Forța Lorentz

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 7 octombrie 2022; verificările necesită 7 modificări .

Forța Lorentz este forța cu care câmpul electromagnetic , conform electrodinamicii clasice (non-cuantice) [1] , acționează asupra unei particule încărcate punctiforme [2] [3] . Uneori, forța Lorentz se numește forța care acționează asupra unei sarcini care se mișcă cu o viteză numai din partea câmpului magnetic , adesea forța completă - din partea câmpului electromagnetic în general [4] , cu alte cuvinte, din partea laterală. a câmpurilor electrice și magnetice . În Sistemul Internațional de Unități (SI) se exprimă ca [5] [2] : $\mathbf{v}$ $q\$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

${\vec {\mathbf {F} }}=q\left({\vec {\mathbf {E} }}+[{\vec {\mathbf {v} }}, {\vec {\mathbf {Luminos).$

Forța electromagnetică care acționează asupra unei sarcini q este o combinație între o forță care acționează în direcția câmpului electric , care este proporțională cu mărimea câmpului și cantitatea de sarcină, și o forță care acționează în unghi drept cu câmpul magnetic și viteza , care este proporțională cu mărimea câmpului magnetic, a sarcinii și a vitezei. Variațiile acestei formule de bază descriu forța magnetică asupra unui conductor care transportă curent (uneori numită forța Laplace), forța electromotoare dintr-o buclă de sârmă care se deplasează printr-o zonă cu un câmp magnetic ( legea inducției lui Faraday ) și forța asupra mișcarea particulelor încărcate. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{v}$

Istoricii științei sugerează că această lege a fost implicată într-un articol al lui James Clerk Maxwell , publicat în 1865 [6] . Hendrik Lorenz a dat o derivație completă a acestei formule în 1895 [7] , după ce a determinat contribuția forței electrice la câțiva ani după ce Oliver Heaviside a identificat corect contribuția forței magnetice [8] [9] .

Pentru forța Lorentz, precum și pentru forțele de inerție , a treia lege a lui Newton nu este valabilă (acest lucru este adevărat numai dacă magnetul care creează câmpul nu este considerat ca parte a sistemului). Numai prin reformularea acestei legi a lui Newton ca lege de conservare a impulsului într-un sistem închis de particule și un câmp electromagnetic, este posibil să-i restabilim valabilitatea pentru forțele Lorentz [10] .

O derivare completă a unei astfel de afirmații necesită o definiție a conceptului de „impuls de câmp”, și poate singura modalitate de a face acest lucru este teorema lui Emma Noether (și conceptul strâns legat de tensorul energiei-impuls) în clasic (non-cuantic). ) teoria câmpului în formalismul lagrangian. Cu toate acestea, impulsul caracteristic al câmpului/undei („presiunea luminii”) este de c ori mai mic decât energia sa caracteristică, unde c este viteza luminii și, în multe aplicații reale, tehnice este o cantitate extrem de mică. Ce înseamnă valabilitatea ZSI pentru o singură substanță încărcată și, la rândul său, dacă substanța constă din doar 2 puncte materiale - validitatea celei de-a treia legi a lui Newton (este echivalent cu ZSI pentru un sistem închis, care este un pereche de puncte/corpi materiale).

Forța Lorentz ca definiție a lui E și B

Multe manuale despre electromagnetism folosesc forța Lorentz ca definiție a câmpurilor electrice și magnetice E și B [11] [12] [13] . În special, forța Lorentz este înțeleasă ca următoarea afirmație empirică:

Forța electromagnetică F , care acționează asupra sarcinii de testare la un punct și un timp dat, este o funcție definită a sarcinii sale q și a vitezei v , care poate fi parametrizată de exact doi vectori E și B în formă funcțională :

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )

Această expresie este valabilă și pentru cazul unei particule care se mișcă cu o viteză apropiată ca mărime de viteza luminii ( v = | v | ≈ c ). [14] Astfel, două câmpuri vectoriale E și B sunt definite în tot spațiul și timpul și sunt numite „câmp electric” și „câmp magnetic”. Câmpurile sunt definite în spațiu și timp în funcție de forța experimentată de o sarcină de testare plasată într-un câmp electromagnetic.

Ca definiție a lui E și B , forța Lorentz este doar o definiție în principiu, deoarece o particulă reală (spre deosebire de un corp de testare ipotetic de masă și sarcină infinitezimală) își va crea propriile câmpuri finite E și B , schimbând forța electromagnetică. experimentează. În plus, o sarcină într-un câmp magnetic se mișcă de obicei de-a lungul unei căi curbe, adică cu accelerație - ceea ce înseamnă că emite radiații și pierde energie cinetică (a se vedea, de exemplu, articolele bremsstrahlung sau radiația sincrotron ). Aceste efecte apar atât datorită acțiunii directe (așa-numita forță de reacție a radiațiilor ), cât și indirecte (prin afectarea mișcării sarcinilor și curenților din apropiere).

Ecuația

Particulă încărcată

Forța F care acționează asupra unei particule cu sarcină electrică q și viteza instantanee v datorită câmpului electric extern E și câmpului magnetic B este dată de (în unități SI ): [15]

${\vec {\mathbf {F} }}=q({\vec {\mathbf {E} }}+[{\vec {\mathbf {v} }}, {\vec {\mathbf {B } }}])$

unde semnul x indică produsul încrucișat (toate cantitățile îngroșate sunt vectori). În Componente carteziene

F_{x}=q(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}),

F_{y}=q(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}),

F_{z}=q(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}).

În general, câmpurile electrice și magnetice depind de coordonate și timp. Prin urmare, în formă explicită, forța Lorentz poate fi scrisă ca

\mathbf {F} \left(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r)} ,t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} , t)+\mathbf {\punct {r)) \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]

unde r este vectorul de poziție al particulei încărcate, t este timpul și punctul indică derivata timpului.

O particulă încărcată pozitiv va accelera în aceeași direcție cu câmpul E , dar traiectoria ei se va curba perpendicular atât pe vectorul viteză instantanee v , cât și pe câmpul B în conformitate cu regula braței (dacă degetele mâinii drepte sunt extinse astfel încât pentru a indica în direcția lui v și apoi curbat astfel încât să îndrepte în direcția B , apoi degetul mare întins ar îndrepta în direcția F ).

Termenul q E se numește forță electrică , iar termenul q ( v × B ) se numește forță magnetică [16] . Conform unor definiții, termenul „forță Lorentz” se referă în mod specific la formula pentru forța magnetică [17] , în timp ce formula cu forța electromagnetică totală (inclusiv forța electrică) primește un alt nume. În cele ce urmează, termenul „forță Lorentz” se va referi la expresia pentru forța totală.

Componenta magnetică a forței Lorentz se manifestă ca o forță care acționează asupra unui conductor purtător de curent plasat într-un câmp magnetic. În acest context, această forță este numită și forța Laplace.

Forța Lorentz este forța exercitată de un câmp electromagnetic asupra unei particule încărcate sau. cu alte cuvinte, viteza cu care un impuls liniar este transferat dintr-un câmp electromagnetic la o particulă. Asociată cu ea este puterea, care este viteza cu care energia este transferată din câmpul electromagnetic către particulă:

\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E}

Câmpul magnetic nu funcționează deoarece forța magnetică este întotdeauna perpendiculară pe viteza particulei.

Distribuție continuă a încărcăturii

Pentru o distribuție continuă a sarcinii în mișcare, ecuația pentru forța Lorentz ia forma diferențială

\mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!

unde este forța care acționează asupra unui element de volum mic cu o sarcină . Dacă ambele părți ale acestei ecuații sunt împărțite la volumul acestui mic fragment al distribuției de sarcină , atunci obținem expresia $\mathrm {d} \mathbf {F}$ $\mathrm {d} q$ ${\mathrm {d}}V$

\mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!

unde este densitatea forței (forța pe unitatea de volum) și este densitatea de sarcină (sarcina pe unitatea de volum). În plus, densitatea de curent corespunzătoare mișcării sarcinii este egală cu ${\mathbf {f))$ $\rho$

\mathbf {J} =\rho \mathbf {v} \,\!

astfel încât analogul continuu al ecuației pentru forța Lorentz este expresia [18]

$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,\!$

Forța completă poate fi atinsă calculând integrala volumului peste distribuția sarcinii:

\mathbf {F} =\iiint \!(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\,\mathrm {d} V\,\!

Eliminând și , folosind ecuațiile lui Maxwell cu ajutorul teoremelor de calcul vectorial , această formă a ecuației poate fi folosită pentru a deriva tensorul tensiunii Maxwell și combinând cu vectorul Poynting pentru a obține tensorul energie-impuls T al câmpului electromagnetic utilizat în general relativitatea [18] . $\rho$ ${\mathbf {J}}$ ${\boldsymbol {\sigma })$ $\mathbf {S}$

În termeni și , forța Lorentz (pe unitate de volum) poate fi scrisă ca [18] ${\boldsymbol {\sigma })$ $\mathbf {S}$

\mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\ t parțial}}\,\!

unde este viteza luminii, ∇ · denotă divergența câmpului tensor . Această ecuație leagă nu cantitatea de sarcină și viteza acesteia în câmpurile electrice și magnetice, ci fluxul de energie (fluxul de energie pe unitate de timp pe unitatea de distanță) în câmpuri cu forța care acționează asupra distribuției sarcinii. $c$

Densitatea de putere asociată cu forța Lorentz în mediul material este egală cu

\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}

Dacă împărțim sarcina totală și curentul total în părțile lor libere și legate, se dovedește că densitatea forței Lorentz este egală cu

\mathbf {f} =(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} )\mathbf {E} +(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t)))\times \mathbf {B}

unde este densitatea de încărcare liberă; - polarizare ; este densitatea actuală a taxelor gratuite; și este magnetizarea. Astfel, forța Lorentz poate explica cuplul aplicat unui magnet permanent datorită unui câmp magnetic extern. $\rho _{f)$ ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {J} _{f)$ $\mathbf {M}$

Ecuație în unități CGS

Formulele de mai sus folosesc unități SI, care sunt cele mai comune printre experimentatori, tehnicieni și ingineri. În sistemul CGS, care este mai comun în rândul fizicienilor teoreticieni, forța Lorentz va lua forma

\mathbf {F} =q_{\mathrm {cgs} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }+{\frac {\mathbf {v} {c))\times \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }\right)

unde c este viteza luminii . Deși această ecuație arată oarecum diferită, este complet echivalentă, deoarece noile mărimi sunt legate în două sisteme de unități prin relații

q_{\mathrm {cgs} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \epsilon _{0)}}),\quad \mathbf {E} _ {\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi \epsilon _{0))}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0))}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} )),\quad c={\frac {1}{ \sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0)))).

unde ε 0 este permisivitatea vidului și μ 0 este permeabilitatea magnetică a vidului . În practică, sufixele „cgs” și „SI” sunt întotdeauna omise, iar sistemul de unități ar trebui să fie clar din context.

Cazuri speciale

Într-un câmp magnetic uniform îndreptat perpendicular pe vectorul viteză, sub influența forței Lorentz, o particulă încărcată se va mișca uniform de-a lungul unui cerc cu rază constantă (numit și girorază). Forța Lorentz în acest caz este o forță centripetă: $r$

GHS	SI
${mv^{2} \over r}={\|q\| \over c}vB\Rightarrow r={cm \over \|q\|}\cdot {v \over B}$	${mv^{2} \over r}=\|q\|vB\Rightarrow r={m \over \|q\|}\cdot {v \over B)$

Lucrarea forței Lorentz va fi zero, deoarece vectorii forță și viteză sunt întotdeauna ortogonali. La o viteză mult mai mică decât viteza luminii , frecvența circulară nu depinde de : $v\$ $\omega\$ $v\$

GHS	SI
$\omega ={\|q\|B \over mc)$	$\omega ={\|q\|B \over m}$

Dacă o particulă încărcată se mișcă într-un câmp magnetic în așa fel încât vectorul viteză formează un unghi cu vectorul de inducție magnetică , atunci traiectoria particulei este o spirală cu o rază și un pas de șurub : $v\$ $\mathbf {B}$ $\alfa\$ $r\$ $h\$

GHS	SI
$r={mc \over \|q\|}\cdot {v\sin \alpha \over B)$ , $h={2\pi \over B}\cdot {mc \over \|q\|}\cdot v\cos \alpha$	$r={m \over \|q\|}\cdot {v\sin \alpha \over B)$ , $h={2\pi \over B}\cdot {m \over \|q\|}\cdot v\cos \alpha$

Istorie

Primele încercări de cuantificare a forței electromagnetice au fost făcute la mijlocul secolului al XVIII-lea. Johann Tobias Mayer și alții au presupus în 1760 [19] că forța de la polii magnetici, ca obiectele încărcate electric, așa cum a stabilit Henry Cavendish în 1762 [20] , respectă legea inversului pătratului . Cu toate acestea, în ambele cazuri, dovada experimentală nu a fost nici completă, nici concludentă. Abia în 1784, Charles-Augustin de Coulomb , folosind o balanță de torsiune , a reușit să demonstreze definitiv că acest lucru este adevărat. [21] La scurt timp după descoperirea în 1820 de către Hans Christian Oersted a faptului că un curent electric acționează asupra unui ac magnetic, André-Marie Ampère în același an a reușit să obțină experimental o formulă pentru dependența unghiulară a forței dintre două elementele curente. [22] [23] În toate aceste descrieri, forța a fost întotdeauna descrisă în termeni de proprietăți ale materiei și distanțele dintre două mase sau sarcini, mai degrabă decât în termeni de câmpuri electrice și magnetice. [24]

Conceptul modern de câmpuri electrice și magnetice a apărut pentru prima dată în teoriile lui Michael Faraday , mai ales de succes a fost ideea lui de linii de forță, care mai târziu a primit o descriere matematică completă de către Lord Kelvin și James Clerk Maxwell . [25] Din punct de vedere modern, în formularea lui Maxwell din 1865 a ecuațiilor sale pentru câmpul electromagnetic, se poate obține o ecuație pentru forța Lorentz în raport cu curenții electrici [6] , deși pe vremea lui Maxwell nu era evident cum ecuații legate de forțele în elementele încărcate cu deplasare. J. J. Thomson a fost primul care a încercat să derive din ecuațiile de câmp ale lui Maxwell forțele electromagnetice care acționează asupra unui obiect încărcat în mișcare în ceea ce privește proprietățile obiectului și câmpurile externe. Interesat de comportamentul particulelor încărcate în raze catodice , Thomson a publicat o lucrare în 1881 în care a definit forța care acționează asupra particulelor datorită unui câmp magnetic extern ca [8]

\mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .

Thomson a dedus forma corectă de bază a formulei, dar din cauza unor erori și a unei descrieri incomplete a curentului de polarizare, a inclus un factor de scalare incorect de jumătate înaintea formulei. Oliver Heaviside a inventat notația vectorială modernă și a rescris ecuațiile de câmp ale lui Maxwell în termenii lor; el de asemenea (în 1885 și 1889) a corectat erorile în derivarea lui Thomson și a ajuns la forma corectă pentru forța magnetică care acționează asupra unei particule încărcate în mișcare. [8] [25] [26] În cele din urmă, în 1895 [7] [27] Hendrik Lorentz a venit cu o formulă modernă pentru forța electromagnetică, care includea contribuții atât din câmpurile electrice, cât și din câmpurile magnetice. Lorentz a abandonat inițial descrierea lui Maxwell despre eter și conducere. În schimb, Lorentz a subliniat diferențele dintre materie și eterul luminifer și a notat ecuațiile lui Maxwell la scară microscopică. Folosind o versiune eterică fixă a ecuațiilor lui Maxwell Heaviside și aplicând mecanica lagrangiană (vezi mai jos), Lorentz a ajuns la forma corectă și completă a legii pentru forța electromagnetică care îi poartă acum numele. [25] [28]

Traiectorii particulelor sub acțiunea forței Lorentz

În multe cazuri de interes practic, mișcarea într-un câmp magnetic a unei particule încărcate electric (de exemplu, un electron sau un ion într-o plasmă ) poate fi considerată ca o suprapunere a mișcării circulare relativ rapide în jurul unui punct care se deplasează într-o direcție. perpendicular pe câmpurile electrice și magnetice. Vitezele de deriva pot varia în funcție de starea lor de încărcare, masă sau temperatură, ceea ce poate duce la curenți electrici sau la separare chimică.

Semnificația forței Lorentz

În timp ce ecuațiile Maxwell moderne descriu modul în care particulele încărcate electric și curenții sau particulele încărcate în mișcare induc câmpuri electrice și magnetice, forța Lorentz completează această imagine prin descrierea forței care acționează asupra unei sarcini punctuale în mișcare q în prezența câmpurilor electromagnetice. [15] [29] Deși forța Lorentz descrie acțiunea lui E și B asupra unei sarcini punctuale, astfel de forțe electromagnetice nu reprezintă întreaga imagine. Particulele încărcate pot fi legate de alte forțe, în special forțele gravitaționale și nucleare. Astfel, ecuațiile lui Maxwell nu sunt separate de alte legi fizice, ci sunt legate de acestea prin densitățile de sarcină și de curent. Reacția unei încărcări punctiforme la legea lui Lorentz este un aspect; generarea lui E și B prin curenți și sarcini este alta.

În materialele reale, forța Lorentz nu descrie în mod adecvat comportamentul colectiv al particulelor încărcate, atât în principiu, cât și în termeni de calcule. Particulele încărcate din mediul material nu numai că reacționează la câmpurile E și B, dar creează și ele aceste câmpuri. Pentru a determina reacția temporală și spațială a sarcinilor, este necesar să se rezolve ecuații de transport complexe, de exemplu, ecuația Boltzmann, ecuația Fokker-Planck sau ecuațiile Navier-Stokes . De exemplu, vezi Magnetohidrodinamică , dinamica fluidelor , electrohidrodinamică , supraconductivitate , evoluție stelară . Un întreg aparat fizic a fost dezvoltat pentru a rezolva aceste probleme. Vezi, de exemplu, formulele lui Green –Kubo și funcția lui Green (teoria mai multor corpuri).

Forță asupra unui fir care transportă curent

Când un fir care transportă un curent electric este plasat într-un câmp magnetic, fiecare dintre sarcinile în mișcare care alcătuiesc curentul experimentează o forță Lorentz și împreună pot crea o forță macroscopică asupra firului (uneori numită forța Laplace ). Combinând legea Lorentz de mai sus cu definiția curentului electric, în cazul unui fir drept fix, se obține următoarea ecuație: [30]

\mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}

unde ℓ este un vector, a cărui mărime este egală cu lungimea firului, iar direcția este de-a lungul firului, combinată cu direcția curentului obișnuit I.

Dacă firul nu este drept, ci îndoit, atunci forța care acționează asupra lui se calculează aplicând această formulă fiecărei bucăți infinitezimale de sârmă d ℓ și apoi adunând toate aceste forțe prin integrare . Formal, forța rezultată care acționează asupra unui fir rigid fix prin care circulă un curent continuu I este egală cu

\mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}

Aceasta este puterea deplină. În plus, cuplul și alte efecte apar de obicei dacă firul nu este complet rigid.

O aplicație a acesteia este legea forței lui Ampère , care descrie modul în care două fire purtătoare de curent se atrag sau se resping reciproc, în funcție de direcția curentului, deoarece fiecare experimentează o forță Lorentz din câmpul magnetic creat de celălalt curent.

EMF

Forța magnetică ( q v × B ) din expresia forței Lorentz este responsabilă pentru forța electromotoare motrice (sau EMF motrice ), un fenomen care stă la baza funcționării multor generatoare electrice. Când un conductor se mișcă printr-o zonă de câmp magnetic, câmpul magnetic exercită forțe opuse asupra electronilor și nucleilor din fir, iar acest lucru creează un EMF. Termenul „EMF motor” este aplicat acestui fenomen, deoarece EMF se datorează mișcării firului.

La alte generatoare electrice, magneții se mișcă, dar conductorii nu. În acest caz, EMF se datorează forței electrice (q E ) din ecuația pentru forța Lorentz. Câmpul electric în cauză este creat de un câmp magnetic în schimbare, rezultând o fem indusă , așa cum este descris de ecuația Maxwell-Faraday . [31]

Ambele EMF, în ciuda originilor lor clar diferite, sunt descrise de aceeași ecuație, și anume EMF este rata de schimbare a fluxului magnetic prin fir. Aceasta este legea inducției electromagnetice a lui Faraday, vezi mai jos. Teoria specială a relativității a lui Einstein a fost parțial motivată de dorința de a înțelege mai bine această legătură dintre cele două efecte. [31] De fapt, câmpurile electrice și magnetice sunt fațete diferite ale unui singur câmp electromagnetic (elemente diferite ale unei singure matrice ale tensorului intensității câmpului Fij) și atunci când se trece de la un cadru inerțial de referință la altul (adică se aplică operația de schimbare a bazei la matricea Fij), o parte a câmpului vectorial electromagnetic E poate fi înlocuită complet sau parțial cu B sau invers . [32]

Forța Lorentz și legea inducției lui Faraday

Pentru o buclă de sârmă într-un câmp magnetic , legea inducției lui Faraday afirmă că forța electromotoare indusă (EMF) în fir este:

{\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}

Unde

\Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)

- flux magnetic prin buclă, B - câmp magnetic, Σ ( t ) - suprafață delimitată de un contur închis ∂Σ ( t ), la momentul t , d A - un element infinitezimal al vectorului zonă Σ ( t ) (valoarea este aria infinitului unei zone mici a suprafeței, direcția vectorului este ortogonală cu această zonă a suprafeței).

Semnul CEM este determinat de legea lui Lenz . Acest lucru este valabil nu numai pentru un fir staționar , ci și pentru un fir în mișcare .

Din legea inducției electromagnetice a lui Faraday și ecuațiile lui Maxwell , se poate obține forța Lorentz. Reversul este de asemenea adevărat: forța Lorentz și ecuațiile lui Maxwell pot fi folosite pentru a deriva legea lui Faraday .

Fie Σ ( t ) un fir de translație cu o viteză v constantă și Σ ( t ) să fie suprafața interioară a firului. EMF în jurul unui traseu închis ∂Σ ( t ) este determinată de expresia [33]

{\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q

Unde

\mathbf {E} =\mathbf {F} /q

este câmpul electric, iar d ℓ este un element vectorial infinitezimal al conturului ∂Σ ( t ).

Direcția d ℓ și d A sunt ambigue. Pentru a obține semnul corect, se folosește regula mâinii drepte , așa cum este descris în articolul Teorema Kelvin-Stokes.

Rezultatul de mai sus poate fi comparat cu legea lui Faraday a inducției electromagnetice care apare în ecuațiile lui Maxwell moderne, numită aici ecuația Maxwell-Faraday :

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\ .

Ecuația Maxwell–Faraday poate fi scrisă în formă integrală folosind teorema Kelvin–Stokes. [34]

Ecuația Maxwell-Faraday ia forma

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r},\ t)=-\ \iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {{\mathrm {d} \,\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)} \over \mathrm { d}t}

și legea lui Faraday

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r},\t)=-{ \frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r } ,\t).

Aceste două expresii sunt echivalente dacă firul nu se mișcă. Folosind regula integrală a lui Leibniz și div B = 0, se poate obține,

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r},t)=-\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))

și, folosind ecuația lui Maxwell Faraday,

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r},\t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\t)+\oint _{\partial \Sigma ( t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}

deoarece acest lucru este valabil pentru orice poziție a firului, atunci

\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r},\t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} , \t).

Legea inducției lui Faraday este valabilă indiferent dacă bucla de sârmă este rigidă și staționară, sau este în mișcare sau în proces de deformare și, de asemenea, indiferent dacă câmpul magnetic este constant în timp sau în schimbare. Cu toate acestea, există momente în care legea lui Faraday este fie inadecvată, fie dificil de utilizat, iar legea lui Lorentz trebuie aplicată.

Dacă câmpul magnetic este independent de timp și bucla conducătoare se mișcă prin câmp, fluxul magnetic ΦB care intră în buclă se poate modifica în mai multe moduri. De exemplu, dacă câmpul magnetic se modifică în funcție de poziție, iar bucla se mută într-o altă poziție cu o valoare diferită a B , - Φ B se va schimba. Alternativ, dacă bucla își schimbă orientarea față de B , atunci elementul diferențial B ⋅ d A se va schimba din cauza unghiului diferit dintre B și d A și se va schimba și F B. Ca un al treilea exemplu, dacă o parte a unui circuitul electric trece printr-un câmp magnetic omogen, independent de timp, iar cealaltă parte a circuitului rămâne staționară, atunci fluxul magnetic care conectează întregul circuit închis se poate modifica din cauza deplasării relative a poziției părților constitutive ale circuitului. în timp (suprafața ∂Σ ( t ), în funcție de timp) . În toate cele trei cazuri, legea de inducție a lui Faraday prezice apariția unei feme generate de o modificare a Φ B .

Din ecuația Maxwell-Faraday rezultă că, dacă câmpul magnetic B se modifică în timp, atunci câmpul electric E este neconservativ și nu poate fi exprimat ca gradient de câmp scalar , deoarece curba sa nu este zero. [35] [36]

Forța Lorentz în ceea ce privește potențialele

Câmpurile E și B pot fi înlocuite cu potențialul magnetic vectorial A și potențialul electrostatic ( scalar ) ϕ prin

\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

unde ∇ este gradientul, ∇⋅ este divergența, ∇ × este bucla .

Forța va fi scrisă ca

\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\dreapta].

Folosind identitatea pentru produsul triplu, această expresie poate fi rescrisă ca,

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],$

Aici coordonatele și componentele vitezei ar trebui tratate ca variabile independente, astfel încât operatorul nabla acționează numai asupra și nu asupra ; astfel, nu este nevoie să folosiți notația indicelui Feynman în ecuația de mai sus. Folosind regula lanțului, derivata totală a este: $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {A}$

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A}

deci expresia de mai sus devine

\mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{ \mathrm {d} t}}\right]

Pentru v = ẋ, ecuația poate fi rescrisă în forma convenabilă Euler-Lagrange

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\ frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\dreapta]$

unde notația

$\nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{ \partial y))+{\hat {z)){\dfrac {\partial }{\partial z))$

și

$\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y )){\dfrac {\partial }{\partial {\punct {y))))+{\hat {z)){\dfrac {\partial }{\partial {\punct {z)))}$ .

Forța Lorentz și mecanica analitică

Lagrangianul pentru o particulă încărcată cu masa m și sarcina q într-un câmp electromagnetic descrie dinamica particulei în termeni de energie , mai degrabă decât forța care acționează asupra acesteia. Expresia clasică este dată astfel: [37]

L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot { r}} -q\phi

unde A și ϕ sunt câmpuri potențiale, așa cum este indicat mai sus. Mărimea poate fi considerată ca o funcție potențială în funcție de viteza. [38] Folosind ecuațiile lui Lagrange, se poate obține din nou ecuația pentru forța Lorentz dată mai sus. $V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r)} )$

Energia potențială depinde de viteza particulei, deci forța depinde de viteză și, în consecință, nu este conservativă.

Lagrangian relativist

L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\ mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )\,\!

Acțiunea este lungimea traseului relativistă a particulei în spațiu-timp , minus contribuția de energie potențială, plus o contribuție suplimentară, care din punct de vedere mecanic cuantic este faza suplimentară pe care o primește o particulă încărcată atunci când se mișcă de-a lungul unui potențial vectorial.

Forma relativistă a forței Lorentz

Forma covariantă a forței Lorentz.

Tensor de câmp

Folosind semnătura metrică (1, −1, −1, −1) , forța Lorentz pentru sarcina q poate fi scrisă în [39] sub formă covariantă :

${\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta}U_{\beta }$

unde p α este impulsul cu patru dimensiuni , definit ca

p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{ y},p_{z}\dreapta)\,,

τ este timpul propriu al particulei, F αβ este tensorul contravariant al câmpului electromagnetic

F^{\alpha \beta}={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_ {z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

iar U este viteza covariantă a 4-urilor a particulei, definită ca:

U_{\beta}=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_ {y},-v_{z}\dreapta)\,,

unde este factorul Lorentz

\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{ \sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}

Câmpurile sunt transformate într-un sistem care se deplasează în raport cu sistemul staționar cu o viteză constantă folosind:

F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta}F^{\alpha \beta }\ ,,

unde Λ μ α este tensorul transformării Lorentz .

Traducere în notație vectorială

α = 1 componenta ( x -componenta ) a fortei este

{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta}F^{1\beta}=q\left(U_{0} F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\dreapta).

Inlocuind componentele tensorului covariant al campului electromagnetic F se obtine

{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{ c}}\dreapta)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\dreapta].

Folosind componentele covariantei cu patru viteze

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}&=q\gamma \left[c\left({\frac { E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]\\&=q\ gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)\\&=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf { v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.\end{aligned}}

Calculul pentru α = 2 , 3 (componentele forței în direcțiile y și z ) conduce la rezultate similare, deci combinând cele 3 ecuații într-una singură:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {Luminos)\,,

și deoarece diferențele în timpul coordonatelor dt și timpul propriu dτ sunt legate de factorul Lorentz,

dt=\gamma (v)d\tau \,,

În sfârșit, poți scrie

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \dreapta)\,.

Aceasta este exact legea lui Lorentz, dar p este o expresie relativistă,

\mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.

Forța Lorentz în algebra spațiu-timp (STA)

[ verifica traducerea ! ] Câmpurile electrice și magnetice depind de viteza observatorului, astfel încât forma relativistă a legii lui Lorentz poate fi demonstrată cel mai bine dintr-o expresie independentă de coordonate pentru câmpurile electromagnetice și magnetice. , și o direcție arbitrară a timpului, . Cu ajutorul algebrei spațiu-timp (sau algebrei spațiu-timp geometrice), precum algebra Clifford definită în spațiul pseudo-euclidian [40] , scriem ${\mathcal {F}}$ $\gamma _{0}$

\mathbf {E} =({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0})\gamma _{0}

și

i\mathbf {B} =({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0})\gamma _{0}

${\mathcal {F}}$ este un bivector spațiu-timp (un segment plat orientat, prin analogie cu un vector, care este un segment de linie orientat) care are șase grade de libertate corespunzătoare boosturilor (rotații în planurile spațiu-timp) și rotațiilor (rotații în spațiu). -avioane spaţiale). Produsul punctual cu un vector trage un vector (în algebra spațială) din partea translațională, în timp ce produsul exterior creează un trivector (în algebra spațială) care este dual cu vectorul, care este vectorul obișnuit al câmpului magnetic. Viteza relativistă este dată de modificări (ca timp) ale vectorului de coordonate timp , unde $\gamma _{0}$ $v={\dot {x}}$

v^{2}=1,

(care arată alegerea noastră de metrică), iar viteza este

\mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).

Forma corectă (invariant este un termen inadecvat deoarece nu a fost definită nicio transformare) formă a legii lui Lorentz

$F=q{\mathcal {F}}\cdot v$

Aici ordinea este importantă deoarece între un bivector și un vector produsul punctual este antisimetric. Cu această împărțire a spațiu-timp, se poate obține viteza și câmpurile, așa cum s-a indicat mai sus, care dă expresia obișnuită.

Forța Lorentz în relativitatea generală

În teoria generală a relativității , ecuația de mișcare a unei particule cu masă și sarcină care se mișcă în spațiu cu un tensor metric și un câmp electromagnetic este dată ca $m$ $e$ $g_{{ab}}$ $F_{ab)$

m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb} u^{b}\;,

unde ( este luat de-a lungul traiectoriei), , și . $u^{a}=dx^{a}/ds$ $dx^{a)$ $g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}$ $ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b)$

Ecuația poate fi scrisă și ca

m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b}\;,

unde sunt simbolurile Christoffel (conexiune metrică fără torsiune în relativitatea generală) sau ca $\Gamma _{abc)$

m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b}\;,

unde este diferența covariantă în relativitatea generală (metrică, fără torsiune). $D$

Aplicații

Forța Lorentz este prezentă în multe dispozitive, inclusiv:

Principala aplicație a forței Lorentz (mai precis, cazul său special - forța Ampère ) sunt mașinile electrice (motoare electrice și generatoare). Forța Lorentz este utilizată pe scară largă în instrumentele electronice pentru a acționa asupra particulelor încărcate ( electroni și uneori ioni ), cum ar fi tuburile cu raze catodice de televiziune , precum și în spectrometria de masă și generatoarele MHD .
Forța Lorentz este folosită și în acceleratoarele de particule : stabilește orbita de-a lungul căreia se mișcă aceste particule.
Forța Lorentz este folosită în gun rail .
Velocimetria Lorentz este o măsurătoare fără contact a vitezei unui fluid conductor.
Ciclotroni și alți acceleratori de particule cu mișcare circulară
Spectrometre de masă
Filtre de viteza
Magnetroni

Vezi și

Frecarea radiațiilor

Note

↑ Afanasiev, G. N. Probleme vechi și noi în teoria efectului Aharonov-Bohm // Fizica particulelor elementare și a nucleului atomic. - 1990. - T. 21 . - S. 172-250 . Arhivat din original pe 12 februarie 2022.
↑ 1 2 Forța Lorentz / V. S. Bulygin // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.
↑ M. A. Miller, E. V. Suvorov. Forța Lorentz // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică (vol. 1-2); Marea Enciclopedie Rusă (vol. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ O astfel de dualitate în folosirea termenului de „forță Lorentz” se datorează, evident, unor motive istorice: adevărul este că forța care acționează asupra unei sarcini punctiforme numai din câmpul electric era cunoscută cu mult înainte ca Legea lui Lorentz - Coulomb să fie descoperită în 1785. Lorentz, în schimb, a obținut o formulă generală pentru acțiunea atât a câmpurilor electrice, cât și a câmpurilor magnetice, care diferă de cea anterioară doar prin expresia pentru câmpul magnetic. Prin urmare, ambele, destul de logic, sunt numite pe numele lui.
↑ Câmpul H este măsurat în amperi pe metru (A/m) în unități SI și în oersteds (Er) în unități CGS. Sistemul internațional de unități (SI) . Referință NIST despre constante, unități și incertitudine . Institutul Național de Standarde și Tehnologie. Preluat la 9 mai 2012. Arhivat din original la 31 decembrie 2016. (nedefinit)
↑ 1 2 Huray, Paul G. Ecuațiile lui Maxwell . - Wiley-IEEE, 2010. - P. 22. - ISBN 978-0-470-54276-7 . Arhivat pe 21 noiembrie 2021 la Wayback Machine
↑ 1 2 Per F. Dahl, Flash of the Cathode Rays: A History of JJ Thomson's Electron , CRC Press, 1997, p. zece.
↑ 1 2 3 Paul J. Nahin, Oliver Heaviside Arhivat la 3 aprilie 2021 la Wayback Machine , JHU Press, 2002.
↑ Bolotovsky B.M. Oliver Heaviside . - Moscova: Nauka, 1985. - S. 43-44. — 260 p. Arhivat pe 14 martie 2022 la Wayback Machine
↑ Matveev A. N. Mecanica și teoria relativității. - Ed. a 3-a. - Scoala Superioara M. 1976. - S. 132.
↑ Vezi, de exemplu, Jackson, pp. 777-8.
↑ JA Wheeler. Gravitația . - W.H. Freeman & Co, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 . . Acești autori folosesc forța Lorentz sub formă de tensor ca definitor al tensorului electromagnetic F , la rândul lor câmpurile E și B .
↑ IS Grant. electromagnetism. - John Wiley & Sons, 1990. - P. 122. - ISBN 978-0-471-92712-9 .
↑ IS Grant. electromagnetism. - John Wiley & Sons, 1990. - P. 123. - ISBN 978-0-471-92712-9 .
↑ 1 2 Vezi Jackson, pagina 2. Cartea enumeră cele patru ecuații moderne ale lui Maxwell și apoi afirmă: „De asemenea, esențială pentru luarea în considerare a mișcării particulelor încărcate este ecuația forței Lorentz, F = q ( E + v × B ), care dă forța care acționează asupra unei sarcini punctiforme q în prezența câmpurilor electromagnetice.”
↑ Vezi Griffiths, pagina 204.
↑ De exemplu, vezi site- ul web al Institutului Lorentz Arhivat 17 decembrie 2021 la Wayback Machine sau Griffiths.
↑ 1 2 3 Griffiths, David J. Introduction to electrodynamics . — al 3-lea. - Upper Saddle River, New Jersey [ua] : Prentice Hall, 1999. - ISBN 978-0-13-805326-0 .
↑ Delon, Michel. Enciclopedia Iluminismului . - Fitzroy Dearborn Publishers, 2001. - P. 538 . — ISBN 157958246X .
↑ Goodwin, Elliot H. The New Cambridge Modern History Volume 8: The American and French Revolutions, 1763–93. - Cambridge University Press, 1965. - P. 130. - ISBN 9780521045469 .
↑ Meyer, Herbert W. A History of Electricity and Magnetism. - Biblioteca Burndy, 1972. - P. 30–31. — ISBN 0-262-13070-X .
↑ Verschuur, Gerrit L. Hidden Attraction: The History And Mystery of Magnetism. — Oxford University Press, 1993. — P. 78–79 . — ISBN 0-19-506488-7 .
↑ Darrigol Olivier. Electrodinamica de la Ampere la Einstein. - Oxford University Press, 2000. - P. 9 , 25. - ISBN 0-19-850593-0 .
↑ Verschuur, Gerrit L. Hidden Attraction: The History And Mystery of Magnetism . - Oxford University Press, 1993. - ISBN 0-19-506488-7 .
↑ 1 2 3 Darrigol, 2000 , p. 126–131 , 139–144.
↑ Heaviside, Oliver (aprilie 1889). „Despre efectele electromagnetice datorate mișcării electrificării printr-un dielectric” . Revista Filosofică . Arhivat din original pe 21.02.2021 . Consultat 2021-03-15 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ Lorentz, Hendrik Antoon, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern , 1895.
↑ Whittaker E.T. O istorie a teoriilor eterului și electricității: de la epoca lui Descartes până la sfârșitul secolului al XIX-lea . - Longmans, Green and Co., 1910. - P. 420-423. — ISBN 1-143-01208-9 .
↑ Vezi Griffiths, pagina 326, care afirmă că ecuațiile lui Maxwell, „împreună cu legea forței [Lorentz]... rezumă întregul conținut teoretic al electrodinamicii clasice”.
↑ Experimente de fizică . www.physicsexperiment.co.uk . Preluat la 14 august 2018. Arhivat din original la 8 iulie 2018.
↑ 1 2 Vezi Griffiths, paginile 301-3.
↑ Tai L. Chow. Teoria electromagnetică . - Sudbury MA : Jones și Bartlett, 2006. - P. 395. - ISBN 0-7637-3827-1 . Arhivat pe 3 aprilie 2021 la Wayback Machine
↑ Landau, LD, Lifshitz, EM, & Pitaevskiĭ, LP Electrodinamica mediilor continue; Volumul 8 Curs de Fizică Teoretică . - Al doilea. - Oxford : Butterworth-Heinemann, 1984. - P. §63 (§49 p. 205–207 în ediția din 1960). - ISBN 0-7506-2634-8 .
↑ Roger F. Harrington. Introducere în ingineria electromagnetică . - Mineola, New York: Dover Publications, 2003. - P. 56. - ISBN 0-486-43241-6 . Arhivat pe 3 aprilie 2021 la Wayback Machine
↑ MNO Sadiku. Elemente de electromagnetică . - Al patrulea. — NY/Oxford: Oxford University Press, 2007. — P. 391. — ISBN 978-0-19-530048-2 . Arhivat pe 3 aprilie 2021 la Wayback Machine
↑ Landau, 1984 , p. §63.
↑ Classical Mechanics (Ediția a II-a), TWB Kibble, European Physics Series, McGraw Hill (Marea Britanie), 1973, ISBN 0-07-084018-0 .
↑ Lanczos, Cornelius, 1893-1974. Principiile variaționale ale mecanicii. - Al patrulea. - New York, ianuarie 1986. - ISBN 0-486-65067-7 .
↑ Jackson, JD Capitolul 11
↑ Hestenes. Calcul spațiu-timp . Preluat la 15 martie 2021. Arhivat din original la 09 mai 2021. (nedefinit)

Literatură

Feynman, Richard Phillips. Prelegerile Feynman despre fizică (3 vol.) / Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. Sands. - Pearson / Addison-Wesley, 2006. - ISBN 0-8053-9047-2 . : volumul 2.
Griffiths, David J. Introducere în electrodinamică. - Prentice-Hall, 1999. - ISBN 0-13-805326-X .
Jackson, John David. Electrodinamica clasica . - Wiley, 1999. - ISBN 0-471-30932-X .
Serway, Raymond A. Fizica pentru oameni de știință și ingineri, cu fizica modernă / Raymond A. Serway, John W., Jr. Jewett. — Thomson Brooks/Cole, 2004. — ISBN 0-534-40846-X .
Srednicki, Mark A. Teoria câmpului cuantic. - Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-86449-7 .

Link -uri

Determinarea direcției forței Lorentz. Regula șurubului dreapta pe YouTube