Problemă cu trei corpuri

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 decembrie 2021; verificările necesită 6 modificări .

Problema celor trei corpuri în astronomie este una dintre sarcinile mecanicii cerești , constând în determinarea mișcării relative a trei corpuri (puncte materiale) care interacționează conform legii gravitației lui Newton (de exemplu, Soarele , Pământul și Luna ). Spre deosebire de problema cu două corpuri , în cazul general, problema nu are o soluție sub formă de expresii analitice finite. Numai soluțiile exacte individuale sunt cunoscute pentru viteze inițiale speciale și coordonate obiect.

Formulare matematică

Problema generală a trei corpuri din mecanica cerească este descrisă de un sistem de ecuații diferențiale ordinare de ordinul doi

$\left.{\begin{array}{c}{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{1}=\gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{ 2}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol { q}}_{1}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{2}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_ {1}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}+\ gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{3}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}} _{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}+ \gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\ boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}\end{array}}\quad \right\}$

unde este constanta gravitațională , sunt masele corpurilor, sunt vectorii cu rază care determină poziția lor, iar punctul înseamnă derivata în timp. $\gamma$ $m_{i}$ ${\boldsymbol {q}}_{i}$

Deciziile private

În prezent, se cunosc mai mult de o mie de soluții particulare:

Primele trei soluții au fost găsite de Euler în 1767. Ele există atunci când toate cele trei corpuri sunt pe aceeași linie dreaptă . În acest caz, există 3 secvențe de aranjare posibile (al treilea corp este între celelalte două, fie la stânga, fie la dreapta ambelor). O astfel de mișcare se numește coliniară .
Alte două soluții au fost găsite în 1772 de Lagrange . În ele , triunghiul format de corpuri rămâne echilateral și se rotește în spațiu.
În 1892-1899, Henri Poincaré a demonstrat că există o infinitate de soluții particulare la problema celor trei corpuri.
În 1911, W. D. Macmillan a descoperit o nouă soluție particulară, dar fără o justificare matematică clară. Abia în 1961, matematicianul sovietic K. A. Sitnikov a reușit să găsească o demonstrație matematică riguroasă pentru acest caz (vezi problema lui Sitnikov ).
La mijlocul anilor 1970, R. Broucke ( engleza Roger A. Broucke ), M. Henot ( franceză Michel Hénon ) și J. Hadjidemetriou ( engleză John D. Hadjidemetriou ) au descoperit în mod independent familia de traiectorii Brooke-Hénot - Hadjidemetriou [1] .
În 1993, Moore [2] [3] a găsit o altă soluție sub forma unor „opt” orbite stabile .

În 2013, oamenii de știință sârbi Milovan Shuvakov și Velko Dmitrashinovich de la Institutul de Fizică din Belgrad au găsit 11 noi soluții periodice parțiale pentru problema a trei corpuri cu aceeași masă [1] [4] .
Până în 2017, un grup de matematicieni chinezi și-au creat propriul algoritm pentru găsirea traiectoriilor periodice, pe care l-au numit Clean Numerical Simulation . Cu ajutorul acestuia, oamenii de știință au calculat noi traiectorii, ca urmare, numărul familiilor cunoscute de traiectorii periodice pentru problema cu trei corpuri a devenit 695. Continuând munca, acest grup de oameni de știință a calculat alte 1223 de soluții particulare ale problemei.
În 2018, matematicianul Liao Shijun și colegii săi de la Universitatea de Transport din Shanghai au găsit 234 de noi soluții speciale pentru problema celor trei corpuri fără coliziuni folosind un supercomputer [5] .

Caz general

În ceea ce privește cazul general, Weierstrass a propus următoarea problemă ( 1885 , concurs pentru premiul regelui suedez Oscar II ):

Să fie dat un sistem de un număr arbitrar de puncte materiale care interacționează conform legii lui Newton. Este necesar, în ipoteza că nu va exista nicio coliziune a oricăror două puncte, să se reprezinte coordonatele fiecărui punct sub formă de serie în termenii unor funcții continue ale timpului, convergând uniform pentru toate valorile reale ale acestei variabile. .

— Pogrebyssky I. B. Comentariu asupra problemei cu trei corpuri Poincaré // Poincaré A . Lucrări alese. - T. 2. - M .: Nauka, 1979. - S. 967-976.

Soluție aproximativă

Aparent, Weierstrass însuși, bazându-se pe celebra sa teoremă privind aproximarea unei funcții arbitrare prin polinoame , a vrut să obțină o expresie pentru coordonatele corpurilor sub forma

\lim \limits _{n\rightarrow \infty }P_{n}(t)

unde sunt niște polinoame. $P_{n}$

Existența unor astfel de polinoame decurge imediat din continuitatea soluției, dar până acum nu a fost posibil să se găsească o modalitate constructivă de a găsi polinoame.

Discuția despre însăși posibilitatea situației descrise în problema Weierstrass a condus la o serie de concluzii importante:

Dacă soluția problemei cu trei corpuri este o funcție holomorfă în interval și încetează să mai fie astfel la , atunci pentru sau toate distanțele dintre corpuri tind spre zero (tripla ciocnire a corpurilor), sau unul dintre ele tinde spre zero și celelalte două tind spre limite finite (corpuri de coliziune simple). ( Painlevé , 1897); $t$ $[0,t_{0})$ $t=t_{0}$ $t\rightarrow t_{0}-0$
Tripla coliziune în problema celor trei corpuri este posibilă numai dacă momentul unghiular al sistemului dispare și, prin urmare, poate avea loc numai cu date inițiale foarte speciale. ( F. A. Sludsky , 1874);
Dacă momentul unghiular al sistemului nu este egal cu zero, atunci există un așa-numit parametru de regularizare , prin care se pot exprima coordonatele și timpul într-un mod holomorf în vecinătatea axei reale . ( Sundman , 1912; o scurtă dovadă a fost dată în 1967 de Burdet [6] ). $s$ $s$

Acest lucru ia determinat pe Poincaré și Zundman să caute o soluție nu sub forma funcțiilor lui , ci sub forma unei serii a unui parametru. Și anume, coordonatele a trei corpuri și timpul sunt funcții holomorfe de-a lungul întregii axe reale a planului , adică există o zonă în care coordonatele sunt holomorfe. Conform teoremei lui Riemann, această zonă poate fi mapată pe un cerc cu rază unitară , astfel încât coordonatele a trei corpuri și timpul pot fi reprezentate ca funcții ale parametrului holomorf într-un cerc cu rază unitară. Astfel de funcții pot fi reprezentate ca serii în puteri pozitive convergente în întregul cerc . Aceste serii au fost găsite de Zundman în 1912 , mai exact, a fost găsit un algoritm pentru găsirea coeficienților lor. Din păcate, după cum a arătat D. Beloritsky [7] , cel puțin în cazul lui Lagrange, pentru nevoile astronomiei computaționale, cel puțin termenii trebuie luați în serii Sundman convergente. $t$ $s$ $s$ $|v|<1$ $v$ $v$ $10^{8\cdot 10^{6}}$

Soluția exactă

Sistemul cu trei corpuri este cel mai simplu sistem cu haos dinamic [1] .

Bruns și Poincaré au demonstrat că sistemul de ecuații diferențiale pentru mișcarea a trei corpuri nu poate fi redus la unul integrabil [1] . Descoperirea lor înseamnă că sistemele dinamice nu sunt izomorfe .

Sistemele simple integrabile pot fi descompuse în subsisteme care nu interacționează, dar în cazul general este imposibil să se excludă interacțiuni.

Vezi și

Problemă cu două corpuri
Problemă gravitațională a N-corpilor
Mihai Minovici
Ecuații Faddeev (problema cu trei particule în mecanica cuantică.)

Note

↑ 1 2 3 4 Trunin, D. Mai mult de șase sute de traiectorii periodice au fost descoperite în problema celor trei corpuri : [ arh. 7 noiembrie 2018 ] // N+1. - 2017. - 12 octombrie.
↑ Stewart, 2016 , p. 217.
↑ Fizicienii sârbi au extins semnificativ numărul de soluții cunoscute la „problema celor trei corpuri” . Preluat la 10 ianuarie 2019. Arhivat din original la 11 ianuarie 2019. (nedefinit)
↑ Fizicienii au găsit noi soluții la problema newtoniană a trei corpuri . Lenta.ru (11 martie 2013). Consultat la 17 martie 2013. Arhivat din original pe 21 martie 2013. (nedefinit)
↑ Li, Xiaoming și Liao, Shijun. Orbite periodice fără coliziune în problema cu trei corpuri în cădere liberă . — 21.05.2018.
↑ Mareșalul K. Problema celor trei corpuri. M.-Ijevsk, 2004
↑ Belorizky, D. Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // CR 193, 766-768, 1931.

Literatură

Alekseev V. M. Prelegeri despre mecanica cerească. - Izhevsk: RHD, 2001. - 156 p.
Siegel KL Prelegeri despre mecanica cerească. — M. : IL, 1959. — 300 p.
Mareșalul K. Problema celor trei corpuri. - Izhevsk: RHD, 2004. - 640 p.
Ian Stewart . Cele mai mari probleme de matematică. — M. : Alpina non-fiction, 2016. — 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Link -uri

Chenciner, Alain (2007). „Problemă cu trei corpuri”. Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : 2007SchpJ...2.2111C . DOI : 10.4249/scholarpedia.2111 .
Oamenii de știință sunt aproape de a rezolva în sfârșit problema celor trei corpuri . Popular Mechanics (13 mai 2021). (nedefinit)

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	NKC : ph124613

Mecanica cerească

Legi și sarcini	legile lui Newton Legea gravitației legile lui Kepler Problemă cu două corpuri Problemă cu trei corpuri Problemă gravitațională a N-corpilor problema lui Bertrand ecuația lui Kepler
Sfera celestiala	Sistemul de coordonate ceresc galactic orizontală ecuatorial ecliptic Sistemul internațional de coordonate cerești Sistem de coordonate sferice axa mondială Ecuatorul ceresc ascensiunea dreaptă declinaţie Ecliptic Echinocţiu Solstițiul plan fundamental
Parametrii orbitei	Elementele kepleriene ale orbitei excentricitate semi-axa mare înseamnă anomalie longitudinea nodului ascendent argument periapsis Apocentrul și periapsis Viteza orbitală Nodul orbital Epocă
Mișcarea corpurilor cerești	Mișcarea soarelui și a planetelor în sfera cerească Efemeride Configurații de planetă confruntare compus cuadratura elongaţie parada planetelor Eclipsă eclipsă de soare eclipsa de luna saros Ciclul metonic Strat Tutorial punct culminant perioada siderale perioada sinodica Perioada de rotație rezonanța orbitală Preludiul echinocțiului Apropiere librare Domeniul gravitației efectul Kozai Efectul Yarkovsky efectul Dzhanibekov

Astrodinamica

Zbor în spațiu	viteza spatiala primul (circular) al doilea (parabolic) al treilea Al patrulea formula lui Ciolkovski Manevra gravitațională traiectoria Hohmann Metoda elementelor osculatoare Accelerația mareelor Modificarea înclinației orbitale Rețeaua de transport interplanetar Andocare puncte Lagrange Efect de pionier
SC orbite	orbită geostaţionară Orbită heliocentrică orbită geosincronă orbita geocentrică orbita de geotransfer Orbită terestră joasă orbită polară Orbită „Tundra” Orbită sincronă cu Soarele Orbită „Fulger” Orbită osculatoare