Semnul lui Jamet

Semnul lui Jamet este un semn al convergenței seriilor numerice cu termeni pozitivi, stabilit de Victor Jamet [1] .

Formulare

Seria converge dacă următoarea inegalitate este valabilă pentru: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

J_{n}={\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\geqslant 1+\delta ,

unde . $\delta>0$

Dacă , pentru , atunci seria diverge. $J_{n}\leqslant 1$ $n>N$

Dovada [2]

1. Să fie îndeplinită următoarea condiție pentru serie: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

{\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\geqslant \delta >1

Să transformăm această inegalitate în forma:

0\leqslant a_{n}\leqslant \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n}}\right)^{n}

Deoarece este întotdeauna posibil să se găsească un suficient de mare astfel încât: $n>N$

1-{\frac {\delta \ln n}{n}}>0

apoi putem trece la expresia:

0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n))\right)\right)

Aplicând extinderea funcției într- o serie Maclaurin cu un termen de rest în forma Peano, obținem: $\ln(1-x)$

0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(-\delta \ln n-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n)}+o\left ({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\dreapta)\dreapta)

Să eliminăm primul termen de sub exponent:

0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta ))}\exp \left(-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n)) +o\stânga({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\dreapta)\dreapta)

Acum, aici aplicăm extinderea seriei Maclaurin pentru funcția : $e^{x}$

$0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{{\delta +1 ))))+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n^({\delta +1))))\dreapta)$

Neglijând infinitezimal și, ținând cont de faptul că , obținem: $\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^({\delta +1))))\geqslant 0$

0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{{\delta +1 }}}}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}

Acesta din urmă, conform criteriului de comparație , înseamnă că seria luată în considerare converge și diverge simultan cu seria ( seria Dirichlet ), care converge la și diverge la . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac 1{n^{\delta }}}$ $\delta>1$ $\delta \leqslant 1$

2. Să fie îndeplinită următoarea condiție pentru serie: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

{\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\leqslant 1

Să transformăm această inegalitate în forma:

a_{n}\geqslant \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{n}=\exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\dreapta)\dreapta)

Aplicând de două ori expansiunea seriei Maclaurin cu termenul rămas în forma Peano, obținem:

a_{n}\geqslant {\frac 1{n}}-{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{2}}}+o\left({\frac {\ln ^{2} n}{n^{2}}}\right)=o\left({\frac 1{n}}\right)

Adică, conform testului de comparație , seria în cauză diverge deoarece seria ( seria armonică ) diverge. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac 1{n}}$

Formulare în formă limită

Dacă există o limită:

J=\lim _{{n\to \infty }}J_{n}

apoi pentru , seria converge, iar pentru , diverge. $J>1$ $J<1$

Generalizare [3]

Fie trei funcții pozitiv-definite sunt date pe: , și și cresc la nesfârșit și sunt îndeplinite următoarele condiții pentru ele: $\mathbb {N}$ $\varphi(n),g(n),f(n)$ $\varphi (n)$ $f(n)$

$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {\varphi (n)g(n)}{f(n)\ln n}}=q$
$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {g(n)}{f(n)}}=0$ .

Atunci, dacă pentru seria , pentru , este valabilă următoarea inegalitate: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

\left(1-a_{n}^{{\frac 1{\varphi (n)}}}\right){\frac {f(n)}{g(n)))}\geqslant p>{\ frac 1{q}}

, apoi seria converge.

Dacă pentru seria , pentru , este valabilă următoarea inegalitate: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

\left(1-a_{n}^{{\frac 1{\varphi (n)}}}\right){\frac {f(n)}{g(n)))}\leqslant p<{\ frac 1{q}}

, apoi seria diverge.

Note

↑ V. Jamet. Eroare: parametrul nu este setat |заглавие=în șablonul {{ publication }} // Mathesis. - 1892. - S. 80.
↑ număr
↑ A. V. Antonova Adăugare la semnul lui Jamet

Literatură

BP Demidovich Culegere de probleme și exerciții de analiză matematică, p. 254.

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich