Lema lui Schreier

Lema Schreier este o teoremă din teoria grupurilor utilizată în algoritmul Schreier-Sims . Teorema a fost demonstrată de Otto Schreyer în 1927 [1] .

Din teoremă rezultă că orice subgrup al unui grup finit generat cu un indice finit este de asemenea generat finit [2] .

Formulare

Fie un subgrup al unui grup finit generat cu generator , adică . $H$ $G$ $S$ $G=\langle S\rangle$

Fie o transversală a claselor din stânga . Se notează prin reprezentantul clasei care conține . $R=G/H$ $hH$ $\overline{x}$ $x\în G$

Într-o astfel de notație, subgrupul este generat de mulțimea . $H$ ${\textstyle \{({\overline {sg)})^{-1}sg:g\în R,s\în S\}}$

Dovada

Formulare pentru orbite

În algoritmul Schreier-Sims, teorema se aplică cazului specific când acţionează asupra unei mulţimi şi este stabilizatorul unui element . $G$ $\Omega$ $H=G_{\omega )$ $\omega \in \Omega$

Există o corespondență unu-la-unu între elementele orbitei și transversala . Și anume, toate elementele unei clase adiacente sunt transferate pe același element al orbitei. $G\omega$ $G/G_{\omega )$ $\omega$

Prin urmare, notăm prin elementul care se traduce în , adică . Într-o astfel de notație, lema poate fi scrisă astfel: . $\overline {\alpha }$ $G/G_{\omega )$ $\omega$ $\alfa$ ${\overline {\alpha }}\omega =\alpha$ ${\textstyle G_{\omega}=\langle \{({\overline {s\alpha }})^{-1}s{\overline {\alpha }}|\alpha \in G_{\omega},s \în S\}\rangle }$

Vezi și

Algoritmul Schreier-Sims

Note

↑ Otto Schreier. Die Untergruppen der freien Gruppen // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1927-12. - T. 5 , nr. 1 . — S. 161–183 . — ISSN 1865-8784 0025-5858, 1865-8784 . - doi : 10.1007/bf02952517 .
↑ Hall, Marshall 1910-1990 Verfasser. Teoria grupurilor . — ISBN 9780486816906 , 0486816907.

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformă grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier