Mediana triunghiului

Mediana unui triunghi ( lat. mediāna - mijloc) este un segment care leagă vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Uneori mediana este numită și linia care conține acest segment. Punctul de intersecție al medianei cu latura triunghiului se numește baza medianei .

Definiții înrudite

Punctul de intersecție al medianelor împarte fiecare mediană în două segmente. Segmentul de la vârf până la punctul de intersecție se numește premedian , iar segmentul de la punctul de intersecție spre partea opusă este postmedian . [1] În special, putem spune că în orice triunghi raportul dintre premedian și postmedian este egal cu doi .

Proprietăți

Proprietatea principală

Toate cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct , care se numește centrul de greutate sau centrul de greutate al triunghiului, și sunt împărțite de acest punct în două părți într-un raport de 2: 1, numărând de sus.

Proprietățile medianelor unui triunghi isoscel

Într -un triunghi isoscel , două mediane trasate pe laturile egale ale triunghiului sunt egale, iar a treia mediană este atât bisectoarea , cât și altitudinea . Este adevărat și invers: dacă două mediane dintr-un triunghi sunt egale, atunci triunghiul este isoscel, iar a treia mediană este atât bisectoarea, cât și înălțimea unghiului de la vârf.

Într-un triunghi echilateral, toate cele trei mediane sunt egale.

Proprietățile bazelor medianelor

Teorema lui Euler pentru un cerc de nouă puncte : bazele celor trei înălțimi ale unui triunghi arbitrar, punctele mijlocii ale celor trei laturi ale sale ( bazele medianelor sale ) și punctele mijlocii ale celor trei segmente care leagă vârfurile sale cu ortocentrul , toate se află pe același cerc (așa-numitul cerc de nouă puncte ).
Segmentul trasat prin bazele oricăror două mediane ale unui triunghi este linia sa mediană . Linia mediană a unui triunghi este întotdeauna paralelă cu latura triunghiului cu care nu are puncte comune.
- Corolar ( teorema lui Thales asupra segmentelor paralele ). Linia mediană a unui triunghi este jumătate din lungimea laturii triunghiului cu care este paralel.
Terkem a demonstrat teorema lui Terkem . [2] Ea afirmă că dacă un cerc de nouă puncte intersectează laturile unui triunghi sau prelungirile acestora în 3 perechi de puncte (în 3 baze respectiv de înălțimi și mediane) care sunt bazele a 3 perechi de cevian, atunci dacă 3 cevian pentru 3 dintre aceste baze se intersectează la 1 punct (de exemplu, 3 mediane se intersectează la 1 punct), apoi 3 cevie pentru alte 3 baze se intersectează și ele în 1 punct (adică trebuie să se intersecteze și 3 înălțimi la 1 punct).

Alte proprietăți

Dacă un triunghi este scalen ( neechilateral ), atunci bisectoarea sa desenată din orice vârf se află între mediana și înălțimea desenată din același vârf.
Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri egale (în suprafață).
Un triunghi este împărțit cu trei mediane în șase triunghiuri de arie egală. Centrele cercurilor circumscrise acestor șase triunghiuri se află pe același cerc, care se numește cercul lui Lamun .
Din segmentele care formează medianele, puteți face un triunghi, aria care va fi egală cu 3/4 din întregul triunghi. Lungimile mediane satisfac inegalitatea triunghiului .
Într -un triunghi dreptunghic , mediana trasă dintr-un vârf cu unghi drept este jumătate din ipotenuză.
Latura mai lungă a triunghiului corespunde medianei mai mici.
Un segment de linie dreaptă care este simetric sau izogonal conjugat cu mediana internă în raport cu bisectoarea internă se numește simediana triunghiului. Trei simediani trec printr-un punct - punctul Lemoine .
Mediana unui unghi al unui triunghi este conjugată izotomic cu ea însăși.

Polara triliniară a centroidului (punctele de intersecție a trei mediane) este o linie dreaptă la infinit (vezi Fig.).

Raporturi de bază

Pentru a calcula lungimea medianei, când se cunosc lungimile laturilor triunghiului, se aplică teorema Apollonius (derivată prin teorema Stewart sau prin extinderea la un paralelogram și folosind egalitatea din paralelogram a sumei pătratelor). a laturilor și suma pătratelor diagonalelor):

m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},

m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},

m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},

unde sunt medianele laturilor triunghiului, respectiv.

m_{a},\m_{b},\m_{c)

a,\b,\c

În special, suma pătratelor medianelor unui triunghi arbitrar este 3/4 din suma pătratelor laturilor sale:

m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac 34}(a^{2}+b^{2}+c^{2} )

În schimb, se poate exprima lungimea unei laturi arbitrare a unui triunghi în termeni de mediane:

a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}} ,

b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}} ,

c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}} ,

unde sunt medianele laturilor corespunzătoare ale triunghiului, sunt laturile triunghiului.

m_{a},m_{b},m_{c}

a,b,c

Aria oricărui triunghi, exprimată în termeni de lungimi ale medianelor sale: $S$

S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c)))} ),

unde este jumătate din suma lungimilor medianelor.

\sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2

Variații și generalizări

Ceviana este un segment de dreaptă dintr-un triunghi care leagă vârful triunghiului de un punct din partea opusă.

Vezi și

Note

↑ Starikov V.N. Al 10-lea studiu despre geometrie (§ Înainte- (pre-)- și post-Cevians) // Jurnal științific revizuit de colegi a Universității Agrare de Stat din Moscova „Știință și Educație”. 2020. Nr. 1. 7 p.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/ 1604
↑ Dmitri Efremov . New Triangle Geometry Arhivat 25 februarie 2020 la Wayback Machine . - Odesa, 1902. - S. 16.

Literatură

Efremov Dm. Noua geometrie a triunghiului , 1902.

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex