Spatiu compact

Un spațiu compact este un anumit tip de spații topologice care generalizează proprietățile de mărginire și închidere în spații euclidiene la spații topologice arbitrare.

În topologia generală, spațiile compacte seamănă cu mulțimi finite în teoria mulțimilor în proprietățile lor .

Definiție

Un spațiu compact este un spațiu topologic , în orice acoperire al căruia prin mulțimi deschise există o subacoperire finită [1] .

Inițial, această proprietate a fost numită bicompact (acest termen a fost introdus de P. S. Aleksandrov și P. S. Uryson ), iar în definirea compactității au fost folosite coperți deschise numărabile . Ulterior, proprietatea mai generală a bicompacității s-a dovedit a fi mai populară și a ajuns treptat să fie numită pur și simplu compactitate. Acum, termenul de „bicompactitate” este folosit în principal numai de topologii școlii lui P. S. Aleksandrov. Pentru spațiile care satisfac cea de-a doua axiomă a numărabilității , definiția originală a compactității este echivalentă cu cea modernă [2] .

Bourbaki și adepții săi includ în definiția compactității proprietatea spațiului Hausdorff [2] .

Exemple de seturi compacte

Seturi mărginite închise în . $\mathbb {R} ^{n}$
Submulțimi finite de spații topologice.
Teorema Ascoli-Arzela oferă o caracterizare a mulțimilor compacte în spațiul funcțiilor reale pe un spațiu metric compact cu norma : închiderea unei mulțimi de funcții în este compactă dacă și numai dacă este uniform mărginită și echicontinuu continuă . $C(X)$ $X$ $\|f\|=\sup _{x}|f(x)|$ $F$ $C(X)$ $F$
Spațiul de piatră al algebrelor booleene .
Compactificarea unui spațiu topologic.

Definiții înrudite

O submulțime a unui spațiu topologic T care este un spațiu compact în topologia indusă de T se numește mulțime compactă .
Se spune că o mulțime este precompactă (sau compactă în raport cu T ) dacă închiderea sa în T este compactă [3] .
Un spațiu este numit secvențial compact dacă orice secvență din el are o subsecvență convergentă.
Un spațiu local compact este un spațiu topologic în care orice punct are o vecinătate a cărei închidere este compactă.
Un spațiu delimitat compact este un spațiu metric în care toate bilele închise sunt compacte.
Un spațiu pseudocompact este un spațiu Tikhonov în care fiecare funcție reală continuă este mărginită.
Un spațiu numărabil compact este un spațiu topologic în care orice acoperire numărabilă prin mulțimi deschise conține o subacoperire finită.
Un spațiu slab numărabil compact este un spațiu topologic în care orice mulțime infinită are un punct limită.
Un spațiu închis H este un spațiu Hausdorff închis în orice spațiu Hausdorff înconjurător [4] .

Termenul „ compact ” este uneori folosit pentru un spațiu compact metrizabil , dar uneori pur și simplu ca sinonim pentru termenul „spațiu compact”. De asemenea, " compact " este uneori folosit pentru un spațiu compact Hausdorff [5] . În plus, vom folosi termenul „ compact ” ca sinonim pentru termenul „spațiu compact”.

Proprietăți

Proprietăți echivalente cu compactitatea:
- Un spațiu topologic este compact dacă și numai dacă fiecare familie centrată de mulțimi închise, adică o familie în care intersecțiile subfamiliilor finite sunt nevide, are o intersecție nevide [6] .
- Un spațiu topologic este compact dacă și numai dacă fiecare direcție din el are un punct limită.
- Un spațiu topologic este compact dacă și numai dacă fiecare filtru din el are un punct limită.
- Un spațiu topologic este compact dacă și numai dacă fiecare ultrafiltru converge către cel puțin un punct.
- Un spațiu topologic este compact dacă și numai dacă fiecare submulțime infinită din el are cel puțin un punct de acumulare completă în . $X$ $X$
Alte proprietăți generale:
- Pentru orice mapare continuă , imaginea unui set compact este un set compact.
- Teorema lui Weierstrass . Orice funcție reală continuă pe un spațiu compact este mărginită și atinge valorile maxime și minime.
- O submulțime închisă a unei mulțimi compacte este compactă.
- Un subset compact al unui spațiu Hausdorff este închis .
- Un spațiu Hausdorff compact este normal .
- Un spațiu Hausdorff este compact dacă și numai dacă este regulat și H-închis [4] .
- Un spațiu Hausdorff este compact dacă și numai dacă fiecare dintre submulțimile sale închise este H-închis [4] .
- Teorema lui Tihonov: Produsul unei mulțimi arbitrare (nu neapărat finite) de mulțimi compacte (cu topologia produsului ) este compact.
- Orice mapare continuă unu-la-unu de la o mulțime compactă la un spațiu Hausdorff este un homeomorfism .
- Seturile compacte „se comportă ca puncte” [7] . De exemplu: într-un spațiu Hausdorff orice două mulțimi compacte care nu se intersectează au vecinătăți care nu se intersectează, într-un spațiu regulat orice mulțimi compacte și închise care nu se intersectează au vecinătăți care nu se intersectează, într-un spațiu Tihonov orice mulțimi compacte și închise care nu se intersectează sunt separabile din punct de vedere funcțional .
- Fiecare spațiu topologic finit este compact.

Proprietățile spațiilor metrice compacte:
- Un spațiu metric este compact dacă și numai dacă orice succesiune de puncte din el conține o subsecvență convergentă.
- Teorema de compactitate Hausdorff oferă condiții necesare și suficiente pentru compactitatea unei mulțimi într-un spațiu metric.
- Pentru spațiile euclidiene cu dimensiuni finite , un subspațiu este compact dacă și numai dacă este mărginit și închis . Se spune că spațiile cu această proprietate satisfac proprietatea Heine-Borel [8] .
- Lema lui Lebesgue : Pentru orice spațiu metric compact și acoperire deschisă, există un număr pozitiv astfel încât orice submulțime al cărei diametru este mai mic decât , este conținută într-una dintre mulțimile . Un astfel de număr se numește număr Lebesgue. $\{V_{\alpha }\},\ \alpha \în A$ $r$ $r$ $V_{\alpha }$ $r$

Vezi și

Compactificarea

Note

↑ Viro și colab., 2012 , p. 97.
↑ 1 2 Viro și colab., 2012 , p. 98.
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , p. 105.
↑ 1 2 3 Kelly, 1968 , p. 209.
↑ Engelking, 1986 , p. 208.
↑ Vezi și Lema pe segmente imbricate
↑ Engelking, 1986 , p. 210.
↑ Vezi și Teorema Bolzano-Weierstrass#Teorema Bolzano-Weierstrass și noțiunea de compactitate

Literatură

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. - Ed. a IV-a -M.:Nauka, 1976. (Rusă)
Viro, O. Ya. , Ivanov, O. A. , Netsvetaev, N. Yu. , Kharlamov, V. M. Topologie elementară. - Ed. a II-a, corectat .. -M .: MTSNMO, 2012. -ISBN 978-5-94057-894-9. (Rusă)
Protasov, V. Yu. Maxima și minimele în geometrie. -M.: MTSNMO, 2005. - 56 p. - (Biblioteca „Educația matematică”, numărul 31). (Rusă)
Schwartz, L. Analiză. -M .:Mir, 1972. - T. I. (Rusă)
Kelly, J. L. Topologie generală. — M .: Nauka , 1968. (Rusă)
Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p. (Rusă)
Arkhangelsky, A.V. Spațiu bicompact //Enciclopedie matematică. —M.: Enciclopedia sovietică, 1977-1985. (Rusă)
Voitsekhovsky, M. I. Compact space // Mathematical Encyclopedia . — M .: Enciclopedia sovietică, 1977-1985. (Rusă)

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Universalis