Matrice de identitate

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Matricea de identitate este o matrice pătrată , ale cărei elemente ale diagonalei principale sunt egale cu unitatea de câmp , iar restul sunt egale cu zero.

Definiție

O matrice pătrată de mărime (ordine) , unde pentru orice , și pentru orice , se numește matrice de identitate de ordin [1] . $E_{n}=(e_{{ij}})$ $n$ $e_{{ii}}=1$ $i\in \overline {1,n}$ $e_{{ij}}=0$ $i\neq j$ $n$

Matricea de identitate poate fi definită și ca o matrice pentru care , unde este simbolul Kronecker [1] . $(e_{{ij}})$ $e_{{ij}}=\delta _{{ij}}$ $\delta _{{ij}}$

Matricea de identitate este un caz special al matricei scalare .

Denumire

Matricea de identitate a dimensiunii este de obicei notată ca: $n\ ori n$ $E_{n}$

E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix)),

Se mai folosește o altă notație: . $În}$

Dacă din context este clar ce dimensiune are matricea, atunci indicele (care indică ordinea) este omis: , [1] . $E$ $eu$

Proprietăți

Produsul oricărei matrice și o matrice de identitate de dimensiune adecvată este egal cu matricea în sine [1] :

AE=EA=A

O matrice pătrată la puterea zero dă o matrice de identitate de aceeași dimensiune [1] :

A^{0}=E

La înmulțirea unei matrice cu inversul ei , se obține și matricea de identitate [2] :

AA^{-1}=A^{-1}A=E

Matricea de identitate se obține prin înmulțirea unei matrice ortogonale cu matricea ei transpusă [3] :

AA^{T}=E

Determinantul matricei de identitate este egal cu unu:

{\mathrm {det}}\,E=1

Exemple

Matricele de identitate de ordinul întâi au forma

E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix)),\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),\ E_{3}={\ începe{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

Note

↑ 1 2 3 4 5 Gantmakher, 1966 , p. 24.
↑ Gantmakher, 1966 , p. 27.
↑ Gantmakher, 1966 , p. 238.

Literatură

Gantmakher, F. R. Teoria matricei. - Ed. a II-a, suplimentar .. -M .:Nauka, 1966. - 576 p.
Vezi Referințe pentru algebră liniară

Vezi și

Matrice zero

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte