O singură provocare

Problema unei plăci ( în engleză  problema einstein ) este o problemă geometrică care ridică problema existenței unei prototile , care formează un set neperiodic de plăci , adică existența unei figuri a cărei copiile pot plasa spațiu, dar numai într-un mod neperiodic . În sursele în limba engleză, astfel de cifre sunt numite „einsteins” - un joc de cuvinte, germană.  ein stein înseamnă „o piatră” și este, de asemenea, numele fizicianului Albert Einstein . În funcție de definiția specifică a non-periodicității, și anume care seturi pot fi considerate plăci și cum pot fi conectate, problema poate fi considerată deschisă sau rezolvată. Problema unei plăci poate fi considerată ca o continuare firească a celei de-a doua părți a problemei a optsprezecea a lui Hilbert , care întreabă despre un poliedru ale cărui copii pot umple spațiul euclidian tridimensional și nicio umplere a spațiului cu copii ale acestui poliedrul ar trebui să fie izoedric [1] . Astfel de corpuri non-izoedrice au fost găsite de Carl Reinhard în 1928, dar aceste corpuri umplu spațiul într-o manieră periodică.

Soluție sugerată

În 1988, Peter Schmitt a descoperit un prototil neperiodic pentru spațiul euclidian tridimensional. Deși nicio umplutură cu acest corp nu permite translația paralelă , unele umpluturi au simetrie elicoidală . Operația de simetrie a șurubului are forma unei compoziții de translație paralelă și rotație printr-un unghi incomensurabil cu π, astfel încât niciun număr de repetări ale acestor operații nu va conduce la o translație paralelă simplă. Această construcție a fost folosită mai târziu de John Conway și Ludwig Danzer pentru a construi o țiglă convexă non-periodică, țigla Schmitt-Conway-Danzer . Prezența simetriei șuruburilor a fost o consecință a cerinței de non-periodicitate [2] . Chaim Goodman-Strauss a propus să considere plăcile strict aperiodice dacă nu există un grup ciclic infinit de mișcări ale spațiului euclidian pentru ele , care sunt simetrii ale plăcirii, și să numească strict aperiodice doar acele seturi de plăci care duc la plăci aperiodice, seturile rămase de plăci sunt apoi numite slab aperiodice [3] .

În 1996, Petra Hummelt a construit o țiglă decagonală modelată și a arătat că, dacă sunt permise două tipuri de suprapunere de perechi de țigle, acestea pot plăci un plan, și numai într-un mod aperiodic [4] . De obicei, o teselație este înțeleasă ca o umplutură fără suprapunere, astfel încât țigla Hummelt nu poate fi considerată un prototil aperiodic. Un set aperiodic de plăci în plan euclidian care constă dintr-o singură plăci, plăci Socolar-Taylor  , a fost propus la începutul anilor 2010 de Joshua Socolar și Joan Taylor [5] . Această construcție implică reguli de conectare, reguli care restricționează orientarea relativă a două plăci și reguli pentru conectarea modelelor pe plăci, iar aceste reguli se aplică perechilor de plăci neadiacente. Este posibil să folosiți plăci fără modele și fără reguli de orientare, dar apoi plăcile nu vor fi conectate. Construcția poate fi extinsă în spațiul 3D folosind plăci conectate și fără reguli de conectare, dar aceste plăci pot fi așezate cu periodicitate în aceeași direcție, deci este doar o placă slab neperiodică. Mai mult decât atât, plăcile nu sunt pur și simplu legate.

Existența unor seturi strict aperiodice formate dintr-o țiglă conectată fără reguli de conectare rămâne o problemă nerezolvată.

Note

1. ↑ Senechal, 1996 , pp. 22-24.
2. ↑ Radin, 1995 , pp. 3543–3548.
3. ↑ Goodman-Strauss, 2000 .
4. ↑ Gummelt, 1996 , pp. 1–17.
5. ↑ Socolar, Taylor, 2011 , pp. 2207-2231.

Link -uri

• Petra Gummelt. Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons // Geometriae Dedicata . - 1996. - Vol. 62. - Problema. 1 . - doi : 10.1007/BF00239998 .
• Marjorie Senechal. Quasicristale și geometrie. — broșat corectat. - Cambridge University Press , 1996. - ISBN 0-521-57541-9 .
• Charles Radin. Tilings aperiodic în dimensiuni superioare // Proceedings of the American Mathematical Society . - Societatea Americană de Matematică, 1995. - Vol. 123. - Problema. 11 . - doi : 10.2307/2161105 . — .
• Chaim Goodman Strauss. Deschideți întrebări în Tiling. - 2000. Arhivat la 18 aprilie 2007. Arhiva:
• Joshua ES Socolar, Joan M. Taylor. An Aperiodic Hexagonal Tile // Journal of Combinatorial Theory, Seria A. - 2011. - Vol. 118. - doi : 10.1016/j.jcta.2011.05.001 . - arXiv : 1003.4279 .