Semnul radical al lui Cauchy

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 decembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Semnul radical al lui Cauchy este un semn al convergenței unei serii de numere :

Dacă pentru o serie de numere

\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}

cu termeni nenegativi, există un număr , , astfel încât, pornind de la un număr, inegalitatea $q$ $0<q<1$

{\sqrt[{n}]{a_{n)}}\leq q

atunci această serie converge; dacă, pornind de la un anumit număr

{\sqrt[{n}]{a_{n)}}>1

apoi seria diverge.

Dacă , atunci acesta este un caz îndoielnic și sunt necesare mai multe cercetări. ${\sqrt[{n}]{a_{n)}}=1$

Dacă, pornind de la un număr, , și nu există astfel încât pentru toți , pornind de la un număr, atunci în acest caz seria poate atât converge, cât și diverge. ${\sqrt[{n}]{a_{n)}}<1$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n)}}\leqslant q$ $n$

Formular limită

Dacă există o limită

\rho =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n)))

atunci seria considerată converge dacă , iar dacă diverge. $\rho<1$ $\rho >1$

Observație 1. Dacă , atunci testul radical Cauchy nu răspunde la întrebarea despre convergența seriei. $\rho=1$

Observația 2. Dacă , dar șirul tinde spre limita sa de sus, atunci seria diverge. $\rho=1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n)))$ $\rho$

Dovada

În primul rând, trebuie remarcat că dacă criteriul Cauchy este îndeplinit pentru șirul , pornind de la un anumit număr , atunci putem considera o subsecvență a șirului , doar pornind de la acest număr. O serie compusă dintr-o astfel de subsecvență va converge. Dar atunci și seria originală va converge, deoarece numărul finit de termeni inițiali ai secvenței nu afectează convergența seriei. În acest caz, pentru a simplifica demonstrația, are sens să acceptăm , adică să acceptăm că criteriul Cauchy este satisfăcut pentru toate naturale . $\{a\}$ $N$ $\{a\}$ $N-1$ $\{a\}$ $N=1$ $n$

Fie ca inegalitatea să fie adevărată pentru toate numerele naturale , unde . Apoi puteți scrie , , …, , și așa mai departe. Deoarece și , și toți membrii șirului sunt nenegativi, sistemul de inegalități poate fi rescris după cum urmează: , , …, , și așa mai departe. Adăugând primele inegalități, obținem . Aceasta înseamnă că suma parțială a seriei este mai mică decât suma parțială a unei progresii geometrice descrescătoare cu termenul inițial . Suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite converge, prin urmare, prin criteriul comparării serii cu semne pozitive, converge și seria originală. $n$ ${\sqrt[{n}]{a_{n)}}\leqslant q$ $0<q<1$ ${a_{1}}\leq q$ ${\sqrt {a_{2)}}\leq q$ ${\sqrt[{n}]{a_{n)}}\leq q$ $q$ $\{a\}$ ${a_{1}}\leq q$ ${a_{2}}\leq {q^{2}}$ ${a_{n}}\leq {q^{n}}$ $n$ ${a_{1}}+...+{a_{n}}\leq q+...+{q^{n}}$ $n$ $n$ $q$
Fie (pentru tot natural ): atunci putem scrie . Aceasta înseamnă că modulul membrilor secvenței nu tinde spre zero la infinit și, prin urmare, secvența în sine nu tinde spre zero. Condiția necesară pentru convergența oricărei serii nu este îndeplinită. Prin urmare, seria diverge. ${\sqrt[{n}]{a_{n)}}\geq 1$ $n$ $a_{n}\geq 1$ $\{a\}$ $\{a\}$
Lăsați pentru toate naturale . Mai mult decât atât, nu există așa ceva pentru toate cele naturale . În acest caz, seria poate converge sau diverge. De exemplu, ambele serie și satisfac această condiție, iar prima serie (armonică) diverge, iar a doua converge. Într-adevăr, seria este valabilă pentru orice natură , cu excepția . În același timp, deoarece , aceasta înseamnă că pentru orice , este posibil să se aleagă un număr astfel încât , și în același timp, pornind de la un anumit număr, toți membrii secvenței , unde , vor fi în intervalul , adică , . Și asta înseamnă că nu există așa ceva , asta pentru toate naturale . Aceste argumente pot fi repetate pentru al doilea rând: același lucru este valabil pentru toate , . Cu toate acestea, a doua serie converge. ${\sqrt[{n}]{a_{n)}}<1$ $n$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n)}}\leqslant q$ $n$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ ${\sqrt[{n}]{|{a_{n}}|}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{n}}}={\left({\frac {1}{n}}\right)^{\frac {1}{n}}}<1$ $n$ $n=1$ $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n)}}=1$ $q$ $0<q<1$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ $\{b\}$ ${b_{n}}={\sqrt[{n}]{a_{n}}}$ $(1-\varepsilon;1)$ ${b_{n}}>q$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n)}}\leqslant q$ $n>1$ $n>1$ ${\sqrt[{n}]{|{a_{n}}|}}<1$ $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n)}}=1$

Exemple

1. Rând

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}

converge, deoarece condiția formei limitative a testului radical al teoremei Cauchy este îndeplinită

\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}

2. Luați în considerare seria

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\left({\frac {n-1}{n+1}}\right)}^{{n(n-1)))

\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\left({\frac {n- 1}{n+1}}\right)}^{{n-1}}=\lim _{{n\to \infty }}{\left(1-{\frac {2}{n+1} }\right)}^{{n-1}}=e^{{-2}}<1\Rightarrow

seria converge.

Vezi și

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich