Ipoteza Bateman-Horn

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 28 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Conjectura Bateman-Horn este o afirmație teoretică a numerelor referitoare la frecvența primelor dintre valorile unui sistem de polinoame . Formulat de Paul Bateman și Roger Horn în 1962. Este o generalizare a conjecturii Hardy-Littlewood despre densitatea primelor gemene și a presupunerii despre numerele prime de forma n 2 + 1; şi este, de asemenea, o întărire a ipotezei H .

Definiție

Ipoteza Bateman-Horn prevede[ clarificați ] densitatea presupusă a numerelor întregi pozitive astfel încât toate polinoamele date au valori prime. Pentru o mulțime de m polinoame ireductibile distincte ƒ 1 , …, ƒ m cu coeficienți întregi, o condiție evidentă necesară pentru ca polinoamele să genereze simultan valori prime la infinit de des este ca ele să satisfacă proprietatea Bunyakovsky , că nu există un număr prim p care împarte produsul lor f ( n ) la fiecare număr întreg pozitiv n . Căci dacă ar exista un astfel de număr prim p , atunci a avea toate valorile polinomiale în același timp prime pentru un dat n ar însemna că cel puțin unul dintre ele trebuie să fie egal cu p , ceea ce se poate întâmpla numai pentru un număr finit de valori ale n , în caz contrar, va exista un polinom cu numărul infinit de rădăcini, în timp ce conjectura este cum se specifică condițiile în care valorile sunt simultan prime pentru un număr infinit n .

Un număr întreg n este un prim generator pentru un sistem dat de polinoame dacă fiecare polinom ƒ i ( n ) produce un număr prim atunci când este dat n ca argument. Dacă P ( x ) este numărul de numere întregi care generează numere prime între numerele întregi pozitive mai mici decât x , atunci conjectura Bateman-Horn afirmă că

P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\log t)^{m}}},\,

unde D este produsul puterilor polinoamelor și C este produsul primelor p .

C=\prod _{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m))}\

cu numarul de solutii pt $N(p)$

f(n)\equiv 0{\pmod {p)).\

Proprietatea lui Bunyakovsky implică pentru toate numerele prime p , deci fiecare factor din produsul infinit C este pozitiv. Atunci ne-am aștepta intuitiv ca constanta C să fie ea însăși pozitivă și, cu ceva muncă, acest lucru poate fi dovedit. (Este nevoie de muncă deoarece unele produse infinite ale numerelor pozitive sunt zero.) $N(p)<p$

Numerele negative

După cum sa menționat mai sus, conjectura este falsă: singurul polinom ƒ 1 ( x ) = − x dă numere negative numai atunci când este dat un argument pozitiv, astfel încât proporția de numere prime între valorile sale este întotdeauna zero. Există două modalități la fel de valide de a rafina ipoteza pentru a evita această dificultate:

Se poate cere ca toate polinoamele să aibă coeficienți conducători pozitivi, astfel încât doar un număr constant al valorilor lor să poată fi negativ.
Alternativ, se pot permite coeficienți conducători negativi, dar se consideră un număr prim negativ dacă valoarea sa absolută este primă.

Este rezonabil să se permită ca numerele negative să fie considerate prime ca un pas către formularea unor ipoteze mai generale aplicabile altor sisteme numerice decât numerelor întregi, dar în același timp este ușor să negați polinoamele pur și simplu și, dacă este necesar, să reduceți la cazul în care coeficienții conducători sunt pozitivi.

Exemple

Dacă sistemul de polinoame constă dintr-un singur polinom ƒ 1 ( x ) = x , atunci valorile lui n pentru care ƒ 1 ( n ) sunt numere prime sunt ele însele numere prime, iar conjectura devine o reformulare a numărului prim teorema .

Dacă sistemul de polinoame este format din două polinoame ƒ 1 ( x ) = x și ƒ 2 ( x ) = x + 2, atunci valorile lui n pentru care atât ƒ 1 ( n ) și ƒ 2 ( n ) sunt prime numere, atunci acesta este pur și simplu cel mai mic dintre cele două numere prime din fiecare pereche de gemeni . În acest caz, conjectura Bateman-Horn se reduce la conjectura Hardy-Littlewood asupra densității primelor gemene, conform căreia numărul de perechi de prime gemene mai mic decât x este

\pi _{2}(x)\sim 2\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2)}}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\aproximativ 1,32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.

Un analog pentru polinoame peste un câmp finit

Când numerele întregi sunt înlocuite cu inelul polinomial F [ u ] pentru un câmp finit F , se poate întreba cât de des mulțimea finită de polinoame f i ( x ) din F [ u ][ x ] ia simultan valori ireductibile în F [ u ] când înlocuim x elemente ale lui F [ u ]. Analogiile binecunoscute între numere întregi și F [ u ] oferă un analog al conjecturei Bateman-Horn despre F [ u ], dar analogul este greșit. De exemplu, datele arată că polinomul

x^{3}+u\,

în F 3 [ u ][ x ] ia (asimptotic) numărul așteptat de valori ireductibile atunci când x trece prin polinoame în F 3 [ u ] de grad impar , dar pare să ia (asimptotic) de două ori mai multe valori ireductibile cum era de așteptat atunci când x rulează peste polinoame de gradul 2 modulo 4, în timp ce (probabil) nu ia deloc valori ireductibile atunci când x rulează peste polinoame neconstante cu gradul divizibil cu 4. Un analog al conjecturei Bateman-Horn despre F [ u ] , care corespunde datelor numerice , folosește un factor asimptotic suplimentar care depinde de valoarea lui d modulo 4 , unde d este gradul polinoamelor din F [ u ] peste care x este eșantionat .

Link -uri

Bateman Paul Trevier, Horne Roger Alan (1962), A heuristic asymptotic formula for the distribution of primes , Mathematics of Computing V. 16 (79): 363–367 , DOI 10.2307/2004056
Guy, Richard Kennett (2004), Probleme nerezolvate în teoria numerelor (ed. a treia), Springer Publishing , ISBN 978-0-387-20860-2
Friedlander John, Granville Andrew (1991), Constraints on the Uniform Distribution of Primes. IV. , Proceedings of the Royal Society A T. 435 (1893): 197–204 , doi 10.1098/rspa.1991.0138 .
Soren Laing Aletia-Zomlefer, Lenny Fukshsky, Stefan Ramon Garcia (25 iulie 2018), O SINGURĂ IPOTEZE PENTRU A-I CONTROLA PE TOȚI: BATEMAN–HORN , p. 1–45

Ipoteze despre numere prime
Ipoteze	Hardy - Littlewood Ago - Jugi Andritsy Artina Ipoteza Bateman-Horn Brocard Bunyakovsky Ipoteza chineză Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Probleme Landau Goldbach Legendre Numerele gemene Legendre constantă Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond - Sunya Ipoteza H Waringa