lucrul cu legile Tracy-Widom sunt de asemenea furnizate în pachetul pentru R RMTstat [18] și în pachetul pentru MATLAB RMLab [19] .

De asemenea, a fost calculată o aproximare simplă bazată pe distribuțiile gamma părtinitoare [20] .

Note

^ Dominici , D. (2008) Special Functions and Orthogonal Polynomials American Math. soc.
↑ Legea statistică misterioasă poate avea în sfârșit o explicație . wired.com (27 octombrie 2014). Consultat la 30 septembrie 2017. Arhivat din original la 17 iulie 2017. (nedefinit)
↑ Baik, Deift & Johansson (1999) .
↑ Johanson, 2000 .
↑ Tracy, Widom, 2009 .
↑ Majumdar & Nechaev (2005) .
↑ A se vedea Takeuchi & Sano, 2010 , Takeuchi et al., 2011 pentru o verificare experimentală (și confirmare) că fluctuațiile interfeței unei picături (sau baze) în creștere sunt descrise de distribuția Tracy-Widom (sau ) așa cum este prezis în ( Prähofer & Spohn, 2000 ) $F_{2}$ $F_{1}$
↑ Johnstone, 2007 .
↑ Johnstone, 2008 .
↑ Johnstone, 2009 .
↑ Pentru o discuție despre universalitate , vezi Deift (2007 ). Pentru apendicele F 1 pentru deducerea structurii populației din datele genetice, a se vedea Patterson, Price & Reich (2006 ) $F_{\beta }$ $\beta=1,2,4$
↑ Tracy, CA & Widom, H. (1996), On orthogonal and simplectic matrix ensembles , Communications in Mathematical Physics vol . ,10.1007/BF02099545:doi 177(3): 727–754, > Arhivat 20 decembrie 2014 la Wayback Machine
↑ Tracy, Widom, 1996 .
↑ Ramírez, Rider & Virág (2006) .
↑ Edelman & Persson (2005) .
↑ 12 Bejan , 2005 .
↑ Bornemann, 2010 .
↑ Johnstone și colab. (2009) .
↑ Dieng, 2006.
↑ Chiani, 2012 .

Literatură

Dotsenko V. S. Aleatorie universală // Fiz . - 2011. - T. 181 , nr 3 . - doi : 10.3367/UFNr.0181.201103b.0269 .
Baik, J.; Deift, P. & Johansson, K. (1999), Despre distribuția lungimii celei mai lungi subsecvențe crescătoare de permutări aleatorii , Journal of the American Mathematical Society vol. 12 (4): 1119–1178 , DOI 10.1090/S0894- 0347-99-00307-0 .
Deift, P. (2007), Universality for mathematical and physical systems , International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006) , European Mathematical Society , p. 125–152 .
Johansson, K. (2000), Shape fluctuations and random matrices , Communications in Mathematical Physics vol. 209 (2): 437–476 , DOI 10.1007/s002200050027 .
Johansson, K. (2002), Toeplitz determinants, random growth and determinantal processes , Proc. Congresul Internațional al Matematicienilor (Beijing, 2002) , vol. 3, Beijing: Ed. superioară. Apăsați, p. 53–62 .
Johnstone, I.M. (2007), High dimensional statistical inference and random matrices , International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006) , European Mathematical Society , p. 307–333 .
Johnstone, IM (2008), Analiza multivariată și ansambluri Jacobi: cea mai mare valoare proprie, Tracy–Widom limits and rates of convergence , Annals of Statistics vol. 36 (6): 2638–2716, PMID 20157626 , DOI 10.1214/08-AOS605- .
Johnstone, IM (2009), Distribuția nulă aproximativă a celei mai mari rădăcini în analiza multivariată , Annals of Applied Statistics vol . 3 (4): 1616–1633, PMID 20526465 , DOI 10.1214/08-AOAS220 .
Majumdar, Satya N. & Nechaev, Sergei (2005), Rezultate asimptotice exacte pentru modelul de potrivire Bernoulli de aliniere a secvenței , Physical Review E T. 72 (2): 020901, 4 , DOI 10.1103/ PhysRevE.72.020901
Patterson, N.; Price, AL & Reich, D. (2006), Population structure and eigenanalysis , PLoS Genetics vol . 2 (12): e190, PMID 17194218 , DOI 10.1371/journal.pgen.0020190 .
Prähofer, M. & Spohn, H. (2000), Universal distributions for growing processes in 1+1 dimensions and random matrices , Physical Review Letters vol. 84 (21): 4882–4885, PMID 10990822 , DOI 10.1103/PhysRev.48828. .
Takeuchi, KA & Sano, M. (2010), Universal fluctuations of growing interfaces: Evidence in turbulent liquid crystals , Physical Review Letters vol. 104 (23): 230601, PMID 20867221 , DOI 10.1103/PhysRev.Lett.2061041.
Takeuchi, K.A.; Sano, M.; Sasamoto, T. & Spohn, H. (2011), Growing interfaces uncover universal fluctuations behind scale invariance , Scientific Reports vol . 1: 34 , DOI 10.1038/srep00034
Tracy, CA & Widom, H. (1993), Level-spacing distributions and the Airy kernel , Physics Letters B vol . 305(1-2): 115–118
Tracy, CA & Widom, H. (1994), Level-spacing distributions and the Airy kernel , Communications in Mathematical Physics vol. 159 (1): 151–174 , DOI 10.1007/BF02100489 .
Tracy, CA & Widom, H. (2002), Funcții de distribuție pentru cele mai mari valori proprii și aplicațiile lor , Proc. Congresul Internațional al Matematicienilor (Beijing, 2002) , vol. 1, Beijing: Ed. superioară. Apăsați, p. 587–596 .
Tracy, CA & Widom, H. (2009), Asymptotics in ASEP with step initial condition , Communications in Mathematical Physics vol. 290 (1): 129–154 , DOI 10.1007/s00220-009-0761-0 .
Bejan, Andrei Iu. (2005), Cele mai mari valori proprii și matrice de covarianță eșantion. Tracy–Widom și Painleve II: Aspecte computaționale și realizarea în S-Plus cu aplicații , M.Sc. disertație, Departamentul de Statistică, Universitatea din Warwick , < http://www.cl.cam.ac.uk/~aib29/TWinSplus.pdf > .
Bornemann, F. (2010), On the numerical evaluation of distributions in random matrix theory: A review with an invitation to experimental mathematics, Markov Processes and Related Fields vol. 16 (4): 803–866 .
Chiani, M. (2012), Distribuția celei mai mari valori proprii pentru matrice aleatoare Wishart și Gaussian reale și o aproximare simplă pentru distribuția Tracy-Widom .
Edelman, A. & Persson, P.-O. (2005), Metode numerice pentru distribuțiile de valori proprii ale matricilor aleatoare .
Ramirez, JA; Rider, B. & Virág, B. (2006), Ansambluri beta, spectru stocastic Airy și o difuzie .

Link -uri

Kuijlaars, Universalitatea funcțiilor de distribuție în teoria matricei aleatoare , < http://web.mit.edu/sea06/agenda/talks/Kuijlaars.pdf > .
Tracy, CA & Widom, H. , Distribuțiile teoriei matricelor aleatoare și aplicațiile lor , < http://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/SITE7.pdf > .
Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick & Shahram, Morteza (2009), Pachetul „RMTstat” , < http://cran.r-project.org/web/packages/RMTstat/RMTstat.pdf > .
Revista Quanta: La capătul îndepărtat al unei noi legi universale

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă