Mozaic pentagonal din Cairo

Mozaic pentagonal din Cairo
Tip de	Tigla dublă semiregulată
Fațete	pentagoane neregulate
Diagramele Coxeter-Dynkin
Simetrie	p4g , [4 + ,4], (4*2) p4 , [4,4] + , (442)
Simetria rotațională	p4 , [4,4] + , (442)
Placare dublă	mozaic pătrat obosit
Configurația feței	V3.3.4.3.4|
Proprietăți	fata-tranzitiv

Tigla pentagonală din Cairo este placarea dublă semiregulată în plan . Mozaicul și-a primit numele de la orașul egiptean Cairo , ale cărui străzi sunt pavate cu astfel de plăci [1] [2] . Tigla este una dintre cele 15 teselații pentagonale izoedrice cunoscute (adică, având un singur fel de față) .

Mozaicul mai este numit și rețeaua lui McMahon [3] după Percy Alexander McMahon , care a publicat articolul „New Mathematical Passtimes” în 1921 [4] .

Conway numește tiling 4-fold pentille [5] .

Ca rețea cristalină bidimensională, mozaicul are aceleași proprietăți speciale ca și rețeaua hexagonală. Ambele rețele sunt implementarea standard (în ceea ce privește M. Kotani și T. Sunada ) pentru rețelele cristaline generale [6] [7] .

Geometrie

Fețele plăcilor nu sunt pentagoane regulate - laturile lor nu sunt egale (au patru laturi lungi și una scurtă cu raportul [8] ), iar unghiurile pentagonului sunt (succesiv) . Tigla are o configurație de față V3.3.4.3.4 .

Plasarea este similară cu placarea pentagonală prismatică cu configurația feței V3.3.3.4.4, dar în această placare două unghiuri drepte sunt unul lângă altul.

Variante

Plasarea pentagonală Cairo are două tipuri de simetrie redusă, care sunt plăci pentagonale izoedrice de tipurile 4 și 8:

Tiling dual

Tilingul este dualul pătratului snub , format din două pătrate și trei triunghiuri echilaterale în jurul fiecărui vârf [9] .

Legătura cu plăci hexagonale

Această placă poate fi considerată ca unirea a două plăci hexagonale perpendiculare întinse de un factor. Fiecare hexagon este împărțit în patru pentagoane . Hexagoanele pot fi făcute concave, rezultând pentagoane concave [10] . Alternativ, o placă hexagonală poate fi lăsată obișnuită, în timp ce cealaltă poate fi comprimată și întinsă (în direcții diferite) de un factor, rezultând 2 tipuri de pentagoane.

Tilinge echivalente din punct de vedere topologic

Fiind dublul plăcilor pătrate snub , această placă are proporții fixe. Cu toate acestea, poate fi ajustat la alte forme geometrice cu aceeași conectivitate topologică și simetrie diferită. De exemplu, aceste plăci sunt identice din punct de vedere topologic.

Mozaic pentagonal trunchiat din Cairo

Trunchierea vârfurilor 4-valente creează o terasare asociată cu poliedrul Goldberg , iar simbolul {4+,4} 2,1 îi poate fi dat . Pentagoanele sunt trunchiate în heptagoane . Plasarea duală la {4,4+} 2,1 are doar fețe triunghiulare și este legată de politopul geodezic . Poate fi gândit ca o placă pătrată snub în care pătratele sunt înlocuite cu patru triunghiuri.

Poliedre și plăci înrudite

Plasarea pentagonală din Cairo este similară cu placarea pentagonală prismatică cu configurația feței V3.3.3.4.4, două plăci duble cu 2 uniforme și două plăci duble cu 3 uniforme care amestecă două tipuri de pentagoane. Aici sunt desenate cu marginile evidențiate [11] .

Tigla pentagonală din Cairo este în secvența poliedrelor duble și a plăcilor cu configurație de față V3.3.4.3. n .

Este, de asemenea, în secvența poliedrelor și plăcilor cu dublu snub cu configurație de față V3.3. n .3. n .

Vezi și

• Mozaice de poligoane regulate convexe pe planul euclidian
• Lista plăcilor uniforme

Note

1. ↑ Alsina, Nelsen, 2010 , p. 164.
2. ↑ Martin, 1982 , p. 119.
3. ↑ O'Keeffe, Hyde, 1980 , p. 553–618.
4. ↑ Macmahon, 1921 , p. 101.
5. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008 , p. 288.
6. ↑ Kotani, Sunada, 2000 , p. 1–20.
7. ↑ Sunada, 2012 .
8. ↑ Geometrie arabă/ismamică 02 . Data accesului: 21 decembrie 2017. Arhivat din original la 13 februarie 2014. (nedefinit)
9. ^ Weisstein , Eric W. Teselare dublă  pe site- ul web Wolfram MathWorld .
10. ↑ Definirea unei plăci tip cairo . Preluat la 21 decembrie 2017. Arhivat din original la 12 ianuarie 2018. (nedefinit)
11. ↑ Chavey, 1989 , p. 147–165.

Literatură

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Dovezi fermecătoare: o călătorie în matematica elegantă . - Mathematical Association of America, 2010. - V. 42. - (Expoziții de matematică Dolciani). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
• George Edward Martin. Geometria transformării: o introducere în simetrie . - Springer, 1982. - P. 119. - ( Texte de licență în matematică ). - ISBN 978-0-387-90636-2 .
• O'Keeffe M., Hyde BG Plane nets in crystal chemistry // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Seria A, Științe matematice și fizice. - 1980. - T. 295 . doi : 10.1098 / rsta.1980.0150 . — .
• maiorul P.A. Macmahon. Noi distracții matematice . — University Press, 1921.
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Capitolul 21, Numirea poliedrelor și a plăcilor arhimediene și catalane, p288 tabel // Simetriile lucrurilor . - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Arhivatpe 19 septembrie 2010 laWayback Machine
• Chavey D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings  // Computers & Mathematics with Applications. - 1989. - T. 17 . - doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
• Kotani M., Sunada T. Standard realisations of crystal lattices via harmonic maps  (english)  // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică. - 2000. - Vol. 353 .
• Sunada T. Cristalografie topologică: cu o viziune spre analiza geometrică discretă. - Japonia: Springer, 2012. - V. 6. - (Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences). — ISBN 9784431541769 .

Lectură pentru lecturi suplimentare

• Branko Grünbaum , GC Shephard. Placuri și modele . - W.H. Freeman, 1987. - P. 58-65, 480 (Capitolul 2.1: Tilings regulat and uniform) (Tilings by polygons, #24 din 24 tipuri poligonale izoedrice pe pentagoane). - ISBN 0-7167-1193-1 .
• Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . - New York: Dover Publications , 1979. - p  . 38 . — ISBN 0-486-23729-X .
• David Wells. Dicționarul pinguinului de geometrie curioasă și interesantă . - Londra: Penguin, 1991. - P.  23 . — ISBN 0140261494 .
• Keith Critchlow. Order in Space: O carte sursă de design. - New York: Thames & Hudson, 1987. - pp. 77-76, model 3. - ISBN 0-500-34033-1 .

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Cairo Tessellation  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .