Integrala Dirichlet

În matematică , există mai multe integrale cunoscute sub numele de integrală Dirichlet , numită după matematicianul german Peter Gustav Lejeune Dirichlet , dintre care una este integrala improprie a funcției sinc peste linia reală pozitivă:

\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2)).

Această integrală nu este absolut convergentă , ceea ce înseamnă că nu este integrabilă Lebesgue și, în consecință, integrala Dirichlet nu este definită conform integrării Lebesgue . Cu toate acestea, este definită conform unei integrale Riemann improprie sau integrale Riemann sau Henstock-Kurzweil generalizate . [1] [2] Valoarea integralei (conform integralei Riemann sau Henstock) poate fi obținută într-o varietate de moduri, inclusiv prin transformarea Laplace, integrarea dublă, diferențierea sub semnul integral, integrarea conturului și Dirichlet. miez . ${\Biggl |}{\frac {\sin x}{x}}{\Biggl |}$

Definiție

Transformarea Laplace

Lăsați funcția definită oricând . Atunci transformata Laplace a funcției are forma $f(t)$ $t\geq 0$

{\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int _{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,

dacă integrala există. [3]

Proprietatea transformării Laplace, utilă pentru calcularea integralelor improprie:

{\mathcal {L}}{\Biggl [}{\frac {f(t)}{t}}{\Biggl ]}=\int _{s}^{\infty}F(u)\ ,du,

cu condiția să existe. $\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(t)}{t))$

Această proprietate poate fi utilizată pentru a calcula integrala Dirichlet după cum urmează:

{\begin{aliniat}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t)}\,dt&=\lim _{s\rightarrow 0}\int _{0 }^{\infty }e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\lim _{s\rightarrow 0}{\mathcal {L}}{\Biggl [}{ \frac {\sin t}{t)){\Biggl ]}\\[6pt]&=\lim _{s\rightarrow 0}\int _{s}^{\infty }{\frac {du}{ u^{2}+1}}=\lim _{s\rightarrow 0}\arctan u{\Biggl |}_{s}^{\infty }\\[6pt]&=\lim _{s\rightarrow 0}{\Biggl [}{\frac {\pi }{2}}-\arctan(s){\Biggl ]}={\frac {\pi }{2)),\end{aliniat))

întrucât transformata Laplace a funcţiei . (A se vedea diferențierea sub „Diferențierea sub semnul integral”.) ${\mathcal {L}}\{\sin t\}={\frac {1}{s^{2}+1}}$ $\sin t$

Dubla integrare

Calcularea integralei Dirichlet folosind transformata Laplace este echivalentă cu încercarea de a calcula aceeași integrală de două ori definită în două moduri diferite, inversând ordinea integrării , și anume:

\left(I_{1}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,dt\,ds\right )=\left(I_{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,ds\,dt\right) ,

\left(I_{1}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s^{2}+1}}\,ds={\frac {\pi }{} 2}}\right)=\left(I_{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt\right),

cu conditia

s>0.

Diferențierea sub semnul integral (smecheria lui Feynman)

Să rescriem mai întâi integrala în funcție de variabila suplimentară . Lăsa $A$

f(a)=\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega .

Pentru a calcula integrala Dirichlet, trebuie să definim . $f(0)$

Diferențiați cu și aplicați formula Leibniz pentru diferențiere sub semnul integral pentru a obține $A$

{\begin{aligned}{\frac {df}{da}}&={\frac {d}{da}}\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega } {\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega =\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial a}}e^{-a\ omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega \\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega }\sin \omega \,d\omega .\end{aliniat}}

Acum, folosind formula lui Euler , putem exprima sinusoida în termeni de funcții exponențiale complexe. Astfel avem $e^{i\omega}=\cos \omega +i\sin \omega,$

\sin(\omega)={\frac {1}{2i}}\left(e^{i\omega}-e^{-i\omega}\right).

Prin urmare,

{\begin{aligned}{\frac {df}{da}}&=-\int _{0}^{\infty}e^{-a\omega}\sin \omega \,d\omega =-\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega }{\frac {e^{i\omega }-e^{-i\omega }}{2i}}d\omega \ \[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\int _{0}^{\infty }\left[e^{-\omega (ai)}-e^{-\omega (a +i)}\right]d\omega \\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left[{\frac {-1}{ai}}e^{-\omega (ai )}-{\frac {-1}{a+i}}e^{-\omega (a+i)}\right]{\Biggl |}_{0}^{\infty }\\[6pt] &=-{\frac {1}{2i}}\left[0-\left({\frac {-1}{ai}}+{\frac {1}{a+i}}\right)\right ]=-{\frac {1}{2i}}\left({\frac {1}{ai}}-{\frac {1}{a+i}}\right)\\[6pt]&=- {\frac {1}{2i}}\left({\frac {a+i-(ai)}{a^{2}+1}}\right)=-{\frac {1}{a^{ 2}+1}}.\end{aliniat}}

Integrarea peste dă $A$

f(a)=\int {\frac {-da}{a^{2}+1}}=A-\arctan a,

Unde trebuie determinată constanta integrării. Pentru că folosind valoarea principală. Inseamna $A$ $\lim _{a\to \infty }f(a)=0,$ $A=\lim _{a\to \infty}\arctan(a)={\frac {\pi }{2)),$

f(a)={\frac {\pi }{2}}-\arctan {a}.

În cele din urmă, pentru că avem , ca înainte. $a=0$ $f(0)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(0)={\frac {\pi }{2}}$

Integrare complexă

Același rezultat poate fi obținut prin integrare complexă. Considera

f(z)={\frac {e^{iz}}{z}}.

În funcție de o variabilă complexă, are la origine un pol simplu, care împiedică aplicarea lemei lui Jordan , ale cărei condiții sunt îndeplinite. $z$

Definim o noua functie [4]

g(z)={\frac {e^{iz}}{z+i\varepsilon }}.

Polul a fost îndepărtat de axa reală, astfel încât se integrează de-a lungul semicercului de rază din centru și este închis de-a lungul axei reale. Apoi luăm limita . $g(z)$ $R$ $z=0$ $\varepsilon \rightarrow 0$

Integrala complexă este zero după teorema reziduurilor , deoarece nu există poli în interiorul căii de integrare.

0=\int _{\gamma }g(z)\,dz=\int _{-R}^{R}{\frac {e^{ix}}{x+i\varepsilon }}\ ,dx+\int _{0}^{\pi }{\frac {e^{i(Re^{i\theta }+\theta )}}{Re^{i\theta }+i\varepsilon }}iR \,d\theta .

Al doilea termen dispare pe măsură ce se apropie de infinit. În ceea ce privește prima integrală, putem folosi o versiune a teoremei Sochocki-Plemelj pentru integralele de-a lungul dreptei reale: pentru o funcție complexă f definită și diferențiabilă continuu pe dreapta reală și constantele reale și , știind că putem găsi $R$ $A$ $b$ $a<0<b$

\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,

unde denotă valoarea principală Cauchy . Revenind la calculul original de mai sus, se poate scrie ${\mathcal {P}}$

0={\mathcal {P}}\int {\frac {e^{ix}}{x}}\,dx-\pi i.

Luând partea imaginară de ambele părți și observând că funcția este egală, obținem $\sin(x)/x$

\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=2\int _{0}^{+\infty }{\ frac {\sin(x)}{x}}\,dx.

In cele din urma,

\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\int _{0}^ {\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.

Alternativ, puteți alege ca contur de integrare să combinați semicercurile superioare semiplate ale razelor și împreună cu cele două segmente ale liniei reale care le leagă. Pe de o parte, integrala conturului este egală cu zero indiferent de și ; pe de altă parte, pentru și partea imaginară a integralei converge către ( este orice ramură a logaritmului din semiplanul superior), conducând la . $f$ $\varepsilon$ $R$ $\varepsilon$ $R$ $\varepsilon \to 0$ $R\la \infty$ $2I+\Im {\big (}\ln 0-\ln(\pi i){\big )}=2I-\pi$ $\ln z$ $I={\frac {\pi }{2}}$

Nuezul Dirichlet

Lăsa

D_{n}(x)=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(2kx)={\frac {\sin[(2n+1)x]}{\sin (X)}}

va fi un nucleu Dirichlet . [5]

De aici rezultă că

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}D_{n}(x)dx={\frac {\pi }{2)).$

Noi definim

f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{\sin(x)))&x\neq 0\\[6pt]0&x= 0\end{cazuri}}

Este clar că este continuă atunci când se aplică regula lui L'Hopital pentru a vedea continuitatea sa la 0 . $f$ $x\neq 0$

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)-x}{x\sin(x)))=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos( x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {-\sin(x)}{2\cos(x)-x \sin(x)}}=0.

Prin urmare, satisface cerințele lemei Riemann-Lebesgue . Inseamna $f$

\lim _{\lambda \to \infty}\int _{a}^{b}f(x)\sin(\lambda x)dx=0\Rightarrow \lim _{\lambda \to \infty }\int _{a}^{b}{\frac {\sin(\lambda x)}{x}}dx=\lim _{\lambda \to \infty }\int _{a}^{b} {\frac {\sin(\lambda x)}{\sin(x)))dx.

(Forma lemei Riemann-Lebesgue folosită aici este dovedită în articolul citat.)

Alegeți limite și . Vrem să spunem asta $a=0$ $b=\pi /2$

{\begin{aliniat}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t}}dt=&\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(t)}{t}}dt\\[6pt]=&\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(\lambda x)}{x}}dx\\[6pt]=&\lim _{\ lambda \to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(\lambda x)}{\sin(x)))dx\\[6pt] =&\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin((2n+1)x)}{\sin(x) )}}dx\\[6pt]=&\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}D_{n}(x)dx={\ frac {\pi }{2}}\end{aliniat}}

Cu toate acestea, pentru a face acest lucru, trebuie să justificăm comutarea limitei reale în limita integrală în . De fapt, acest lucru este justificat dacă putem arăta că limita există într-adevăr. Să demonstrăm. $\lambda$ $n$

Folosind integrarea pe părți , avem:

\int _{a}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}dx=\int _{a}^{b}{\frac {d(1-\cos( x))}{x}}dx=\left.{\frac {1-\cos(x)}{x}}\right|_{a}^{b}+\int _{a}^{b }{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}dx

Acum, din moment ce și , termenul din stânga converge fără probleme. Consultați lista limitelor funcțiilor trigonometrice . Acum vom arăta că ne integrăm, ceea ce înseamnă că limita există. [6] $a\la 0$ $b\to \infty$ $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1-\cos(x)}{x^{2))}dx$

În primul rând, ne propunem să evaluăm integrala în apropierea originii. Folosind expansiunea seriei Taylor a cosinusului aproape de zero,

1-\cos(x)=1-\sum _{k\geq 0}{\frac {x^{2k}}{2k!}}=-\sum _{k\geq 1}{\ frac {x^{2k}}{2k!}}.

Prin urmare,

\left|{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}\right|=\left|-\sum _{k\geq 0}{\frac {x^{ 2k}}{2(k+1)!}}\right|\leq \sum _{k\geq 0}{\frac {|x|^{k}}{k!}}=e^{|x |}.

Împărțind integrala în părți, obținem

\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {1-\cos(x)}{x^{2))}\right|dx\leq \int _{- \infty }^{-\varepsilon }{\frac {2}{x^{2))}dx+\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{|x|}dx+\int _{\ varepsilon }^{\infty }{\frac {2}{x^{2}}}dx\leq K,

pentru unele constante . Aceasta arată că integrala este absolut integrabilă, ceea ce înseamnă că integrala originală există, iar trecerea de la la a fost de fapt justificată, iar demonstrația este completă. $K>0$ $\lambda$ $n$

Vezi și

Note

↑ Bartle, Robert G. (10 iunie 1996). „Întoarceți-vă la integrala Riemann” (PDF) . The American Mathematical Monthly ]. 103 (8): 625-632. DOI : 10.2307/2974874 . JSTOR 2974874 . Arhivat din original (PDF) pe 2017-11-18 . Extras 2020-12-03 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ Bartle, Robert G. Chapter 10: The Generalized Riemann Integral // Introduction to Real Analysis : [ ing. ] / Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert. - John Wiley & Sons, 2011. - P. 311 . - ISBN 978-0-471-43331-6 .
↑ Zill, Dennis G. Capitolul 7: Transformarea Laplace // Ecuații diferențiale cu probleme cu valori la limită : [ ing. ] / Dennis G. Zill, Warren S. Wright. — Cengage Learning, 2013. — P. 274-5 . — ISBN 978-1-111-82706-9 .
↑ Appell, Walter. Matematică pentru fizică și fizicieni . Princeton University Press, 2007, p. 226. ISBN 978-0-691-13102-3 .
↑ Chen, Guo (26 iunie 2009),Un tratament al integralei Dirichlet prin metodele de analiză reală, < https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2009/REUPapers/ChenGuo.pdf > . Preluat la 3 decembrie 2020. .
↑ RC Daileda,Integrale nepotrivite, < http://ramanujan.math.trinity.edu/rdaileda/teach/m4342f10/improper_integrals.pdf > . Preluat la 3 decembrie 2020. .

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale