Lista seturi de plăci neperiodice

În geometrie , placarea  este împărțirea unui plan (sau a unei alte structuri geometrice) în seturi închise (numite plăci ) fără goluri sau suprapuneri (altele decât limitele plăcilor) [1] . Se spune că o placă este periodică dacă există mișcări paralele în două direcții independente care mișcă plăcile în exact aceeași direcție. O astfel de tiling constă dintr-o unitate fundamentală sau celulă primitivă care se repetă la infinit în două direcții independente [2] . Un exemplu de astfel de plăci este prezentat în ilustrația din dreapta. Tilingurile care nu pot fi construite dintr-o singură celulă primitivă sunt numite neperiodice. Dacă un anumit set de plăci permite doar tiling neperiodic, se spune că un astfel de set este neperiodic [3] .

Primul tabel explică abrevierile utilizate în al doilea tabel. Al doilea tabel conține toate seturile de plăci neperiodice cunoscute și oferă câteva informații de bază suplimentare despre fiecare set. Această listă de plăci rămâne incompletă.

Explicații

Reducere Sens Explicaţie
E 2 plan euclidian avion obișnuit
H2 _
plan hiperbolic		 plan în care axioma paralelismului nu este valabilă
E 3 Spațiu
tridimensional euclidian
 spațiu definit de trei axe de coordonate perpendiculare
HDL Local derivate reciproc se spune că două plăci sunt derivate reciproc una de cealaltă dacă o placă este derivată din cealaltă printr-o regulă locală simplă (cum ar fi îndepărtarea sau inserarea unei margini)

Lista

Imagine Nume Numărul de plăci spatiu
_		 Data publicării Legături Comentarii
Placi Trilobite și Cross 2 E 2 1999 [patru] HDL cu plăci „Scaun” (pătrat cu un sfert decupat)
Placi Penrose P1 6 E 2 1974 [Nota 1] [5] LVP cu plăci P2 și P3, triunghiuri Robinson și plăci „stea, barcă, hexagon”
Placi P2 Penrose 2 E 2 1977 [Nota 2] [6] LVP cu plăci P1 și P3, triunghiuri Robinson și plăci „stea, barcă, hexagon”
Placi P3 Penrose 2 E 2 1978 [Nota 3] [7] LVP cu plăci P1 și P2, triunghiuri Robinson și plăci „stea, barcă, hexagon”
gresie duble 2 E 2 1988 [opt]

[9]

Deși plăcile sunt asemănătoare plăcilor de la P3, plăcile nu sunt HDL-uri una ale celeilalte. Mozaic conceput în încercarea de a modela aranjarea atomilor în aliaje binare
Robinson Tiles 6 E 2 1971 [Nota 4] [zece] Plăcile oferă non-periodicitate prin formarea unei ierarhii infinite de rețele pătrate
Fără desen Placi Ammann A1 6 E 2 1977 [11] [12] Plăcile oferă non-periodicitate prin formarea unui arbore binar ierarhic infinit.
Placi Ammann A2 2 E 2 1986 [Nota 5] [13]
Placi Ammann A3 3 E 2 1986 [Nota 5] [13]
Placi Ammann A4 2 E 2 1986 [Nota 5] [13] [14] HDL cu gresie Ammann A5.
Placi Ammann A5 2 E 2 1982 [Nota 6] [cincisprezece]

[16]

HDL cu plăci Ammann A4.
Fără desen Placi Penrose „Hexagon, Triunghi” 2 E 2 1997 [17] [17] [18]
Fără desen Placi „Triunghi de aur” [19] zece E 2 2001 [20] [21] Data corespunde cu ora la care au fost deschise regulile de conectare. Dual la plăci Ammann A2
Placi de socolar 3 E 2 1989 [Nota 7] [22] [23] HDL cu plăci „Shield”.
Dale „Scut” patru E 2 1988 [Nota 8] [24] [25] HDL cu gresie Sokolara
Dale „Pătrat, Triunghi” 5 E 2 1986 [26] [27]
Mozaic „Sfinx” 91 E 2 [28]
Placi „Steaua, barcă, hexagon” 3 E 2 [29] [30] [31] LCS cu plăci Penrose P1, P2, P3 și triunghiuri Robinson
Triunghiul Robinson patru E 2 [12] Plăci LVP cu plăci Penrose P1, P2, P3 și „Star, Boat, Hexagon”.
Triunghiuri Danzer 6 E 2 1996 [32] [33]
Placi "Rotinul" E 2 1994 [34] [35] [36] [37] Data corespunde publicării regulilor de conectare.
Tigla Socolar - Taylor unu E 2 2010 [38] [39] Placi necoezive . Tiglare ierarhică neperiodică.
Fără desen gresie dube 20426 E 2 1966 [40]
Fără desen gresie dube 104 E 2 2008 [41]
Fără desen gresie dube 52 E 2 1971 [Nota 4] [42] Plăcile oferă non-periodicitate prin formarea unei ierarhii infinite de rețele pătrate
gresie dube 32 E 2 1986 [43] derivat local din plăci Penrose.
Fără desen gresie dube 24 E 2 1986 [43] derivat local din plăci A2
gresie dube 16 E 2 1986 [44]

[45]

Derivate din plăci A2 și benzile lor Ammann
gresie dube paisprezece E 2 1996 [46] [47]
gresie dube 13 E 2 1996 [48] ​​​​[49]
Fără desen Placi de burete Decagon unu E 2 2002 [50] [51] Placă poroasă constând din seturi de puncte care nu se intersectează
Fără desen Placi Goodman–Strauss strict neperiodice 85 H2 _ 2005 [52]
Fără desen Placi Goodman–Strauss strict neperiodice 26 H2 _ 2005 [53]
Tigla hiperbolica Borocki (Böröczky) unu H n 1974 [54] [55] [56] Doar puțin neperiodic
Fără desen țiglă Schmitt unu E 3 1988 [57] periodic în ceea ce privește șurubul
Tigla Schmitt-Conway-Danzer unu E 3 [57] este periodică în raport cu șurubul și este convexă
Tigla Socolar - Taylor unu E 3 2010 [38] [39] Periodic în a treia dimensiune
Fără desen Romboedrul Penrose 2 E 3 1981 [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65]
Romboedri Makei-Ammann patru E 3 1981 [66] Au simetrie icosaedrică . Acestea sunt romboedre Penrose decorate cu reguli de conectare care asigură non-periodicitatea.
Fără desen Van Cubes 21 E 3 1996 [67]
Fără desen Van Cubes optsprezece E 3 1999 [68]
Fără desen tetraedre Danzer patru E 3 1989 [69] [70]
Tigle I și L 2 E n
pentru toți
n ≥ 3		 1999 [71]

Note

  1. ↑ Grünbaum B., Shephard GC Tilings by Regular Polygons // Math. Mag.. - 1977. - T. 50 , nr. 5 . — S. 227–247 . - doi : 10.2307/2689529 . ( arhiva WebCite )
  2. ↑ Edwards S., Fundamental Regions and Primitive Cells ( arhiva WebCite )
  3. ↑ Stan Wagon. Mathematica în acțiune. — al 2-lea. - New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1998. - P. 216 (9.1 NonPeriodic Tilings). — ISBN 0-387-98252-3 .
  4. ↑ Goodman-Strauss C. A Small Aperiodic Set of Planar Tiles // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , nr. 5 . — S. 375–384 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0281 . (preprint disponibil aici )
  5. ↑ Mikhael J. Coloidal Monostraturi pe câmpuri laser cvasiperiodice (vezi pagina 23) ( arhiva WebCite )
  6. ↑ Gardner M. Penrose tiles to trapdoor ciphers (vezi pagina 86) Arhivat la 30 octombrie 2012 la Wayback Machine ( WebCite Archive )
  7. ↑ Penrose R. Pentaplexity // Math. Intel.. - 1979/80. - T. 2 . — S. 32–37 . - doi : 10.1007/bf03024384 . ( arhiva WebCite )
  8. ↑ F. Lançon, L. Billard. Sistem bidimensional cu stare fundamentală cvasicristalină // J. Phys. Franţa. - 1988. - T. 49 , nr. 2 . — S. 249–256 . - doi : 10.1051/jphys:01988004902024900 . ( arhiva WebCite )
  9. ↑ F. Lançon, L. Billard. Un exemplu simplu de placare non-Pisot cu simetrie de cinci ori // J. Phys. eu Franta. - 1992. - Vol. 2 , numărul. 2 . — S. 207–220 . - doi : 10.1051/jp1:1992134 . ( arhiva WebCite )
  10. ↑ Goodman-Strauss C. Aperiodic Hierarchical tilings // Proc. al NATO-ASI „Spume, emulsii și materiale celulare” Ser. E. - 1999. - T. 354 . — S. 481–496 . - doi : 10.1007/978-94-015-9157-7_28 .
  11. ↑ Martin Gardner. Cartea colosală a matematicii . - WW Norton & Company, 2001. - P.  76 .
  12. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1986 , conform [1] Arhivat la 30 august 2006 la Wayback Machine ; [2]
  13. ↑ 1 2 3 R. Ammann, B. Grünbaum, G. C. Shephard. Placi aperiodice // Discrete Comp Geom. - 1992. - T. 8 . — S. 1–25 . - doi : 10.1007/BF02293033 .
  14. ↑ Harris E., Frettlöh D. Ammann A4 Arhivat la 9 aprilie 2016 la Wayback Machine
  15. ↑ K. Komatsu, K. Nomakuchi, K. Sakamoto, T. Tokitou. Reprezentarea plăcilor Ammann-Beenker de către un automat // Nihonkai Math. J .. - 2004. - T. 15 . — p. 109–118 . ( arhiva WebCite )
  16. ↑ Harris E., Frettlöh D. Ammann-Beenker Arhivat 5 octombrie 2008 la Wayback Machine
  17. ↑ 1 2 R. Penrose. Matematica ordinii aperiodice pe rază lungă / Moody RV. - NATO Asi Seria C. - Dordrecht: Kluwer, 1997. - T. 489. - S. 467-497. - ISBN 978-0-7923-4506-0 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_18 . R. Penrose. Matematica ordinii aperiodice pe rază lungă / Moody RV. - Springer Verlag GMBH, 2010. - T. 489. - S. 467-497. - (NATO Asi Seria U). — ISBN 9048148324 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_18 .
  18. ↑ C. Goodman-Strauss, O pereche de dale aperiodice
  19. ↑ Tigla nu corespunde isoscelului „ Triunghi de aur ” și este un triunghi dreptunghic cu raportul de aur dintre ipotenuza și catetul
  20. ↑ Ludwig Danzer, Gerrit van Ophuysen. O specie de plăci triunghiulare plane cu factor de inflație  , Res. Taur. Panjab Univ. Sci .. - 2001. - V. 50 , nr. 1-4 . — S. 137–175 .
  21. ↑ G Gelbrich. Placi Fractal Penrose II. Plăci cu graniță fractală ca duale de triunghiuri Penrose // Aequationes Math.. - 1997. - V. 54 . — S. 108–116 . - doi : 10.1007/bf02755450 .
  22. ↑ F. Gähler, R. Lück, S.I. Ben-Abraham, P. Gummelt. Placuri dodecagonale ca acoperiri de cluster maxime . Preluat: 25 septembrie 2013.
  23. ↑ Tigla Socolar
  24. ↑ Gähler F., Frettlöh D. Shield Arhivat 3 martie 2016 la Wayback Machine
  25. ↑ F. Gähler. Reguli de potrivire pentru cvasicristale: metoda compoziție-descompunere // J. of Non-cristaline Solids. - 1993. - T. 153 & 154 . — S. 160–164 . - doi : 10.1016/0022-3093(93)90335-u . ( arhiva WebCite )
  26. ↑ Stampfli, P. A Dodecagonal Quasiperiodic Lattice in Two Dimensions  // Helv. Fiz. Acta.. - 1986. - T. 59 . - S. 1260-1263 .
  27. ↑ Hermisson J., Richard C., Baake M. A Guide to the Symmetry Structure of Quasiperiodic Tiling Classes Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine (arhivat WebCite )
  28. ↑ Goodman-Strauss C., Aperiod tilings (vezi pagina 74) Arhivat la 13 martie 2012 la Wayback Machine
  29. ↑ Lord EA Quasicrystals and Penrose patterns // Current Science. - 1991. - T. 61 . - S. 315 .
  30. ↑ Z. Olamy, M. Kleman. O placă densă aperiodic bidimensională // J. Phys. Franţa. - 1989. - T. 50 . — S. 19–33 . - doi : 10.1051/jphys:0198900500101900 . ( arhiva WebCite )
  31. ↑ M. Mihalkovič, C. L. Henley, M. Widom. Rafinarea combinată a datelor de energie-difracție a AlNiCo decagonal // J. Non-Cryst. solide. - 2004. - T. 334 & 335 . — S. 177–183 . ( arhiva WebCite )
  32. ↑ Nischke, KP și Danzer, L,. O construcție a regulilor de inflație bazată pe simetria $n$-fold // Calcul discret. Geom.. - 1996. - V. 15 , nr. 2 . — S. 221–236 . - doi : 10.1007/bf02717732 . 96j:52035
  33. ↑ Hayashi H., Kawachi Y., Komatsu K., Konda A., Kurozoe M., Nakano F., Odawara N., Onda R., Sugio A., Yamauchi M. Rezumat: Notes on vertex atlas of planar Danzer tiling
  34. ↑ Radin C. The pinwheel tilings of the plane // Annals of Mathematics. Seria a doua . - 1994. - T. 139 , nr. 3 . — S. 661–702 . - doi : 10.2307/2118575 . — .
  35. ↑ Charles Radin. Simetria plăcilor planului // Analele matematicii. - 1994. - doi : 10.1090/s0273-0979-1993-00425-7 .
  36. ↑ C. Radin, M. Wolff. Tiling spațial și izomorfism local // Geom. Dedicata. - 1992. - T. 42 , nr. 3 . — S. 355–360 . - doi : 10.1007/bf02414073 .
  37. ↑ C. Radin. Plasări aperiodice, teoria ergodică și rotații // Matematica ordinului aperiodic de lungă durată. — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.
  38. ↑ 1 2 Socolar JES și Taylor JM O țiglă hexagonală aperiodică
  39. ↑ 1 2 Socolar JES și Taylor JM Forțarea neperiodicității cu o singură piesă
  40. ↑ Burger R. The Undecidibility of the Domino Problem // Memoirs of the American Mathematical Society. - 1966. - T. 66 . — S. 1–72 .
  41. ↑ Ollinger Nicolas. Sisteme de înlocuire două câte două și indecizia problemei domino. - Springer, 2008. - S. 476-485.
  42. ↑ J. Kari , P. Papasoglu. Seturi de plăci aperiodice deterministe // Analiză geometrică și funcțională. - 1999. - T. 9 . — S. 353–369 . - doi : 10.1007/s000390050090 .
  43. ↑ 1 2 Lagae A., Kari J. , Dutré P. Aperiodic Sets of Square Tiles with Colored Corners // Raport CW. - 2006. - T. 460 . - S. 12 . Arhivat din original pe 2 octombrie 2010.
  44. ↑ Grünbaum, Shephard, 1986 .
  45. ↑ A. Carbone, M. Gromov, P. Prusinkiewicz. Formarea modelelor în biologie, viziune și dinamică. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2000. - ISBN 981-02-3792-8 .
  46. ↑ Kari J. A small aperiodic set of Wang tiles". Discrete Mathematics, 160(1-3):259-264
  47. ↑ Lagae A. Tile Based Methods in Computer Graphics Disssertation (vezi pagina 149) Arhivat 6 octombrie 2010. ( arhiva WebCite )
  48. ↑ Culik K., Kari J. On aperiod sets of Wang tiles  (downlink)
  49. ↑ K. Culik. Un set aperiodic de 13 plăci Wang . Consultat la 25 septembrie 2013. Arhivat din original la 2 octombrie 2010.
  50. ↑ Zhu F. Căutarea unei plăci universale
  51. ↑ D. A. Bailey, F. Zhu. O placă (aproape) universală asemănătoare unui burete . Preluat: 25 septembrie 2013.
  52. ↑ Goodman-Strauss C., Un set ierarhic puternic aperiodic de plăci în planul hiperbolic
  53. ↑ Goodman-Strauss C. Un set puternic aperiodic de plăci în plan hiperbolic  // Inventează. Matematică.. - 2005. - T. 159 . — S. 130–132 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - Cod .
  54. ↑ K. Boröczky. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben I // Mat. Lapok.. - 1974. - T. 25 . — S. 265–306 . K. Boroczky. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben II // Mat. Lapok.. - 1974. - T. 26 . — S. 67–90 .
  55. ↑ Goodman-Strauss C. Un set puternic aperiodic de plăci în plan hiperbolic  // Inventează. Matematică.. - 2005. - T. 159 . - S. 120 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - Cod .
  56. ↑ Dolbilin N., Frettlöh D. Properties of Böröczky tilings in high dimensional hyperbolic spaces ( arhiva WebCite )
  57. ↑ 12 Charles Radin . Tilings aperiodic în dimensiuni superioare // Proceedings of the American Mathematical Society . - Societatea Americană de Matematică, 1995. - V. 123 , nr. 11 . — S. 3543–3548 . - doi : 10.2307/2161105 . — .
  58. ↑ McKay Allan. J.I. DE NTVE QUINQUANGULA despre fulgi de nea pentagonali // Cristalografie. - 1981. - T. 26 , nr. 5 . - S. 910-919. . ( arhiva WebCite )
  59. ↑ Meisterernst G. Experimente zur Wachstumskinetik Dekagonaler Quasikristalle (Experimente privind cinetica de creștere a quasicristalelor decagonale) Disertație (vezi pagina 18-19) ( arhiva WebCite )
  60. ↑ Jirong S. Structure Transition of the Three-Dimensional Penrose Tiling Under Phason Strain Field // Chinese Phys. Let.. - 1993. - T. 10, Nr.8 . — S. 449–452 . - doi : 10.1088/0256-307x/10/8/001 . ( arhiva WebCite )
  61. ↑ Inchbald G. A 3-D Quasicrystal Structure
  62. ↑ Lord EA, Ranganathan S., Kulkarni UD Quasicrystals: tiling versus clustering // Phil. Mag. A. - 2001. - T. 81 . — S. 2645–2651 . - doi : 10.1080/01418610108216660 . ( arhiva WebCite )
  63. ↑ Rudhart CP Zur numerischen Simulation des Bruchs von Quasikristallen (Despre simularea numerică a fisurării în cvasicristale) vezi pagina 11
  64. ↑ Lord EA, Ranganathan S., Kulkarni UD Tilings, coverings, clusters and quasicrystals // Current Science. - 2000. - T. 78 , nr. 1 . — S. 64–72 . ( arhiva WebCite )
  65. ↑ Katz A. Theory of Matching Rules for the 3-Dimensional Penrose Tilings // Commun. Matematică. Phys.. - 1988. - T. 118 , nr. 2 . — S. 263–288 . - doi : 10.1007/BF01218580 . ( arhiva WebCite )
  66. ↑ Eric A. Lord. Quasicristale și modele Penrose // Știința curentă. - 1991. - T. 61 , nr. 5 . - S. 313 .
  67. ↑ K. Culik, J. Kari. Un set aperiodic de cuburi Wang . Preluat: 25 septembrie 2013.
  68. ↑ G. Walther, C. Selter. Matematicadidactică ca și știința designului. - Leipzig: Ernst Klett Grundschulverlag, 1999. - ISBN 3122000601 .
  69. ↑ L. Danzer. Analogii tridimensionali ai plăcilor și cvasiccristalelor planare Penrose  // Matematică discretă. - 1989. - T. 76 . — S. 1–7 . - doi : 10.1016/0012-365X(89)90282-3 .
  70. ↑ Zerhusen A., Tigla tridimensională a lui Danzer
  71. ↑ Goodman-Strauss C. An Aperiodic Pair of Tiles in E n for all n ≥ 3  // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , nr. 5 . — S. 385–395 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0282 . (preprint disponibil aici )

Primele publicații

  1. ↑ Penrose, R. (1974), „Rolul esteticii în cercetarea matematică pură și aplicată”, Bull. Inst. Matematică. și aplicația sa. 10 :266-271
  2. ↑ Gardner, M. (ianuarie 1977), „Extraordinary nonperiodic tiling that enrichches the theory of tiles”, Scientific American 236 : 110-121
  3. ↑ Penrose, R. (1978), „Pentaplexity”, Eureka 39 : 16-22
  4. ↑ 1 2 Robinson, R. (1971), „Indecidibilitatea și nonperiodicitatea plăcilor în plan”, Inv. Matematică. 12 :177-209
  5. ↑ 1 2 3 Grünbaum, Shephard, 1986 .
  6. ↑ Beenker, FPM(1982), „Teoria algebrică a plăcilor non-periodice ale planului prin două blocuri simple: un pătrat și un romb”, Universitatea de Tehnologie Eindhoven, Raportul TH 82-WSK04
  7. ↑ Socolar, JES (1989), „Simple octagonal and dodecagonal quasicrystals”, Phys. Rev. A39 : 10519-51
  8. ↑ Gahler, F., „Crystallography of dodecagonal quasicrystals” , publicat în Janot, C.: Quasicrystalline materials: Proceedings of the ILL / Codest Workshop, Grenoble, 21-25 martie 1988. Singapore: World Scientific, 1988, 272-2784

Literatură

Link -uri

 mozaicuri geometrice
Periodic
Aperiodic
Alte
Prin configurarea vârfurilor
Sferic
Corect
semi
-corect
hiperbolic
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3,7) 2
  • (3,8) 2
  • 3.14 2
  • 3.16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4,5) 2
  • (4,6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4,7) 2
  • (4,8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4.14 2
  • 4.16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6,8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6.16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7.6 2
  • 7,8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8.6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2