Un semn de comparație este o afirmație despre simultaneitatea divergenței sau convergenței a două serii , bazată pe o comparație a membrilor acestor serii.
Să fie date două serii pozitive: și. Atunci, dacă, pornind de la un loc ( ), este valabilă următoarea inegalitate: ,atunci convergenţa seriei implică convergenţa lui . Sau, dacă seria diverge, atunci diverge și . |
Să notăm sumele parțiale ale seriei . Din inegalități rezultă că , prin urmare, mărginirea implică mărginire , iar mărginirea implică nelimitare.Validitatea atributului decurge din criteriul de convergență pentru
De asemenea, semnul comparației poate fi formulat într-o formă mai convenabilă - sub formă de relații.
Dacă pentru membrii seriilor strict pozitive și , începând de la un loc ( ), este valabilă următoarea inegalitate: ,atunci convergența seriei implică convergență , iar divergența implică divergență . |
Înmulțind inegalitățile pentru , obținem
sauÎn plus, este suficient să se aplice criteriul de comparație pentru seriile pozitive și (și să se țină cont de faptul că factorul constant nu afectează convergența).
Deoarece este o sarcină destul de dificilă să se stabilească în mod fiabil validitatea acestei inegalități pentru orice n, în practică, criteriul de comparație este de obicei utilizat în forma limitativă.
Dacă și există serii strict pozitive și ,atunci pentru , convergența implică convergență , iar pentru , divergența implică divergență . |
Din știm că pentru orice există astfel încât pentru toți avem , sau, care este același:
Din moment ce , îl putem lua suficient de mic pentru a fi pozitiv. Dar apoi , și conform criteriului de comparație descris mai sus, dacă converge, atunci converge și .
În mod similar , și apoi, dacă converge, atunci converge și .
Astfel, fie ambele serii converg, fie ambele diverg.
Semne de convergență a seriei | ||
---|---|---|
Pentru toate rândurile | ||
Pentru serii cu semn pozitiv |
| |
Pentru serii alternate | semnul Leibniz | |
Pentru rândurile formularului | ||
Pentru serii funcționale | ||
Pentru seria Fourier |
|