Semn de comparație

Un semn de comparație este o afirmație despre simultaneitatea divergenței sau convergenței a două serii , bazată pe o comparație a membrilor acestor serii.

Formulare

Să fie date două serii pozitive:

\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}

și

\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}

Atunci, dacă, pornind de la un loc ( ), este valabilă următoarea inegalitate: $n>N$

0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}

atunci convergenţa seriei implică convergenţa lui . $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Sau, dacă seria diverge, atunci diverge și . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Dovada

Să notăm sumele parțiale ale seriei . Din inegalități rezultă că , prin urmare, mărginirea implică mărginire , iar mărginirea implică nelimitare.Validitatea atributului decurge din criteriul de convergență pentru $\sigma _{n}$ $\sum b_{k}$ $(*)$ $0\leqslant s_{n}\leqslant \sigma _{n},\forall n.$ $(\sigma _{n})$ $(s_{n}),$ $(s_{n})$ $(\sigma _{n}).$ $\sum b_{k}.$

Semn de comparare a relațiilor

De asemenea, semnul comparației poate fi formulat într-o formă mai convenabilă - sub formă de relații.

Formulare

Dacă pentru membrii seriilor strict pozitive și , începând de la un loc ( ), este valabilă următoarea inegalitate: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $n>N$

{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\leqslant {\frac {b_{{n+1}}}{b_{n}}}

atunci convergența seriei implică convergență , iar divergența implică divergență . $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Dovada

Înmulțind inegalitățile pentru , obținem $k=1,2,...,n-1$

{\frac {a_{n}}{a_{1}}}\leqslant {\frac {b_{n}}{b_{1}}},

a_{n}\leqslant {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{n},\forall n.

În plus, este suficient să se aplice criteriul de comparație pentru seriile pozitive și (și să se țină cont de faptul că factorul constant nu afectează convergența). $\sum a_{k}$ $\sum {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{k}$

Criteriul de comparare limită

Deoarece este o sarcină destul de dificilă să se stabilească în mod fiabil validitatea acestei inegalități pentru orice n, în practică, criteriul de comparație este de obicei utilizat în forma limitativă.

Formulare

Dacă și există serii strict pozitive și $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c

atunci pentru , convergența implică convergență , iar pentru , divergența implică divergență . $0\leqslant c<\infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $0<c\leqslant \infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Dovada

Din știm că pentru orice există astfel încât pentru toți avem , sau, care este același: $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ $\varepsilon > 0$ $n_{0}$ $n\geq n_{0)$ $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$

-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}} -c<\varepsilon

c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon

(c-\varepsilon)b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon)b_{n)

Din moment ce , îl putem lua suficient de mic pentru a fi pozitiv. Dar apoi , și conform criteriului de comparație descris mai sus, dacă converge, atunci converge și . $c>0$ $\varepsilon$ $c-\varepsilon$ $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ $\sum _{n}a_{n}$ $\sum _{n}b_{n)$

În mod similar , și apoi, dacă converge, atunci converge și . $a_{n}<(c+\varepsilon)b_{n)$ $\sum _{n}b_{n)$ $\sum _{n}a_{n}$

Astfel, fie ambele serii converg, fie ambele diverg.

Literatură

Yu. S. Bogdanov — Prelegeri de analiză matematică — Partea 2 — Minsk — Editura BSU. V. I. Lenin - 1978.
G. M. Fikhtengolts. Teoreme de comparare a seriilor // Fundamentele analizei matematice. - Sankt Petersburg. : Lan, 2001. - T. 2. - S. 17-19. — 464 p. - ISBN 5-8114-0191-4 .

Link -uri

http://www.math24.ru/comparison-tests.html

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich