Echidnaedrul

Echidnaedrul
Grupul de simetrie	Icosaedric ( I h )
Tip de	icosaedru stelat
Notaţie	Du Val: H Wenninger : W 42
Elemente (sub formă de poliedru stea)	G = 20, P = 90 V = 60 ( χ = −10)
Elemente (în formă de icosaedru al constelației)	G = 180, P = 270 V = 92 ( χ = 2)
Proprietăți (ca poliedru stea)	Vertex-tranzitiv , margine-tranzitiv
Echidnaedrul eneagramei Miezul unui poliedru stelar carcasă convexă icosaedru Icosaedru trunchiat

Echidnahedron ( ing.  echidnahedron ) este ultima stelare a icosaedrului [1] [2] , numită și forma completă sau finală a icosaedrului, deoarece include toate celulele diagramei de stelare icosaedrului.

Echidnaedrul a fost descris pentru prima dată de Max Brückner în 1900. Denumirea de echidnaedru a fost dată de Andrew Hume, bazându-se pe faptul că unghiurile sale solide la vârfuri sunt mici și acest lucru îl face să arate ca un arici înțepător sau echidna [3] .

Prezentare

Pe baza analizei literaturii științifice de către Branko Grünbaum în articolul „Poate fiecare plan al unui poliedru să aibă mai multe laturi?” („Orice față a unui poliedru poate avea mai multe laturi?”) notează că există cel puțin trei metode diferite de vizualizare a poliedrelor. În cazul echidnaedrului, acestea sunt:

• unirea a 180 de fete triunghiulare;
• intersecția a 20 de fețe care se autointersectează - eneagrame ;
• intersecția poligoanelor stele cu 18 gon [4] .

În forma icosaedrului constelației

La fel ca suprafața simplă, vizibilă a unui poliedru, forma exterioară a echidnaedrului este formată din 180 de fețe triunghiulare care formează 270 de muchii, care la rândul lor se întâlnesc la 92 de vârfuri [5] .

Toate vârfurile echidnaedrului se află pe suprafața a trei sfere concentrice. Grupul interior de 20 de vârfuri formează vârfurile unui dodecaedru regulat ; următorul strat de 12 vârfuri formează vârfurile unui icosaedru regulat ; iar stratul exterior de 60 de vârfuri formează vârfurile unui icosaedru trunchiat [6] .

Învelișuri convexe ale fiecărei sfere de vârfuri

Intern	Mediu	Extern	Toate trei
20 de vârfuri	12 vârfuri	60 de vârfuri	92 de vârfuri
Dodecaedru	icosaedru	Icosaedru trunchiat	Echidnaedrul

Sub forma unui poliedru stelat

Stelarea finală a icosaedrului poate fi văzută și ca un poliedru stelat care se intersectează cu 20 de fețe, corespunzătoare celor 20 de fețe ale icosaedrului. Fiecare față este un poligon stelar neregulat (sau eneagramă ) [7] . Fiecare trei fețe formează un vârf, deci echidnaedrul are 20 × 9 ÷ 3 = 60 de vârfuri (acest strat exterior de vârfuri formează vârfurile „ghimpilor”) și 20 × 9 ÷ 2 = 90 de muchii (fiecare margine a unui poliedru stelat). include 2 din cele 180 poliedre de margini vizibile).

Ca formă finală a icosaedrului

Această formă de stea a poliedrului se formează prin atașarea la icosaedru a tuturor compartimentelor obținute prin extinderea fețelor icosaedrului cu planuri infinite [8] . Astfel, se creează un nou poliedru, delimitat de aceste plane ca fețe, iar intersecțiile acestor plane sunt muchii. Cartea Cincizeci și nouă de icosaedri enumeră constelațiile icosaedrului (inclusiv echidnaedrul) conform unui set de reguli propuse de Geoffrey Miller [1] .

Proprietăți

Nume și clasificare

• Simbolul lui Du Val [9] pentru echidnaedru este H , deoarece include toate celulele din diagrama constelației, inclusiv nivelul cel mai exterior, nivelul „h” [10] .
• În cartea lui Magnus Wenninger Models of Polyhedra, echidnaedrul are indicele W 42 [2] .
• Dacă fețele echidnaedrului ar fi anagrame regulate, acesta ar putea fi considerat un poliedru regulat cu simbolul Schläfli {9/4,3}. Aceasta înseamnă că 3 fețe converg la fiecare vârf, unde fiecare față este un poligon neregulat de 9/4 stea [7] .

Caracteristici

• Caracteristica Euler a echidnaedrului este 2 [5] . Această caracteristică este calculată conform formulei în care Г, Р și В sunt numărul de fețe, muchii și, respectiv, vârfuri.
• Dacă considerăm echidnaedrul ca un poliedru stelat, atunci forma finală a icosaedrului este un poliedru nobil , deoarece este izoedric (față-tranzitiv) și izogonal (vârf-tranzitiv) .

Formule

• Dacă considerăm echidnaedrul ca un corp geometric cu marginile lungimii a , Φ a , Φ 2 a și Φ 2 a √2 (unde Φ este raportul de aur ), atunci aria suprafeței echidnaedrului este [6]

și volum [6]

• Razele sferelor pe care se află vârfurile echidnaedrului sunt în raportul [6]

• Tensorul de inerție al echidnaedrului de densitate constantă poate fi reprezentat ca o matrice diagonală 3×3 ale cărei elemente diagonale principale sunt egale (unde M  este masa totală) [6] .

Contur istoric

Echidnaedrul aparține poliedrelor stelate , care au fost descrise pentru prima dată în literatura științifică în 1619 în tratatul Harmonices Mundi de Johannes Kepler . Kepler a dat o justificare matematică pentru proprietățile a două tipuri de poliedre stelate regulate : dodecaedrul stelat mic și dodecaedrul stelat mare [11] . Mult mai târziu, în 1809,  Louis Poinsot a redescoperit poliedrele Kepler și, de asemenea, a mai descoperit două poliedre stelate: marele dodecaedru și marele icosaedru , care acum sunt numite solidele Kepler-Poinsot [12] . Și în 1812, Augustin Cauchy a dovedit că există doar 4 tipuri de poliedre stelate regulate [7] [11] .

Echidnaedrul a fost descris pentru prima dată în 1900 de Max Brückner în lucrarea clasică despre poliedre intitulată „Polygons and Polyhedra”, unde pe lângă acesta, au fost descrise încă 9 forme stelate ale icosaedrului [13] . De atunci, echidnaedrul a început să apară în lucrările altor matematicieni și nu a avut o singură denumire. În 1924, Albert Willer a publicat o listă de 20 de stelări (22 inclusiv copii), inclusiv echidnaedrul [14] . Cel mai sistematic și complet studiu al poliedrelor stelate a fost realizat de Harold Coxeter , împreună cu Patrick du Val , Flaser și John Petrie, în 1938 în cartea Fifty-nine Icosahedrons , unde au aplicat regulile de restricție stabilite de J. Miller. Coxeter a demonstrat că există doar 59 de stelări ale icosaedrului, dintre care 32 au simetrie icosaedrică completă și 27 incompletă. Echidnaedrul ocupă locul opt în carte [1] . În lucrarea lui Magnus Wenninger din 1974 Models of Polyhedra , echidnaedrul este inclus ca al 17-lea model al icosaedrului cu indicele W 42 [2] .

Numele modern pentru ultima stelare a icosaedrului a fost dat de Andrew Hume în 1995 în baza sa de date Netlib ca echidnahedron 15] ( echidna sau furnicarul înțepător, un mic mamifer acoperit cu păr sârpat și țepi, se înfășoară într-o minge pentru a se apăra în sine).

Baza de date Netlib acoperă toți politopii obișnuiți , solidele arhimediene , o serie de prisme și antiprisme , toți politopii Johnson

(poliedre convexe în care fiecare față este un poligon regulat) și câteva poliedre ciudate, inclusiv echidnaedrul (numele meu, de fapt forma finală a icosaedrului).

Text original  (engleză)[ arataascunde] „(Netlib) acoperă toate poliedrele obișnuite, solidele arhimediene, un număr de prisme și antiprisme și toate poliedrele Johnson (toate poliedrele convexe cu fețe poligonale regulate) și câteva solide ciudate, inclusiv echidnaedrul (numele meu; de fapt este finalul ). stelare a icosaedrului)”. - [3]

Note

1. ↑ 1 2 3 Coxeter și alții, 1999 .
2. ↑ 1 2 3 Wenninger, 1971 .
3. ↑ 1 2 Baza de date de poliedre .
4. ↑ Branko Grünbaum, 2008 , p. cincisprezece.
5. ↑ 12 Polyhedra.org . _
6. ↑ 1 2 3 4 5 Echidnaedrul pe MathWorld .
7. ↑ 1 2 3 Peter Cromwell, 1997 .
8. ↑ Modelul Wenninger #42 .
9. ↑ Du Val a inventat o notație simbolică pentru identificarea seturilor de celule congruente pe baza observației că acestea sunt situate în „cochilii” în jurul icosaedrului original.
10. ↑ Peter Cromwell, 1997 , p. 259.
11. ↑ 12 MathWorld . _
12. ↑ Louis Poinsot, 1810 .
13. ↑ Max Brückner, 1900 .
14. ↑ Albert Willer, 1924 .
15. ↑ Andrew Hume Model 141 .

Literatură

• Harold Scott MacDonald Coxeter , P. Du Val , H.T. Flather , JF Petrie. Fifty-Nine Icosahedra = The Fifty-Nine Icosahedra. - Ed. a 3-a. — Tarquin, 1999. — P.  30–31 . — 72p. - ISBN 978-1-899618-32-3 .
• Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models = Polyhedron Models. - Cambridge University Press, 1971. - P. 65. - ISBN 0-521-09859-9 .
• Louis Poinsot. Note despre poligoane și poliedre = Memoire sur les polygones et polyèdres. - J. de l'École Polytechnique, 1810. - P. 16-48.
• Peter R. Cromwell. Polyhedra = Polyhedra. - Cambridge University Press, 1997. - P. 268. - ISBN 0-521-66405-5 .
• Max Bruckner. Poligoane și poliedre: teorie și istorie = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. - Leipzig: BG Teubner Verlag, 1900. - ISBN 978-1-4181-6590-1 .
• A. H. Wheeler. Anumite   forme ale icosaedrului și o metodă pentru derivarea și desemnarea poliedrelor superioare // Proc . Internat. Matematică. Congres. - Toronto, 1924. - Vol. 1. - P. 701-708.
• Gerald Jenkins, Ursul Magdalen. Stellarea finală a icosaedrului: un model matematic avansat de tăiat și lipit împreună. - Norfolk, Anglia: Tarquin Publications, 1985. - ISBN 978-0-906212-48-6 .
• Branko Grunbaum. Fiecare față a unui poliedru poate avea mai multe laturi?  (Engleză)  = Fiecare față a unui poliedru poate avea mai multe laturi?. - 2008. - P. 15.

Link -uri

• Andrew Hume. Geometrie.cercetare › Baza de date  poliedre . Google.com. Preluat: 26 octombrie 2014.
• Andrew Hume. Baza de date poliedre Netlib, model  141 . Preluat: 7 noiembrie 2014.
• Eric Weisstein. Kepler- Poinsot Solid  . Mathworld.wolfram.com. Preluat: 26 octombrie 2014.
• Eric Weisstein. Echidnahedron  (engleză) . Mathworld.wolfram.com. Preluat: 26 octombrie 2014.
• Eric Weisstein. Stelații  Icosaedre . Mathworld.wolfram.com. Preluat: 7 noiembrie 2014.
• Ralph Jones. Instrucțiuni pentru construirea unui model al echidnaedrului  ( Microsoft Word(.doc)). Consultat la 26 octombrie 2014. Arhivat din original pe 4 octombrie 2011.
• Guy Inchbald. Spre stelarea icosaedrului și fațetarea  dodecaedrului . Preluat: 7 noiembrie 2014.
• Echidnahedron  (engleză) . Honeylocust Media Systems (2006). Consultat la 26 octombrie 2014. Arhivat din original pe 7 octombrie 2008.
• Stelarea finală a icosaedrului . Wenninger.narod.ru. Preluat: 3 noiembrie 2014. (Rusă)

Formele stelare ale icosaedrului
Icosaedru (0) Icosaedru triambic mic (1) Compus din cinci octaedre (2) Compus din cinci tetraedre (12) Compus din zece tetraedre (13) Dodecaedru excavat (30) Icosaedrul mare (45) Echidnaedrul (58)