Impuls unghiular

impuls unghiular
${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}\,$
Dimensiune	L 2 MT -1
Unități
SI	m 2 kg / s _
GHS	cm 2 g / s _
Note
pseudovector

Momentul unghiular ( momentul relativ la un punct , de asemenea: momentul cinetic , momentul unghiular , momentul orbital , momentul unghiular ) este o mărime fizică care caracterizează cantitatea de mișcare de rotație și depinde de cât de mult se rotește masa , de modul în care este distribuită în spațiu și cu ce rotație cu viteză unghiulară are loc [1] .

Pentru un punct material, momentul unghiular este egal cu produsul vectorial dintre vectorul razei punctului și impulsul său , pentru un sistem de puncte - suma acestor produse. Notatie standard: , unitate SI : m 2 kg/s. Valoarea depinde de alegerea poziției originii vectorilor de rază O. $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$

Momentul unghiular al unui sistem închis este conservat . Este una dintre cele trei integrale aditive ( energie , moment , moment unghiular) ale mișcării . În prezența forțelor externe, derivata momentului unghiular în raport cu timpul este egală cu momentul forțelor (față de același început O).

Utilizarea principală a conceptului de moment unghiular se referă la probleme care implică rotația reală (în special în prezența simetriei centrale sau axiale; atunci O este de obicei ales în centru sau pe axă). Dar valoarea poate fi calculată în alte situații, de exemplu, pentru o mișcare rectilinie a unei particule peste un punct arbitrar O, care nu se află pe linia de mișcare și este luată în mod convențional drept centru. $\mathbf{L}$

În cazul rotației unui corp rigid în jurul unei axe fixe, adesea nu se folosește momentul unghiular în sine, ci proiecția sa pe această axă - o astfel de cantitate se numește momentul unghiular în jurul axei . $L_{\parallel }$

Conceptul de moment unghiular a fost introdus inițial în mecanica clasică, dar are generalizări în mecanica cuantică și electrodinamică.

Momentul unghiular în mecanica clasică

Definiție

Momentul unghiular al unui punct material în raport cu un punct de referință este determinat de produsul vectorial dintre vectorul său rază și impulsul : $\mathbf L$

{\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {p}}

unde este vectorul rază al particulei în raport cu punctul de referință fix selectat, este impulsul particulei. $\mathbf {r}$ ${\mathbf p}$

Din definiția momentului unghiular rezultă aditivitatea acestuia: pentru un sistem format din mai multe puncte materiale,

\mathbf {L} =\sum \limits _{i}\mathbf {L} _{i}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _ {i}

Numărul de particule poate fi infinit, de exemplu, în cazul unui corp solid cu o masă distribuită.

Deoarece momentul unghiular este dat de produsul încrucișat , acesta este un pseudovector perpendicular pe ambii vectori și pe . $\mathbf {r}$ ${\mathbf p}$

Momentul unghiular poate fi calculat față de orice origine O (valorile diferite rezultate sunt legate într-un mod evident); cu toate acestea, cel mai adesea (pentru comoditate și claritate) este calculat în raport cu centrul de masă, un punct fix de rotație al unui corp rigid sau un alt punct selectat de ceva. $\mathbf{L}$

Alegerea punctului O este uneori legată de natura problemei. Deci, atunci când luăm în considerare mișcarea orbitală a unei planete în jurul Soarelui, este firesc să luăm Soarele ca origine, iar când analizăm propria sa rotație, centrul acestei planete. Desigur, se vor obține două momente unghiulare diferite: și . $\mathbf {L} _{\mathrm {orbita} }$ $\mathbf {L} _{\mathrm {rotire} }$

Calcul în cazul general

Dacă există un punct material cu o masă care se mișcă cu o viteză și situat într-un punct descris de vectorul rază , atunci momentul unghiular este calculat și prin formula $m$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v}

Pentru a calcula momentul unghiular al unui corp , acesta trebuie împărțit în bucăți infinit de mici ( - densitate) și însumați momentele lor ca momente ale momentului punctelor materiale, adică luați integrala : $dm=\rho (\mathbf {r} )dV$ $\rho$

{\displaystyle \mathbf {L} =\int \limits _{V}{\mathbf {dL} }=\int \limits _{V}{\mathbf {r} \times \mathbf {v} \,dm} =\int \limits _{V}{\mathbf {r} \times \mathbf {v} \,\rho dV))

În practică, este dat în funcție de trei coordonate și este necesar să se efectueze integrarea triplă: $\rho$

\mathbf {L} =\iiint {(x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )\times \mathbf {v} \,\rho (x,y, z)\,dx\,dy\,dz}

Dacă presupunem că este o funcție generalizată , incluzând, eventual, termeni de tip delta , atunci această formulă este aplicabilă atât sistemelor distribuite, cât și sistemelor discrete. $\rho(x,y,z)$

Carcasă cu axă fixă

O utilizare importantă a conceptului de „impuls” este mișcarea în jurul unei axe fixe. Într-o astfel de situație, adesea nu se ia în considerare momentul unghiular în sine (pseudovector), ci proiecția sa pe axă ca pseudoscalar , semnul căruia depinde de direcția de rotație:

L_{\parallel }=\pm |\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {p_{\perp }} |

Paralelismul-perpendicularitatea ( , ) se înțeleg față de axă; , . În acest caz , distanța de la axă la punctul material, numită „umăr”. Valoarea acestei proiecții, spre deosebire de momentul în sine, nu se schimbă atunci când originea O este deplasată pe axă. Pentru un sistem distribuit $\paralel$ $\perp$ $\mathbf {r} =\mathbf {r_{\perp }} +\mathbf {r_{\parallel }}$ $\mathbf {p} =\mathbf {p_{\perp }} +\mathbf {p_{\parallel }}$ $r_{\perp )$

L_{\parallel }=\pm \left|\int {\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {v_{\perp }} \,\rho dV}\right|

Dacă, în același timp, toate punctele corpului se mișcă în cercuri (se rotesc) cu aceeași viteză unghiulară , adică numeric , atunci pentru un punct material, masa sau, respectiv, pentru sistem va fi, $\omega$ $v=\omega r_{\perp )$ $m$

L_{\parallel }=\pm \omega mr_{\perp }^{2}\quad

sau .

\quad L_{\parallel}=\pm \omega \int {r_{\perp}^{2}\,\rho dV)

Mărimea este uneori numită moment unghiular în jurul axei. Simbolul paralel y și semnul dinaintea expresiei pot fi omise dacă este evident ceea ce se spune. $L_{\parallel }$ $L$

Pentru un corp absolut rigid, valoarea ultimei integrale se numește momentul de inerție în jurul axei de rotație și se notează cu . Apoi înregistrarea ia forma sau, sub formă vectorială, . Dacă se cunoaște momentul de inerție despre o axă care trece prin centrul de masă al corpului, iar rotația are loc în jurul unei alte axe paralele cu aceasta, atunci momentul de inerție necesar este găsit de teorema lui Steiner . $eu$ $\,L_{\parallel}=\pm I\omega \,$ $\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}$

Conservarea momentului unghiular

Legea conservării momentului unghiular : Momentul unghiular total în jurul oricărui punct fix pentru un sistem închis rămâne constant în timp.

Derivata momentului unghiular in raport cu timpul este momentul fortei :

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\sum _{i}{\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}\times \mathbf {p } _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\sum _{i}\ mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}=\mathbf {\tau _{ext))

Astfel, cerința ca sistemul să fie închis poate fi slăbită la cerința ca momentul principal (total peste toate particulele ) al forțelor externe să fie egal cu zero: $i$

\mathbf {L} =\mathrm {constant} \leftrightarrow \mathbf {\tau _{ext}} =0

unde este momentul forțelor aplicate sistemului de particule. (Dar desigur, dacă nu există deloc forțe externe, această cerință este, de asemenea, îndeplinită.) O lege de conservare similară este valabilă pentru momentul unghiular în jurul unei axe fixe. $\mathbf {\tau _{ext}}$

Conform teoremei lui Noether , legea conservării momentului unghiular decurge din izotropia spațiului, adică din invarianța spațiului față de rotația printr-un unghi arbitrar. Când se rotește printr-un unghi infinitezimal arbitrar , vectorul rază al particulei cu numărul se va schimba cu , iar vitezele se vor schimba cu . Funcția Lagrange a sistemului nu se va modifica în timpul unei astfel de rotații, din cauza izotropiei spațiului. De aceea $\delta \varphi$ $i$ $\delta \mathbf {r} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i)$ $\delta \mathbf {v} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {v} _{i)$ ${\mathcal L}$

\delta \mathcal L = \mathcal L(\mathbf{r}_i + \delta\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i + \delta\mathbf{v}_i) - \mathcal L(\ mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i) = \sum \limits_i \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} \delta \varphi \times\mathbf r_i + \ frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf v_i} \delta \varphi \times \mathbf v_i \right)=0.

Ținând cont de , unde este impulsul generalizat al particulei --a, fiecare termen din suma din ultima expresie poate fi rescris ca $\frac{\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf v_{i}}} = \mathbf {p_{i}},\; \frac{\partial \mathcal {L}}{\partial \mathbf {r_{i}}} = \mathbf {\dot p_{i}}$ ${\mathbf p}_{i}$ $i$

\dot {\mathbf p_i} \,\delta \varphi \times \mathbf r_i + \mathbf p_i\,\delta \varphi \times \mathbf {\dot r_i}.

Acum, folosind proprietatea produsului mixt , efectuăm o permutare ciclică a vectorilor, în urma căreia obținem, eliminând factorul comun:

\delta \mathcal L = \delta \varphi \sum \limits_i \left( \mathbf r_i \times \dot {\mathbf p_i} + \dot {\mathbf r_i} \times \mathbf p_i \right) = \delta \varphi \frac{d}{dt} \sum \limits_i (\mathbf r_i \times \mathbf p_i) = \delta \varphi \frac{d \mathbf L}{dt} = 0,

unde este momentul unghiular al sistemului. Având în vedere arbitrariul lui , rezultă din egalitate $\mathbf L = \sum \mathbf L_i = \sum \mathbf r_i \times \mathbf p_i$ $\delta \varphi$ $\delta \mathcal L = 0$ ${\frac {d\mathbf {L} {dt}}=0.$

Concepte înrudite

Când se analizează problemele legate de rotație, apar conceptele care au fost parțial menționate mai sus:

moment unghiular relativ la axă (termenul este format din patru cuvinte) - proiecția momentului unghiular pe axă;
momentul de inerție al unui corp rigid (vezi și momentele de inerție ale unor corpuri );
moment al forței (aka: cuplu, moment de rotație, moment de răsucire);
impulsul momentului de forță (unitate - N m s ) - o măsură a impactului momentului de forță față de o axă dată pentru o anumită perioadă de timp (în mișcare de rotație ). $\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {r} \times \mathbf {F} (t)\;dt$

În ciuda consonanței cu „momentum”, aceste concepte nu sunt sinonime cu termenul „momentum” și au un sens independent.

Momentul unghiular în electrodinamică

Când se descrie mișcarea unei particule încărcate într- un câmp electromagnetic, impulsul canonic nu este invariant . În consecință, și momentul unghiular canonic nu este invariant. Apoi se ia impulsul real, care se mai numește și „impulsul cinetic”: $p$ $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

\mathbf {p} - {\frac {e\mathbf {A} {c)),

unde este sarcina electrică , este viteza luminii , este potențialul vectorial . Astfel, Hamiltonianul (invariant) al unei particule de masă încărcată într-un câmp electromagnetic este: $e$ $c$ $A$ $m$

H =\frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right)^2 + e\varphi,

unde este potentialul scalar . Din acest potențial rezultă legea lui Lorentz . Momentul unghiular invariant sau „momentul unghiular cinetic” este definit după cum urmează: $\varphi$

K= \mathbf{r} \times \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right).

Momentul unghiular în mecanica cuantică

Operator de moment

În mecanica cuantică , momentul unghiular este cuantificat , ceea ce înseamnă că se poate schimba doar în „niveluri cuantice” între valori definite cu precizie. Proiecția pe orice axă a momentului unghiular al particulelor, datorită mișcării lor spațiale, trebuie să fie un număr întreg înmulțit cu ( cu o bară - constanta lui Planck împărțită la ). $\hbar$ $h$ $2\pi$

Experimentele arată că majoritatea particulelor au un moment unghiular intern constant, care este independent de mișcarea lor prin spațiu. Acest moment unghiular de spin este întotdeauna un multiplu al fermionilor și bosonilor . De exemplu, un electron în repaus are un moment unghiular . [2] $\hbar/2$ $\hbar$ $\hbar/2$

În definiția clasică, momentul unghiular depinde de 6 variabile , , , , și . Traducând acest lucru în definiții mecanice cuantice, folosind principiul de incertitudine al lui Heisenberg , constatăm că nu este posibil să se calculeze toate cele șase variabile simultan cu nicio precizie . Prin urmare, există o limită a ceea ce putem învăța sau calcula despre momentul unghiular practic. Aceasta înseamnă că cel mai bun lucru pe care îl putem face este să calculăm simultan mărimea vectorului moment unghiular și oricare dintre componentele sale (proiecții). $r_{x)$ $r_{y)$ $r_{z)$ $p_{x}$ $p_{y}$ $p_{z}$

Din punct de vedere matematic, momentul unghiular total în mecanica cuantică este definit ca operatorul unei mărimi fizice din suma a două părți asociate cu mișcarea spațială - în fizica atomică, un astfel de moment se numește orbital și, respectiv, spinul intern al unei particule, a învârti. Primul operator acționează asupra dependențelor spațiale ale funcției de undă:

{\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}

unde și sunt operatorii de coordonate și, respectiv, de impuls, iar al doilea este pentru spin intern. În special, pentru o singură particulă fără sarcină electrică și fără spin , operatorul momentului unghiular poate fi scris ca: $\hat{\mathbf{r}}$ $\hat{\mathbf{p}}$

{\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )

unde este operatorul nabla . Aceasta este o formă comună a operatorului de moment unghiular, dar nu cea mai importantă, are următoarele proprietăți: $\nabla$

[L_i,\; L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k, \quad\left[L_i,\; \mathbf{L}^2 \right] = 0

unde este Simbolul lui Levi-Civita ; $\varepsilon_{ijk}$

și substituții chiar mai importante cu Hamiltonianul unei particule fără sarcină și spin:

\left[L_i,\; H \dreapta] = 0

Simetria rotației

Operatorii de impuls sunt frecvent întâlniți în rezolvarea problemelor de simetrie sferică în coordonate sferice . Apoi momentul unghiular în reprezentarea spațială:

-{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\mathbf {L} ^{2}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{ \partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\ frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.

Când sunt găsite valorile proprii ale acestui operator, se obține următoarele:

L^{2}\mid l,\;m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)\mid l,\;m\rangle ,

L_z \mid l,\; m \rang = \hbar m \mid l,\; m\a sunat,

unde , sunt numere întregi astfel încât a sunt funcții sferice ale . $l$ $m$ $-l\leq m\leq l,$ $\lang\theta ,\; \varphi \midl,\; m \rang = Y_{l,\;m}(\theta,\;\varphi)$

Note

↑ Pivarski, Jim Spin . Revista Symmetry (martie 2013). Consultat la 28 aprilie 2014. Arhivat din original pe 15 aprilie 2014. (nedefinit)
↑ [ Informații de pe site-ul web al Comitetului Nobel (engleză) . Consultat la 3 noiembrie 2017. Arhivat din original la 18 mai 2008. (nedefinit) Informații de pe site-ul web al Comitetului Nobel (engleză) ]

Literatură

Biedenharn L., Lauck J. Momentul unghiular în fizica cuantică. Teorie și aplicații. - M. : Mir, 1984. - T. 1. - 302 p.
Blokhintsev D. I. Fundamentele mecanicii cuantice. — M .: Nauka, 1976. — 664 p.
Boum A. Mecanica cuantică: fundamente și aplicații. — M .: Mir, 1990. — 720 p.
Varshalovich D. A. , Moskalev A. N., Khersonsky V. K. Teoria cuantică a momentului unghiular . - L . : Nauka, 1975. - 441 p.
Zar R. Teoria momentului unghiular. Despre efectele spațiale în fizică și chimie. — M .: Mir, 1993. — 352 p.