Fracție continuă

O fracție continuă (sau fracție continuă ) este o expresie matematică finită sau infinită de forma

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1 }{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots )))))),

unde este un întreg , iar restul sunt numere naturale (întregi pozitive) [1] . În acest caz, numerele se numesc câte incomplete sau elemente ale fracției continuate [2] . $a_{0}$ $un$ $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

Orice număr real poate fi reprezentat ca o fracție continuă (finită sau infinită). Un număr este reprezentat ca o fracție continuă finită dacă și numai dacă este rațional .

Scopul principal (dar în niciun caz singurul) al fracțiilor continuate este acela de a vă permite să găsiți aproximări bune ale numerelor reale sub formă de fracții obișnuite. Fracțiile continuate sunt utilizate pe scară largă în teoria numerelor și matematica computațională , iar generalizările lor s-au dovedit extrem de utile în calcul și alte ramuri ale matematicii. Ele sunt, de asemenea, utilizate în fizică, mecanică cerească , inginerie și alte domenii aplicate de activitate.

Expansiunea continuă a fracțiunilor

Orice număr real poate fi reprezentat printr-o fracție continuă (finită sau infinită, periodică sau neperiodică) , unde $X$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

a_{0}=\lfloor x\rfloor ,\quad x_{0}=x-a_{0},

a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,\quad x_{1}={\frac {1}{x_{0}}} -a_{1},

\dots

a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,\quad x_{n}={\frac {1}{x_{n- 1}}}-a_{n},

\dots

unde denotă partea întreagă a numărului . $\lfloor x\rfloor$ $X$

Pentru un număr rațional, această expansiune se termină când ajunge la zero pentru unele . În acest caz, este reprezentată printr-o fracție continuă finită . Un algoritm eficient pentru conversia unei fracții comune într-o fracție continuă este algoritmul lui Euclid . Reprezentarea fracție continuă a unui număr rațional este ambiguă: dacă algoritmul dat aici produce o fracție continuă , atunci fracția continuă corespunde aceluiași număr. $X$ $x_{n}$ $n$ $X$ $x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ $[\dots ,a_{n}]$ $[\dots ,a_{n}-1,1]$

Pentru irațional , toate cantitățile vor fi diferite de zero și procesul de expansiune poate fi continuat pe termen nelimitat. În acest caz, este reprezentată de o fracție continuă infinită . Dacă șirul constă dintr-o mulțime care se repetă la infinit de aceleași numere (perioadă), atunci fracția continuă se numește periodică. Un număr este reprezentat printr-o fracție continuă periodică infinită dacă și numai dacă este o iraționalitate pătratică , adică o rădăcină irațională a unei ecuații pătratice cu coeficienți întregi. $X$ $x_{n}$ $X$ $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

Fracții adecvate

A n- a („n-a”) fracție potrivită pentru o fracție continuă se numește o fracție continuă finită , a cărei valoare este un număr rațional . Fracțiile corespunzătoare cu numere pare formează o succesiune crescătoare, a cărei limită este . În mod similar, convergentele cu numere impare formează o secvență descendentă, a cărei limită este, de asemenea, egală cu . Astfel, valoarea unei fracții continue este întotdeauna între valorile convergentelor învecinate. $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ $[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ $p_{n}/q_{n}$ $X$ $X$

Euler a derivat formule recursive pentru calcularea numărătorilor și numitorilor convergenților:

p_{{-1}}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{{n-1}}+p_{{n-2}} ;

q_{{-1}}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{{n-1}}+q_{{n-2}}.

Astfel, marimile si sunt polinoame din , numite continuante : $p_n$ $q_{n}$ $a_{0},a_{1},\dots,a_{n)$

p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\dots,a_{n}),

q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\dots, a_{n}).

Secvențele atât ale numărătorilor , cât și ale numitorilor convergenților sunt strict crescătoare. $\{p_{n}\}$ $\{q_{n}\}$

Numătorii și numitorii convergenților vecini sunt legați prin relație

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.

(unu)

Fracțiile adecvate, după cum se poate observa din această relație, sunt întotdeauna ireductibile . Să rescriem relația în forma

{\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}={\frac {(-1) ^{{n-1}}}{q_{{n-1}}q_{n}}}.

Rezultă [3] că

\left|x-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}\right|<{\frac {1}{q_{{n-1}}q_{ n}}}<{\frac {1}{q_{{n-1}}^{2}}}.

Aproximarea numerelor reale prin numere raționale

Fracțiile continue vă permit să găsiți eficient aproximări raționale bune ale numerelor reale. Și anume, dacă un număr real este extins într-o fracție continuă, atunci convergentele sale vor satisface inegalitatea $X$

\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.

Consecințe [4] :

O fracție adecvată este cea mai bună aproximare a numărului inițial dintre toate fracțiile al căror numitor nu depășește $p_{n}/q_{n}$ $q_{n}.$
Măsura iraționalității oricărui număr irațional este cel puțin 2.

Exemple

Să extindem numărul într-o fracție continuă și să îi calculăm convergentele: $\pi =3{,}14159265\dots$

3,\ {\frac {22}{7)),\ {\frac {333}{106)),\ {\frac {355}{113)),\ {\frac {103993}{33102 }},\ \dots

A doua convergentă este binecunoscuta aproximare arhimediană. A patra fracție adecvată a fost obținută pentru prima dată în China antică . $22/7$ $355/113$

Proprietățile raportului de aur

Următoarea este o descompunere a secțiunii de aur :

\Phi =[1;1,1,1,\dots ].

Un rezultat interesant, care decurge din faptul că expresia fracție continuă pentru nu folosește numere mai mari de 1, este că este unul dintre cele mai „prost” aproximații numere. Mai precis, teorema Hurwitz [5] afirmă că orice număr real poate fi aproximat printr-o fracție în așa fel încât $\Phi$ $\Phi$ $r$ $m/n$

\left|r-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{n^{2}{\sqrt {5}}}}.

Deși practic toate numerele reale au un număr infinit de aproximări care sunt mult mai mici decât această limită superioară, aproximațiile pentru (adică numerele 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 etc.) în limita lor ajungeți la această limită [6] , păstrând distanța aproape exact de la , astfel nu producând niciodată aproximări atât de bune ca, de exemplu, 355/113 pentru π. Se poate arăta că orice număr real al formei are această proprietate , unde și sunt numere întregi și ; și, de asemenea, că toate celelalte numere reale pot fi aproximate mult mai bine. $r$ $m/n$ $r$ $\Phi$ $1/(n^{2}{\sqrt {5)})$ $\Phi$ $(a+b\Phi)/(c+d\Phi)$ $a,b,c$ $d$ $ad-bc=\pm 1$

Proprietăți și exemple

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție continuă finită în două moduri, de exemplu: $9/4=[2;3,1]=[2;4].$
Teorema lui Lagrange : Un număr este reprezentat ca o fracție continuă periodică infinită dacă și numai dacă este o soluție irațională a unei ecuații pătratice cu coeficienți întregi.

De exemplu:

{\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ],

{\sqrt {42}}=[6;2,12,2,12,2,12\dots ],

ratia de aur

\Phi =[1;1,1,1,\dots ].

Teorema Gauss-Kuzmin : pentru aproape toate numerele reale (cu excepția unui set de măsură zero), distribuția elementelor fracțiilor lor continue corespunzătoare respectă statisticile Gauss-Kuzmin ; în special, există o medie geometrică a tuturor elementelor și este egală cu constanta lui Khinchin .
Teorema lui Marshall Hall . Dacă în extinderea unui numărîntr-o fracție continuă, pornind de la al doilea element, nu există numere mari, atunci se spune că numărulaparține clasei. Orice număr real poate fi reprezentat ca suma a două numere din clasăși ca produs a două numere din clasă [7] În plus, s-a arătat că orice număr real poate fi reprezentat ca suma a trei numere din clasăși ca suma a patru numere din clasa. Numărul de termeni necesari din această teoremă nu poate fi redus - pentru a reprezenta unele numere în acest fel, mai puțini termeni nu sunt de ajuns [8] [9] . $X$ $n$ $X$ $F(n)$ $F(4)$ $F(4).$ $F(3)$ $F(2)$

Probleme deschise

S-au încercat să se găsească modele în expansiuni de fracțiuni continue ale iraționalităților cubice [10] , precum și alte numere algebrice de grad mai mare de 2 și numere transcendentale [11] . Pentru unele numere transcendentale, poate fi găsit un model simplu. De exemplu, baza logaritmului natural poate fi reprezentată ca [12]

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots ,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots ] ,

iar tangenta unui unghi de 1 radian este sub forma [13]

\operatorname {tg} 1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots ,1,2n+1,1,2n+3,\ldots ].

Numărul unui model simplu nu este vizibil [14] : $\pi$

\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\puncte ]

Cu toate acestea, pentru fracția continuă generalizată (a se vedea secțiunea Variații și generalizări de mai jos ), poate fi urmărit un model clar.

Nu se știe dacă expansiunile parțiale incomplete ale numerelor precum sau [11] [15] sunt mărginite de sus . ${\sqrt[ {3}]{2}}$ $\pi$

Aplicații ale fracțiilor continuate

Teoria calendarului

Când dezvoltați un calendar solar , este necesar să găsiți o aproximare rațională pentru numărul de zile dintr-un an , care este 365,2421988 ... Să calculăm fracțiile potrivite pentru partea fracționară a acestui număr:

\frac{1}{4};\ \frac{7}{29};\ \frac{8}{33};\ \frac{31}{128};\ \frac{132}{545} \cdots

Prima fracție înseamnă că la fiecare 4 ani trebuie să adaugi o zi în plus; acest principiu a stat la baza calendarului iulian . În acest caz, o eroare de 1 zi se acumulează pe 128 de ani. A doua valoare (7/29) nu a fost niciodată folosită deoarece diferă puțin de următoarea, care este mult mai precisă. A treia fracțiune (8/33), adică 8 ani bisecți pe o perioadă de 33 de ani, a fost propusă de Omar Khayyam în secolul al XI-lea și a pus bazele calendarului persan , în care eroarea pe zi se acumulează peste 4500 de ani. (în gregorian - peste 3280 de ani). O versiune foarte exactă cu o a patra fracție (31/128, eroarea pe zi se acumulează doar timp de 100.000 de ani [16] ) a fost promovată de astronomul german Johann von Medler (1864), dar acesta nu a trezit prea mult interes.

Teoria muzicii

În teoria muzicii, atunci când se construiește un sistem de temperament uniform , este necesar ca intervalul de octave să fie împărțit în părți egale și, în același timp, intervalul acestor părți să fie cât mai aproape posibil de intervalul al cincilea . Aceste cerințe conduc la problema găsirii unei aproximări raționale pentru . A treia fracție adecvată oferă scara pentatonică cu temperatură egală . A patra convergentă duce la împărțirea clasică a octavei în 12 semitonuri egale [17] . $2:1$ $n$ $m$ $3:2$ $\log _{2}1{,}5\aproximativ 0{,}585$ $3/5$ $7/12$

Rezolvarea comparațiilor de gradul I

Luați în considerare comparația : , unde sunt cunoscute și putem presupune că este coprim cu . Trebuie găsit . $ax\equiv b{\pmod m}$ $a, \ b$ $A$ $m$ $X$

Să -l extindem într-o fracție continuă. Va fi finală și ultima fracție potrivită . Înlocuiți în formula (1): ${\frac {m}{a))$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}$

mq_{n-1}-ap_{n-1}=(-1)^{n-1}.

Din aceasta rezultă:

ap_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m)),

\ a(-1)^{n}p_{n-1}\equiv 1{\pmod {m)).

Concluzie: Clasa de reziduuri este soluția pentru comparația inițială. $x\equiv (-1)^{n}p_{{n-1}}b{\pmod m}$

Alte aplicații

Dovada iraționalității numerelor. De exemplu, folosind fracții continuate, a fost demonstrată iraționalitatea valorii funcției zeta Riemann ( constanta lui Aperi ). $\zeta (3)$
Rezolvarea în numere întregi a ecuației lui Pell [18] : și alte ecuații ale analizei diofantine $\;x^{2}-ny^{2}=1\;$
Definiția unui număr transcendental cunoscut (vezi teorema lui Liouville )
Algoritmi de factorizare SQUFOF și CFRAC .
Caracterizarea polinoamelor ortogonale
Caracterizarea polinoamelor stabile

Variații și generalizări

Un număr de surse oferă o definiție generalizată a unei fracții continue, permițând numărătorilor în legăturile sale nu numai 1, ci și alte numere întregi (chiar și cele complexe sunt permise în unele surse ) [1] :

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\ cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\ldots }}}}}}.

Această generalizare crește flexibilitatea teoriei, dar are două dezavantaje: extinderea unui număr real într-o fracție continuă devine ambiguă și, în plus, existența unei limite de convergente nu mai este garantată - limita poate fi infinită sau chiar absent.

Pentru fracțiile continuate generalizate, formulele Euler au forma [19] :

p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + b_n p_{n-2};

q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + b_n q_{n-2}.

în care

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}b_{1}b_{2}\dots b_{n}.

Un caz special în care totul se numește fracția continuă Hirzebruch [20] . $b_{n}=-1$

S-a spus mai sus că expansiunea unui număr într-o fracție continuă clasică nu conține un model vizibil. Pentru o fracție continuă generalizată are loc formula Braunker [21] : $\pi$

{\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+ {\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}} }}}

O altă direcție de generalizare constă în construirea și aplicarea aparatului de fracții continue nu pentru numere, ci pentru polinoame - se folosește faptul că divizibilitatea polinoamelor în proprietățile sale este apropiată de divizibilitatea numerelor întregi [22] . Orice funcție polinomială sau fracțională-rațională poate fi extinsă într-o fracție continuă [23] :

{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}x}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}x}{a_{3}+ \ldots }}}}}}.

Exemplu: obțineți descompunerea funcției : $f(x)={\frac {1-x}{1-5x+6x^{2))}$

f(x)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {4x}{1-{\cfrac {2x}{-4+6x})))))).

Puteți stabili o corespondență între fracțiile și unghiurile continue pe rețelele din plan. În acest sens, există diverse variante de „fracții continuate multidimensionale” [24] .

Context istoric

Matematicienii antici au fost capabili să reprezinte rapoarte de cantități incomensurabile sub forma unui lanț de rapoarte adecvate succesive, obținând acest lanț folosind algoritmul Euclid . Aparent, acesta este modul în care Arhimede a obținut aproximarea - aceasta este a 12-a fracție potrivită pentru sau o treime din a patra fracție potrivită pentru . ${\sqrt {3}}\aprox {\frac {1351}{780}}$ $\sqrt{3}$ ${\sqrt {27}}$

În secolul al V-lea, matematicianul indian Aryabhata a folosit o „metodă de rafinare” similară pentru a rezolva ecuații nedeterminate de gradul I și II. Cu ajutorul aceleiași tehnici s- a obținut probabil cunoscuta aproximare a numărului (355/113). În secolul al XVI-lea, Rafael Bombelli a extras rădăcini pătrate folosind fracții continue (vezi algoritmul său ). $\pi$

Începutul teoriei moderne a fracțiilor continue a fost pus în 1613 de Pietro Antonio Cataldi . El a notat proprietatea lor principală (poziția dintre fracțiile potrivite) și a introdus o denumire care amintește de cea modernă. Mai târziu, teoria sa a fost extinsă de John Vallis , care a propus termenul de „fracție continuă” . Termenul echivalent „ împușcătură continuă ” a apărut la sfârșitul secolului al XVIII-lea.

Aceste fracții au fost folosite în primul rând pentru aproximarea rațională a numerelor reale; de exemplu, Christian Huygens le-a folosit pentru a proiecta angrenajele planetariului său . Huygens știa deja că convergentele sunt întotdeauna ireductibile și că reprezintă cea mai bună aproximare rațională a numărului original.

În secolul al XVIII-lea, teoria fracțiilor continue a fost completată în termeni generali de Leonhard Euler și Joseph Louis Lagrange .

Vezi și

Note

↑ 1 2 Fracție continuă // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5.
↑ Arnold, 2000 , p. 12.
↑ Vinogradov, 1952 , p. optsprezece.
↑ Vinogradov, 1952 , p. 22, paragraful 2.
↑ Hardy, G.H.; Wright, EM Teorema 193 // O introducere în teoria numerelor . - A cincea. — Oxford, 1979.
↑ Davenport, 1965 , p. 93-95.
↑ M. Hall, Despre suma și produsul fracțiilor continuate, Annals of Math. 48 (1947) 966-993.
↑ B. Diviš, Despre sumele fracțiilor continuate, Acta Arith. 22 (1973) 157-173.
↑ TW Cusick și R.A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. amer. Matematică. soc. 30 (1971) 241-246.
↑ Calculations in Algebra and Number Theory, 1976 , H. M. Stark. O explicație a unora dintre fracțiile continue exotice găsite de Brillhart, p. 155-156.
↑ 1 2 P. Shiu. Calculul fracțiilor continue fără valori de intrare . — 1995.
↑ Secvența OEIS A003417 : extinderea continuă a fracțiunii e .
↑ Secvența OEIS A093178 : extinderea continuă a fracției . $\operatorname{tg}\,1$
↑ Secvența OEIS A001203 : extinderea continuă a fracțiunii . $\pi$
↑ Secvența OEIS A002945 : extinderea continuă a fracției . ${\sqrt[ {3}]{2}}$
↑ De fapt, din cauza încetinirii treptate a rotației Pământului și, în consecință, a scăderii treptate a numărului de zile dintr-un an, un astfel de calendar ar fi acumulat o eroare reală de o zi după 4000 de ani.
↑ Shilov G. E. Gama simplă. Dispozitiv de cântare muzicală . — Prelegeri populare de matematică . - M. : Fizmatgiz , 1963. - S. 14-15. — 20 s.
↑ Bugaenko V. O. Ecuații Pell _ _ _
↑ Fundamentele matematicii computaționale, 1963 , p. 57.
↑ E. Yu. Smirnov. Frize și fracții continuate . MCNMO (17 martie 2020). Preluat la 17 aprilie 2020. Arhivat din original la 21 aprilie 2021. (nedefinit)
↑ John Wallis , Arithmetica Infinitorum (Oxford, Anglia: Leon Lichfield, 1656), pagina 182 . Arhivat pe 24 aprilie 2021 la Wayback Machine . Brouncker a exprimat, ca o fracție continuă, raportul dintre aria unui cerc și aria pătratului circumscris (adică, 4/ π ). Fracția continuă apare în partea de sus a paginii 182 (aproximativ) ca: ☐ = 1 1/2 9/2 25/2 49/2 81/2 &c, unde pătratul indică raportul care este căutat. (Notă: în pagina precedentă, Wallis îl numește pe Brounker ca: „Dom. Guliel. Vicecon, & Barone Brouncher ” (Lord William Viscount și Baron Brounker).)
↑ Khovansky A. N. Aplicații ale fracțiilor continuate și generalizările lor la întrebări de analiză aproximativă (capitolele 1 și 2). — M .: Gostekhizdat, 1956.
↑ Fundamentele matematicii computaționale, 1963 , p. 70-73.
↑ Karpenkov, 2013 .

Literatură

Arnold V. I. Fracții continuate . - M. : MTsNMO , 2000. - T. 14. - 40 p. - ( Biblioteca „Educația matematică” ).
Beskin NM Fracții continuate // Kvant . - 1970. - T. 1 . - S. 16-26,62 .
Beskin NM Fracții continuate infinite // Kvant . - 1970. - T. 8 . - S. 10-20 .
Bodnar D.I. Branching continuat fractions. - K . : Nauka, 1986. - 174 p.
Bukhshtab A. A. Teoria numerelor . - M . : Educaţie, 1966. - 384 p.
Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 p.
Calcule în algebră și teoria numerelor / Per. din engleza. E. G. Belagi, ed. B. B. Venkova și D. K. Faddeeva. - M .: Mir , 1976. - (Matematică. Nou în știința străină).
Gladkovsky S. N. Analiza fracțiilor continue condiționate periodice, partea 1 . - Bland, 2009. - 138 p.
Demidovich B. P., Maron I. A. Fundamentele matematicii computaționale. - Ed. al 2-lea. - M. : Fizmatlit, 1963. - S. 53-73. — 660 p.
Depman I. Ya. Istoria aritmeticii. Un ghid pentru profesori . - Ed. a doua. - M . : Educaţie, 1965. - S. 253-254.
Davenport G. Aritmetică superioară. O introducere în teoria numerelor . — M .: Nauka, 1965.
Siziy SV Prelegeri despre teoria numerelor . - Ekaterinburg: Universitatea de Stat Ural numită după. A. M. Gorki , 1999.
Skorobogatko V. Ya. Teoria ramificării fracțiilor continue și aplicarea acesteia în matematica computațională. — M .: Nauka, 1983. — 312 p.
Khinchin A. Ya. Fracțiuni continuate . — M .: GIFML, 1960.
Khovansky AN Aplicarea fracțiilor continue și generalizările lor la întrebări de analiză aproximativă. — M.: Gostekhizdat, 1956. — 204 p.
Brezinski C. Istoria fracțiilor continuate și aproximanților Padé. NY: Springer, 1980.
Karpenkov O. Geometria fracțiilor continue. - Springer, 2013. - ISBN 978-3-642-39367-9 .

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Rusă mare in jurul lumii Micul Brockhaus și Efron Nou Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	J9U : 987007548245805171 LCCN : sh85051149 NDL : 00569391 NKC : ph441076