Problema limitei

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 8 ianuarie 2022; verificarea necesită 1 editare .

O problemă de valoare la limită (problema valorii la limită) este problema găsirii unei soluții la o ecuație diferențială dată (sistem de ecuații diferențiale) care satisface condițiile de limită (limită) la capetele unui interval sau la limita unei regiuni. Problemele cu valori la limită pentru ecuațiile hiperbolice și parabolice sunt adesea numite limită inițială sau mixte , deoarece ele specifică nu numai limită, ci și condiții inițiale .

Ecuații diferențiale obișnuite

Ecuații liniare de ordinul al n-lea

Problema valorii la limită pentru o ecuație liniară de ordinul n-a are forma

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

Unde

L(y) = \sum_{\nu = 0}^{n} f_{\nu}(x) y^{(\nu)},

funcțiile și sunt continue pe intervalul , , condițiile la limită sunt date prin forme liniare $f(x)$ $f_{\nu}(x)$ $a\leq x\leq b$ $f_n(x) \ne 0$

U_{\mu}(y) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \left[ \alpha_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(a) + \beta_ {\mu}^{(k)} y^{(k)}(b) \right], \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

$\gamma_{\mu}$ sunt date numere. Matricea compusă din coeficienţi are rang , în timp ce condiţiile la limită sunt liniar independente . Dacă și , problema valorii la limită se numește omogenă , dacă numai - semiomogenă . [unu] $\alpha_{\mu}, \beta_{\mu}$ $m$ $\gamma_{\mu} = 0$ $f(x) \equiv 0$ $\gamma_{\mu} = 0$

Problemă cu valori proprii

Valorile proprii sunt acele valori ale parametruluipentru care problema valorii la limită omogenă $\lambda$

L(y) + \lambda g(x) y = 0, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

are o soluție netrivială (adică nu este identic zero). Setul de valori proprii se numește spectru , iar soluțiile corespunzătoare non-triviale sunt numite funcții proprii ale acestei probleme.

Dacă este un sistem fundamental de soluții ale ecuației diferențiale considerate astfel încât $\varphi_1(x, \lambda), \varphi_2(x, \lambda), \dots, \varphi_n(x, \lambda)$

\varphi_p^{(q)}(a, \lambda) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad q = p - 1, \\ 0, \quad q \ne p - 1. \end{matrice}\dreapta. \quad p = 1, 2, \dots, n, \quad q = 0, \dots, n - 1,

atunci valorile proprii sunt zerouri ale determinantului caracteristic ( determinant )

\Delta(\lambda) = \det [U_{\mu}(\varphi_{\nu})]

. Dacă , atunci mulțimea de valori proprii este cel mult numărabilă ca mulțime de zerouri a unei întregi funcții . [2]

\Delta(\lambda) \not \equiv 0

Pentru problema cu valori proprii la graniță, se rezolvă următoarele două probleme standard:

Problema găsirii valorilor proprii . În ce ipoteze despre problema valorii la limită are ea valori proprii? În ce caz numărul lor este infinit? Când sunt valabile? Ce se poate spune despre dimensiunea lor?
Problema expansiunii în funcțiile proprii . Dacă sunt funcții proprii ale problemei valorii la limită, atunci în ce condiții funcția dată poate fi extinsă într-o serie convergentă $u_{\nu}(x)$ $F(x)$

F(x) = \sum c_{\nu} u_{\nu}(x)

dupa functie ? [3] [4] $u_{\nu}(x)$

Un caz special al problemei valorii la limită pentru valorile proprii este problema Sturm-Liouville :

\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0

{\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _ {1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2} +\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}

Funcția lui Green

Teorema 1. Dacă o problemă cu valori la limită omogenă are doar o soluție trivială (zero), atunci pentru orice funcție continuă pe segmentul , există o soluție la problema valorii la limită semiomogene dată de formula $L(y) = 0, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$ $f(x)$ $[a,b]$ $L(y) = f, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$

y(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi,

unde este funcția lui Green a unei probleme de valoare la limită omogene. [5] $G(x, \xi)$

Din punctul de vedere al teoriei operatorilor , problema valorii la limită defineşte un operator diferenţial liniar cu un domeniu de definire format din timpi continuu diferenţiabili pe intervalul de funcţii care satisfac condiţiile la limită şi acţionează conform regulii . În condițiile teoremei 1, acest operator are un invers, care este un operator integral cu kernel . $n$ $[a,b]$ $y$ $U_{\mu}(y) = 0$ $Te iubesc)$ $G(x, \xi)$

Funcția lui Green a unei probleme cu valori la limită omogene este definită ca o funcție care îndeplinește următoarele condiții: $G(x, \xi)$

$G(x, \xi)$ este continuă și are derivate continue în raport cu ordinul --lea inclusiv pentru toate valorile și din intervalul . $X$ $(n-2)$ $X$ $\xi$ $[a,b]$
Pentru orice fix al segmentului , funcția are derivate continue de ordinul -lea și -lea în raport cu în fiecare dintre intervalele și , iar derivata de ordinul --lea are un salt pentru . $\xi$ $[a,b]$ $G(x, \xi)$ $(n-1)$ $n$ $X$ $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $(n-1)$ $x = \xi$ $\frac{1}{f_n(x)}$
În fiecare dintre intervale și , considerat în funcție de , satisface ecuația și condițiile la limită . $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $G(x, \xi)$ $X$ $L(G) = 0$ $U_{\mu}(G) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$

Teorema 2. Dacă o problemă cu valori la limită omogenă are doar o soluție trivială (zero), atunci are o funcție unică a lui Green. [6]

Folosind funcția lui Green, se poate rezolva și problema neomogenă a valorii la limită

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n.

Soluția arată ca

y = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d\xi + \sum_{k = 1}^n \gamma_k \psi_k(x),

unde se găsesc soluții ale problemelor cu valori la limită $\psi_k(x)$

L(y) = 0, \quad U_k(y) = 1, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu \ne k, \quad \mu = 1, 2, \dots, n .

[7]

Problemă cu valoarea limită cu un parametru

L(y) = \lambda y + f(x), \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,

este echivalentă cu ecuația integrală Fredholm de al doilea fel:

y(x) = \lambda \int_a^b G(x, \xi) y(\xi) d\xi + g(x),

Unde

g(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi.

Valorile proprii și funcțiile proprii ale problemei corespunzătoare valorii la limită omogene coincid cu numerele și funcțiile proprii ale nucleului . [opt] $G(x, \xi)$

Sisteme de ecuații diferențiale liniare

Problema valorii la limită este de a găsi un sistem de funcții care să satisfacă sistemul de ecuații diferențiale liniare $u_1(x), u_2(x), \dots, u_n(x)$

u'_{\mu} = \sum_{\nu = 1}^m f_{\mu, \nu}(x) u_{\nu} + f_{\mu}(x), \quad \mu = 1 , 2, \dots, m,

și condițiile de limită

U_{\mu}(u) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,

unde sunt funcții continue pe segment , $f_{\mu}, f_{\mu, \nu}$ $a \le x \le b$

U_{\mu}(u) = \sum_{k = 1}^n \left[ \alpha_{\mu, k} u_k(a) + \beta_{\mu, k} u_k(b)\right],

matrice

(\alpha,\beta)=\left({\begin{array}{llllll}\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,n}&\beta _{1, 1}&\dots &\beta _{1,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\\alpha _{n,1}&\dots &\alpha _ {n,n}&\beta _{n,1}&\puncte &\beta _{n,n}\\\end{array}}\right)

are rang , sunt date numere. [9] $n$ $\gamma_{\mu}$

Metode numerice de rezolvare

Majoritatea metodelor numerice pentru rezolvarea problemelor cu valori la limită au fost dezvoltate pentru ecuații de ordinul doi.

Metoda de tragere (reducere la zero) . Se rezolvă problema Cauchy , în care una dintre condițiile inițiale coincide cu condiția la limită, iar a doua depinde de parametru. Valoarea parametrului este aleasă astfel încât soluția să satisfacă a doua condiție la limită. Pentru a selecta un parametru, puteți utiliza, de exemplu, metoda bisecției sau metoda lui Newton . [zece]
Metoda de tragere in paralel . Este o generalizare a metodei de tragere.
Metoda diferențelor finite . Se construiește o aproximare cu diferențe finite a ecuației și a condițiilor la limită și se rezolvă un sistem de ecuații algebrice liniare . [11] [12]
Metode variaționale ( metoda lui Ritz , metoda lui Galerkin ). [13] [14] [15]
Metoda ecuațiilor integrale . Problema valorii la limită este înlocuită cu funcția lui Green cu o ecuație integrală , care este rezolvată folosind formule de cuadratura . [16]
metoda suprapunerii . Soluția problemei valorii la limită se găsește ca o combinație liniară de soluții la mai multe probleme Cauchy . [17]
Metoda sweep (a nu se confunda cu metoda sweep pentru rezolvarea sistemelor tridiagonale de ecuații algebrice liniare ). Rezolvarea problemei valorii la limită

y'' = p(x) y + q(x), \quad y'(a) = \alpha_0 y(a) + \alpha_1, \quad y'(b) = \beta_0 y(b) + \beta_1

satisface ecuația diferențială

y'(x) = \alpha_0(x) y(x) + \alpha_1(x) \quad (*)

unde funcţiile se găsesc ca soluţii la problema Cauchy $\alpha_0(x), \alpha_1(x)$

\alpha'_0(x) + \alpha_0^2(x) = p(x), \quad \alpha_0(a) = \alpha_0,

\alpha'_1(x) + \alpha_0(x) \alpha_1(x) = q(x), \quad \alpha_1(a) = \alpha_1.

Apoi se găsește ca soluție a ecuației (*) care satisface condiția inițială . [18] [19] $y(x)$ $y'(b) = \alpha_0(b) y(b) + \alpha_1(b)$

Aplicație

Problemele vibrațiilor longitudinale și de torsiune ale unei tije elastice conduc la probleme de valoare la limită pentru o ecuație de ordinul doi, în timp ce problema vibrațiilor transversale ale unei tije duce la o ecuație de ordinul al patrulea. [1] Rezolvarea ecuațiilor diferențiale parțiale folosind metoda Fourier duce la problema găsirii valorilor proprii și a funcțiilor proprii ale unei probleme cu valori la limită, precum și extinderea unei funcții arbitrare într- o serie în ceea ce privește funcțiile proprii. [douăzeci]

Ecuații cu diferențe parțiale

Notație

Fie un domeniu mărginit în cu o limită netedă pe bucăți , fie vectorul normal la graniță direcționat către exteriorul domeniului , fie derivata de-a lungul normalului, . Funcțiile îndeplinesc condițiile: $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $S$ $n$ $S$ $G$ $\frac{\partial u}{\partial n}$ $Q_{\infty} = G \times (0, \infty)$ $p, q, \alpha, \beta, \rho$

p \in C^1(\bar G), \quad q \in C(\bar G), \quad p(x) > 0, \quad q(x) \ge 0, \quad x \in G,

\alpha \in C(S), \quad \beta \in C(S), \quad \alpha(x) \ge 0, \quad \beta(x) \ge 0, \quad \alpha(x) + \beta(x) > 0, \quad x \in S,

\rho \in C(\bar G), \quad \rho(x) > 0, \quad x \in \bar G.

Aici , este închiderea domeniului , este mulțimea de funcții care sunt continue în și este mulțimea de funcții care sunt diferențiabile continuu în . $\bar G = G \cup S$ $G$ $C(\bara G)$ $\bar G$ $C^k(\bara G)$ $k$ $\bar G$

Ecuații de tip hiperbolic

O problemă mixtă (limită) pentru o ecuație de tip hiperbolic este problema găsirii unei funcții care satisface ecuația $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \ quad (x, t) \in Q_{\infty},

condiții inițiale

u_{|t = 0} = u_0(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}_{|t = 0} = u_1(x), \quad x \in \bar G,

și starea de limită

\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} |_{S} = 0.

Pentru ca o soluție să existe, este necesar ca condițiile de netezime să fie îndeplinite

F \in C(Q_\infty), \quad u_0 \in C^1(\bar G), \quad u_1 \in C(\bar G)

și condiția de consistență

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n} = 0

Soluția problemei mixte este unică și depinde continuu de . [21] $u_0, u_1, F$

Ecuații de tip parabolic

O problemă mixtă (limită) pentru o ecuație de tip parabolic este de a găsi o funcție care satisface ecuația $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty}), \, \mbox{grad}_x\, u \in C(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\partial u}{\partial t} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},

condiția inițială

u_{t = 0} = u_0(x), \quad x \in \bar G,

și starea de limită

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = v(x, t), \quad (x, t) \in S \times [0, \infty).

Pentru ca o soluție să existe, sunt necesare următoarele condiții de netezime

F \in C(Q_{\infty}, \quad u_0 \in C(\bar G), \quad v \in C(S \times [0, \infty)),

și condiția de consistență

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n}|_S = v(x, 0).

Soluția problemei mixte este unică și depinde continuu de . [22] $F, u_0, v$

Ecuații de tip eliptic

Studiem următoarele probleme cu valori la limită pentru ecuația Laplace tridimensională

\Delta u=0

Fie zona să fie astfel încât . $G \in \mathbb{R}^3$ $G_1 = \mathbb{R}^3 \backslash G$

Problema internă a lui Dirichlet : găsiți o funcție care este armonică în domeniu și ia valorile date ( continue ) la graniță . $G$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_0^-$
Problemă Dirichlet externă : găsiți o funcție armonică în domeniul care ia valori date (continue) și dispare la infinit. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_0^+$
Problema interioară a lui Neumann : găsiți o funcție care este armonică într-un domeniu și are o derivată normală regulată pe una dată (continuă) . $G$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_1^-$
Problemă Neumann exterioară : găsiți o funcție armonică în domeniul care are o derivată normală regulată dată (continuă) și dispare la infinit. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_1^+$

Probleme similare cu valori la limită sunt puse pentru ecuația Poisson :

\Delta u = -f

Rezolvarea problemelor Dirichlet interioare și exterioare depinde în mod unic și continuu de datele limită. Rezolvarea problemei interne Neumann este determinată până la o constantă aditivă arbitrară. Soluția problemei exterioare Neumann este unică. [23]

Metode de rezolvare

Metoda de separare a variabilelor [24] [25]
Metoda undelor de propagare (pentru ecuații de tip hiperbolic ) [26]
Metoda funcției lui Green (pentru ecuații de tip eliptic ) [27]
Metode de diferență . [28]
Metode variaționale . [29]
Metoda elementelor finite .

Vezi și

Note

↑ 1 2 Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , p. 187.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , p. 193.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , partea a doua, capitolul I, §2.
↑ Naimark M. A. Operatori diferenţiali lineari, 1969 , Partea întâi, capitolele I, II.
↑ Naimark M. A. Operatori diferenţiali lineari, 1969 , p. 40.
↑ Naimark M. A. Operatori diferenţiali lineari, 1969 , p. 38-39.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , p. 190.
↑ Naimark M. A. Operatori diferenţiali lineari, 1969 , p. 44.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , p. 249.
↑ Kalitkin N. N. Metode numerice, 1978 , p. 262.
↑ Kalitkin N. N. Metode numerice, 1978 , p. 268.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Metode de calcul, 1959 , p. 372.
↑ Kalitkin N. N. Metode numerice, 1978 , p. 276.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Metode de calcul, 1959 , p. 391.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , p. 222.
↑ Na Ts. Metode de calcul pentru rezolvarea problemelor aplicate cu valori la limită, 1982 , capitolul 12.
↑ Na Ts. Metode de calcul pentru rezolvarea problemelor aplicate cu valori la limită, 1982 , capitolul 2.
↑ Berezin I. S., Zhidkov N. P. Computational methods, 1959 , capitolul 9, §9.
↑ Na Ts. Metode de calcul pentru rezolvarea problemelor la limită aplicate, 1982 , capitolul 3.
↑ Naimark M. A. Operatori diferenţiali lineari, 1969 , p. 88.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuațiile fizicii matematice, 2004 , §6.2.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuațiile fizicii matematice, 2004 , §6.3.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuațiile fizicii matematice, 2004 , §5.6.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuațiile fizicii matematice, 2004 .
↑ Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Equations of mathematical physics, 1999 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Ecuații ale fizicii matematice, 1999 , p. 70.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuațiile fizicii matematice, 2004 , §5.7.
↑ Samarsky A. A. Numerical methods, 1989 , partea a III-a.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Metode de calcul, 1959 , capitolul 10, §9.

Literatură

Ecuații diferențiale obișnuite

Kamke E. Manual de ecuații diferențiale ordinare. Pe. cu ea .. - ed. a IV-a, corectat .. - M . : Nauka, Ch. ed. fizica si matematica lit., 1971. - 576 p.
Naimark M. A. Operatori diferenţiali liniari. - M .: Nauka, Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1969.

Ecuații cu diferențe parțiale

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuații ale fizicii matematice. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Ecuații de fizică matematică: manual .. - ed. a 6-a, Rev. și suplimentare .. - M . : Editura Universității de Stat din Moscova, 1999. - 798 p. — ISBN 5-211-04138-0 .

Metode numerice

Na Ts . Metode de calcul pentru rezolvarea problemelor la limită aplicate. Pe. din engleză.- M . : Mir, 1982. - 286 p.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Metode de calcul. Volumul II. - M .: Stat. Editura de Fizică și Matematică, 1959.
Kalitkin N. N. Metode numerice. — M .: Nauka, 1978.
Gulin A. V. , Samarsky A. A. Metode numerice: manual pentru universități. - M . : Știință, cap. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1989. - 432 p. — ISBN 5-02-013996-3 .