Diferenţială pătratică

O diferenţială pătratică pe o varietate este o secţiune a pătratului simetric al mănunchiului său cotangent . Cel mai adesea, această expresie este folosită în contextul varietăților complexe și se implică în mod tacit că această secțiune este holomorfă. Diferențialele pătratice sunt de o importanță extremă în teoria curbelor complexe sau suprafețele Riemann .

Definiția formală pentru suprafețele Riemann este următoarea: o suprafață Riemann este lipită de discuri complexe prin mapări holomorfe parțial definite între ele (funcții de lipire). Pe un domeniu în cu coordonate, diferența pătratică este dată ca , unde este o funcție holomorfă . În consecință, pe o suprafață Riemann, o diferenţială pătratică este o expresie care are această formă în fiecare diagramă locală. $\mathbb {C}$ $z$ $f(z)dz\otimes dz$ $f$

Pachetul cotangent al spațiului Teichmüller

Considerăm o familie holomorfă de curbe complexe netede (suprafețe Riemann) parametrizate de un parametru complex aparținând unui disc mic (adică o deformare a curbei cu un parametru ). Dacă o suprafață Riemann este reprezentată ca un set de mici discuri complexe lipite prin mapări holomorfe parțial definite între ele, atunci deformarea acestei suprafețe Riemann este dată prin modificarea legii prin care discurile sunt lipite unele de altele. Dacă luăm în considerare nu întreaga deformare, ci doar „primul coeficient al seriei Taylor ”, atunci în loc de un set de mapări de disc holomorfe (descrieri ale modului în care se modifică lipirea), obținem un set de câmpuri vectoriale holomorfe definite local . Ele reprezintă 1-cociclul Cehov al unui snop de câmpuri vectoriale holomorfe (adică un snop tangent holomorf ). Clasa sa în coomologie nu depinde de acoperirea suprafeței Riemann de către atlas, ci doar de deformarea în sine (mai precis, termenul său de ordinul întâi). $CT}$ $t$ $C=C_{0}$ $T_{C}$ $H^{1}(T_{C})$

Spațiul Teichmüller parametriză toate structurile complexe posibile pe o curbă. În mod corespunzător, o deformare cu un parametru a unei curbe este o mapare holomorfă dintr-un disc complex într-un spațiu Teichmüller, iar o deformare de ordinul întâi este un vector tangent la spațiul Teichmüller. Prin urmare, spațiul tangent la spațiul Teichmüller în punctul corespunzător curbei este izomorf din punct de vedere canonic cu spațiul de coomologie . Prin dualitatea Serra, acest spațiu este dual cu spațiul . Cu alte cuvinte, spațiul diferențialelor pătratice pe o suprafață Riemann este spațiul cotangent la punctul corespunzător din spațiul Teichmüller. $C$ $H^{1}(T_{C})$ $H^{0}(T_{C}^{*}\otimes K_{C})=H^{0}(K_{C}^{2})$

O altă modalitate de a specifica deformația unei curbe de ordinul întâi este de a descrie operatorul Kodaira-Spencer . Și anume, dacă este o formă 1 holomorfă sau o diferență abeliană de primul fel, atunci după deformare clasa sa de coomologie de Rham poate să nu fie reprezentată de nicio formă 1 holomorfă. Compararea părții antiholomorfe a clasei corespunzătoare dă operatorul , sau (formele antiholomorfe pot fi identificate cu funcționale pe spațiul formelor holomorfe folosind înmulțirea externă și integrarea ulterioară). Acest operator se numește operator Kodaira-Spencer. Dacă , atunci valoarea sa pe forma holomorfă este funcțional . $\alpha \in H^{1,0}(C)$ $\alfa$ $H^{1,0}(C)\la H^{0,1}(C)$ $\Omega (C)\la \Omega ^{*}(C)$ $\Omega (C)$ $v\in T_{C}\mathrm {Teich} =H^{0}(K_{C}^{2})^{*}$ $\alfa$ $\beta \mapsto v(\alpha \otimes \beta )$

Dimensiunea spațiului diferențialelor pătratice

Aplicând teorema Riemann-Roch la mănunchiul tangent , avem . Gradul mănunchiului tangent al curbei genului este , deci de aici putem exprima dimensiunea spațiului diferențialelor pătratice ca . Pe o curbă rațională ( ), pe care câmpurile vectoriale holomorfe formează o algebră Lie tridimensională , prin urmare, nu există diferențe pătratice diferite de zero. Pe o curbă eliptică ( ), pe care există un singur câmp vectorial holomorf, iar spațiul diferențialelor pătratice este unidimensional. Pentru , estimarea Hurwitz implică dispariția , astfel încât pentru curbele de gen mare, spațiul diferențialelor pătratice are dimensiunea . După cum se știe, dimensiunea spațiului Teichmüller este aceeași: orice deformare a curbei de ordinul întâi, după cum se spune, este nerestricționată (adică poate fi extinsă la o deformare cinstită parametrizată de un disc). $T_{C}$ $\dim H^{0}(T_{C})-\dim H^{0}(T_{C}^{*}\otimes K_{C})=\deg(T_{C})- g+1$ $g$ $2-2g$ $\dim H^{0}(K_{C}^{2})=3g-3+\dim H^{0}(T_{C})$ $g=0$ $g=1$ $g>1$ $H^{0}(T_{C})$ $3g-3$

Teorema lui Noether asupra diferenţialelor pătratice

Dacă sunt două forme 1 holomorfe, atunci produsul lor simetric este o diferenţială pătratică. Cu alte cuvinte, înmulțirea simetrică definește o mapare . Pe o curbă eliptică, oricare două forme 1 holomorfe sunt proporționale, iar spațiul diferenţialelor pătratice este unidimensional, astfel încât fiecare diferenţială pătratică se descompune într-un produs al formelor 1 holomorfe prin consideraţii triviale. În mod similar, maparea pentru o curbă de genul doi este un izomorfism. $\alpha ,\beta$ $\alpha \otimes \beta$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Să presupunem, totuși, că curba admite o involuție holomorfă . Apoi acționează și ca o involuție pe spațiul formelor 1 holomorfe, deci are subspații proprii cu numere proprii și . Primele definesc forme holomorfe pe factorul . Prin urmare, dacă această involuție este hipereliptică , adică factorul din ea este o curbă rațională, atunci acest subspațiu propriu este zero, deoarece o curbă rațională nu admite forme holomorfe, iar involuția acționează asupra oricărei forme 1 holomorfe ca . Prin urmare, asupra diferenţialelor pătratice generate de produse de forma , acţionează identic. Pe de altă parte, clasele de coomologie asupra cărora acționează identic involuția hipereliptică sunt tocmai deformațiile care păstrează hiperelipticitatea. Pentru genul doi, aceasta nu este o condiție non-trivială, deoarece fiecare curbă a genului doi este hipereliptică; cu toate acestea, pentru curbele de genul trei și mai sus, acest lucru nu mai este adevărat. Prin urmare, pentru o curbă hipereliptică a genului , maparea nu mai este surjectivă. $C$ $\iota \colon C\to C$ $+1$ $-unu$ $C/\iota$ $\iota ^{*}\alpha =-\alpha$ $\alpha \otimes \beta$ $H^{1}(T_{C})$ $C$ $g>2$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Teorema lui Max Noether asupra diferenţialelor pătratice afirmă că aceasta este singura excepţie: pentru orice curbă, cu excepţia curbelor hipereliptice de genul trei şi mai mari, orice diferenţială pătratică poate fi reprezentată ca o sumă de monomii de forma , unde sunt unele 1-forme holomorfe. De fapt, chiar mai mult este adevărat: pe orice curbă non-hipereliptică a genului mai mare de doi, se pot alege trei forme 1 holomorfe, astfel încât fiecare diferenţială pătratică să aibă forma , unde sunt unele forme 1 holomorfe. $\alpha \otimes \beta$ $\alpha ,\beta$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ $\alpha \otimes \alpha '+\beta \otimes \beta '+\gamma \otimes \gamma '$ $\alpha ',\beta ',\gamma '$

În ceea ce privește spațiile de module, teorema lui Noether poate fi descrisă după cum urmează. Spațiul dual la pătratul simetric este spațiul tangent la semi-spațiul superior Siegel parametrizând varietățile abeliene , în punctul corespunzător varietății jacobiene a curbei . Maparea unei curbe la varietatea sa jacobiană oferă o mapare din spațiul Teichmüller la semi-spațiul superior Siegel, numită maparea Torelli . Diferenţialul mapării Torelli este exact dualul mapării înmulţirii simetrice . Astfel, pentru curbele non-hipereliptice, această diferenţială este injectabilă. Rețineți că harta Torelli în sine este, de asemenea, injectivă pentru curbele hipereliptice, deși are o diferență degenerată de-a lungul locusului hipereliptic. Această afirmație se numește teorema lui Torelli pentru curbe. $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)^{*}$ $C$ $\mathrm {Teich} \to {\mathfrak {Z)}$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Suprafețe semi-translaționale

În afara zerourilor sale, diferenţialul pătratic admite o extragere bine definită, deşi până la semn, a unei rădăcini pătrate: dacă în unele hărţi diferenţialul pătratic are forma , unde este o funcţie zero nicăieri, atunci forma 1 holomorfă satisface . Aceasta, minus forma , este singura formă cu o astfel de condiție; nimeni, însă, nu a promis că continuarea analitică a acestei forme în jurul zero nu va schimba semnul. Astfel, forma 1 devine bine definită numai după o acoperire dublă ramificată la zerouri . Se numește acoperire spectrală . Dacă genul suprafeței a fost , și nu are mai multe zerouri, atunci genul acoperirii sale spectrale poate fi derivat din relația cu caracteristicile Euler , care este echivalentă cu formula Riemann-Hurwitz : (mai întâi înțepăm zerouri, acoperim de două ori, apoi înțepăți zerourile înapoi). Simplificand, avem . Rețineți că involuția care rearanjează foile învelișului spectral, așa cum sa discutat mai sus, acționează asupra spațiului formelor holomorfe și are propriile sale subspații pentru valorile proprii și , în plus, primul este identificat cu ridicări de forme holomorfe din factor - adică curba în sine . Prin urmare, este -dimensional, iar spațiul formelor care sunt anti-invariante față de acoperirea spectrală are dimensiunea . Perioadele acestor forme determină coordonatele locale pe spațiul total al fasciculului cotangent la spațiul de module din care a fost omisă subvarietatea corespunzătoare formelor cu zerouri multiple. Imaginea inversă a măsurii Lebesgue pe determină măsura volumului finit pe spațiul total al mănunchiului cotangent, volumul total al acestuia se numește volumul Mazur - Vicz . Valorile acestor volume sunt încă un mister. $q$ $f(z)dz\otimes dz$ $f(z)$ $\alpha ={\sqrt {f(z)}}dz$ $q=\alpha \otimes \alpha$ $-\alpha$ $\alfa$ $q$ $g$ $q$ $g'$ $2-2g'=2(2-2g-(4g-4))+4g-4$ $4g-4$ $g'=4g-3$ $+1$ $-unu$ $C$ $g$ $4g-3-g=3g-3$ $\mathbb {C} ^{3g-3}$

Integrarea nedefinită a unei forme 1 holomorfe oferă coordonate locale în afara zerourilor sale, ale căror funcții de tranziție sunt translații paralele , denumite altfel translații. O suprafață cu un atlas de această formă se numește suprafață de translație . Geometric, este pur și simplu o structură plată având un unghi total la zerouri care este un multiplu întreg al lui . În mod similar, se poate integra rădăcina pătrată a unei diferenţiale pătratice (chiar dacă este definită până la semn). $z\mapsto z+c$ $2\pi$

Mai precis, fie o diferență pătratică diferită de zero pe suprafața Riemann și fie zerourile sale. Să alegem un punct diferit de ele . Atunci integrala nedefinită este bine definită și depinde doar de clasa de homotopie a căii, în special, definește maparea acoperirii universale , numită maparea de dezvoltare . Acest lucru oferă un set de diagrame pe o suprafață Riemann perforată , funcțiile de regulare între care sunt simplificate la (unde apare semnul deoarece semnul rădăcinii pătrate se poate schimba atunci când merge în jurul zero). O astfel de structură geometrică se numește suprafață semi-translațională . Făcând suficiente tăieturi între zerouri pentru a face suprafața pur și simplu conectată, se poate realiza ca pe zona rămasă maparea de desfășurare să devină o funcție holomorfă cu o singură valoare care definește maparea pe poligon. Astfel, o suprafață cu diferenţial pătratic poate fi reprezentată ca un poligon (eventual neconvex) în plan complex, ale cărui laturi paralele sunt lipite conform legii . În schimb, dacă există o suprafață realizată în acest mod, sau printr-un set de hărți cu funcții de regulare de forma , diferența pătratică de pe această suprafață este restabilită în fiecare hartă ca imagine inversă . Este ușor de observat că aceste diferențe vor fi consistente pe acest tip de placaj. Din punct de vedere geometric, o suprafață semi-translațională este o structură plată cu singularități care au unghiuri complete care sunt multipli de . $q$ $C$ $Z_{q}=\{x_{1},\dots x_{4g-4}\}$ $z_{0}\în C$ $z\mapsto \int _{z_{0}}^{z}{\sqrt {q}}$ ${\widetilde {C\setminus Z_{q)}}\la \mathbb {C}$ $C\setminus Z_{q)$ $z\mapsto \pm z+c$ $z\mapsto \pm z+c$ $z\mapsto \pm z+c$ $dz\otimes dz$ $\pi$

Folii măsurabile

O diferenţială pătratică în fiecare punct în care nu dispare are două direcţii reale date de vectori şi , unde numărul (resp. ) este pozitiv (resp. negativ). Când afișează o matură, acestea se deplasează în direcțiile orizontale și verticale pe . La suprafață, câmpul de direcție definește o folie , iar aceste două folii reciproc perpendiculare sunt numite orizontale și verticale . La zerourile diferenţialului, aceste foliaţii au singularităţi, şi anume acolo curbele integrale ale acestei folii converg într-un asemenea număr încât unghiul total la această singularitate are o structură plată asociată cu o diferenţială pătratică. ${\displaystyle v_{+))$ $v_{-}$ $q(v_{+},v_{+})$ $q(v_{-},v_{-})$ $\mathbb {C}$

Măsura transversală pe folierea reală poate fi definită după cum urmează. Într-o hartă suficient de mică, folierea este pur și simplu proiecția discului pe un segment, ale cărui straturi sunt curbe integrale. O măsură pe un segment definește o măsură pe orice curbă care intersectează foliația transversal. Setul de astfel de măsuri din fiecare diagramă, care este consecvent la intersecțiile diagramelor, se numește măsură transversală pe o suprafață foliată. Mai simplu spus, măsura transversală atribuie oricărui arc care intersectează transversal foliația numărul , care însumează atunci când arcul este împărțit într-o uniune de arce mai mici și nu se schimbă dacă arcul începe să varieze, lăsându-și capetele pe aceleași foi. a folierii. O foliare cu o măsură transversală dată pe ea se numește folie măsurabilă . În cazul foliilor asociate cu o diferenţială pătratică, proiecţiile de mai sus sunt pur şi simplu proiecţii pe axele mm şi reale, care au propria lor măsură naturală Lebesgue . Astfel, diferenţialul pătratic defineşte nu doar o pereche de foliaţii, ci o pereche de foliaţii măsurabile. $\xi$ $\mu (\xi )$

Dacă este o curbă simplă închisă, atunci valoarea măsurii transversale de pe ea poate fi definită ca , unde este mulțimea de arce care se află pe și intersectează foliația transversal. Dacă este o clasă de curbe simple închise până la izotopie, numărul de intersecție al unei folii măsurabile cu această clasă este definit ca . Se spune că două folii măsurabile sunt echivalente dacă dau aceeași intersecție cu fiecare clasă de izotopie de curbe simple închise. Aceasta este o versiune metrică a conceptului de omologie a două forme diferențiale închise: două forme 1 sunt coomologice dacă integralele lor pentru toate clasele de omologie sunt aceleași. $\xi$ $\mu (\xi)=\sup _{\xi _{1},\dots,\xi _{m))\sum _{i=1}^{m}\mu (\xi _{ i})$ $\xi _{i}$ $\xi$ $\sigma$ $\inf _{\xi \in \sigma }\mu (\xi )$

Una dintre consecințele standard ale teoriei Hodge (de fapt, mai degrabă punctul de plecare pentru dezvoltarea sa) este că spațiul formelor 1 holomorfe pe o suprafață Riemann poate fi identificat cu spațiul primei coomologie de Rham: fiecare clasă de coomologie de Rham este reprezentată. printr-o formă armonică unică după teorema fundamentală a teoriei Hodge, iar formele armonice de pe curbă sunt exact părțile reale ale celor holomorfe. O descriere topologică similară a datelor holomorfe pentru diferențiale pătratice este dată de teorema Mazur- Hubard : fiecare folie măsurabilă pe o suprafață Riemann admite și, în plus, o diferenţială unică, pătratică a cărei foliare verticală este echivalentă cu aceasta.

Literatură

HM Farkas, I. Kra. Riemann Surfaces , Texte de absolvent în matematică. Springer, ediția a 2-a, 1992.
Michael Wolf. Despre realizarea foliilor măsurate prin diferențiale qadratice ale hărților armonice la arbori R