Numar ordinal

În teoria mulțimilor, un număr ordinal sau ordinal ( latina ordinalis - ordinal) este tipul ordinal al unei mulțimi complet ordonate . De regulă, numerele ordinale sunt identificate cu mulțimi tranzitive ereditar . Ordinalele sunt una dintre extensiile numerelor naturale , diferite atât de numere întregi , cât și de cardinale . Ca și alte tipuri de numere, ele pot fi adăugate, înmulțite și ridicate la o putere. Numerele ordinale infinite sunt numite transfinite ( lat. trans - pentru, prin + finitio - margine, limită). Ordinalele joacă un rol cheie în demonstrarea multor teoreme ale teoriei mulțimilor , în special datorită principiului conex al inducției transfinite .

Numerele ordinale au fost introduse de Georg Cantor în 1883 ca o modalitate de a descrie secvențe infinite , precum și de clasificare a mulțimilor care au o anumită structură ordonată . [1] El a descoperit accidental numerele ordinale în timp ce lucra la o problemă care implică serii trigonometrice .

Setează și au aceeași cardinalitate dacă este posibil să se stabilească o corespondență bijectivă între ele (adică indicați o funcție care este atât injectivă , cât și surjectivă : fiecare dintre corespunde singurului dintre , iar fiecare dintre este imaginea singurului din ). $S$ $S'$ $f$ $X$ $S$ $y = f(x)$ $S'$ $y$ $S'$ $X$ $S$

Să presupunem că mulțimilor și le sunt date ordine parțiale și, respectiv. Apoi mulțimile parțial ordonate și se spune că sunt izomorfe care păstrează ordinea dacă există o hartă bijectivă astfel încât ordinea dată să fie păstrată. Cu alte cuvinte, dacă și numai dacă . Orice mulțime bine ordonată este izomorfă care păstrează ordinea în raport cu o mulțime ordonată natural de numere ordinale mai mici decât un ordinal definit (egal cu tipul ordinal ). $S$ $S'$ $<$ $<'$ $(S,<)$ $(S',<')$ $f$ $f(a)<'f(b)$ $a<b$ $(S,<)$ $(S,<)$

Numerele ordinale finite (și cardinale) sunt numere din seria naturală: 0, 1, 2, ..., deoarece oricare două ordonări complete ale unei mulțimi finite sunt izomorfe cu păstrarea ordinii . Cel mai mic număr ordinal infinit mare este identificat cu numărul cardinal . Cu toate acestea, în cazul numerelor transfinite mai mari decât , ordinalele — în comparație cu numerele cardinale — ne permit să exprimăm o clasificare mai fină a mulțimilor pe baza informațiilor despre ordonarea lor. În timp ce toate mulțimile numărabile sunt descrise de un număr cardinal egal cu , numărul de ordinale numărabile este infinit de mare și, în plus, de nenumărat: $\omega$ $\aleph_0$ $\omega$ $\aleph_0$

\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{ 3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega )),\dots ,\varepsilon _{0},...

În acest caz, adunarea și înmulțirea nu au proprietatea comutativității: de exemplu, coincide cu dar diferă de ; asemanatoare dar nu la fel . Mulțimea tuturor ordinalelor numărabile formează primul număr ordinal nenumărabil corespunzător numărului cardinal (următorul număr după ). Numerele cardinale bine ordonate sunt identificate cu ordinalele lor inițiale , adică ordinalele minime ale cardinalității corespunzătoare . Puterea unui număr ordinal definește o corespondență multi-la-unu între clasele de numere ordinale și cardinale. $1+\omega$ $\omega$ $\omega +1$ $2\cdot \omega =\omega$ $\omega \cdot 2$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

De obicei, un ordinal arbitrar este definit ca tipul ordinal al setului de ordinale strict mai mici decât . Această proprietate ne permite să reprezentăm orice număr ordinal ca un set de ordinale strict mai mici decât el însuși. Toate numerele ordinale pot fi împărțite în trei categorii: zero, ordinal următor și ordinal limită (cel din urmă se distinge prin finalitatea lor ). Pentru o anumită clasă de numere ordinale, puteți specifica al ei element - cu alte cuvinte, elementele clasei pot fi indexate (numărate). O astfel de clasă va fi închisă și nemărginită cu condiția ca funcția de indexare să fie continuă și să nu se oprească niciodată. Forma normală a lui Cantor face posibilă reprezentarea unică a oricărui număr ordinal ca o sumă finită de puteri ordinale . Cu toate acestea, această formă nu poate fi folosită ca bază pentru un sistem de notație ordinal universal din cauza prezenței reprezentărilor autoreferențiale în el: de exemplu, . Puteți defini numere ordinale din ce în ce mai mari, dar pe măsură ce cresc, descrierea lor devine mai complicată. Orice număr ordinal poate fi reprezentat ca spațiu topologic prin atribuirea unei topologii ordinale . O astfel de topologie va fi discretă dacă și numai dacă ordinalul corespunzător nu depășește un număr cardinal numărabil, adică este mai mic sau egal cu . Un subset va fi deschis în topologia de ordine dacă și numai dacă este cofinit sau nu conține ca element. $\alfa$ $\alfa$ $\alfa$ $\omega$ $\varepsilon _{0}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}}$ $\omega$ $\omega +1$ $\omega$

Numerele ordinale ca extensie a mulțimii numerelor naturale

Numerele naturale (care includ 0 în acest caz ) au două utilizări principale: descrierea mărimii unei mulțimi și descrierea poziției unui element într-o anumită secvență. În cazul mulţimilor finite, aceste concepte coincid; până la izomorfism , există o singură modalitate de a aranja elementele unei mulțimi finite ca șir. În cazul mulțimilor infinite, este necesar să se distingă conceptul de dimensiune și numerele cardinale asociate cu acesta de conceptul de poziție, a cărui generalizare este numerele ordinale descrise în acest articol. Acest lucru se explică prin faptul că o mulțime infinită, având o dimensiune definită unic ( cardinalitate ), poate fi bine ordonată în mai multe moduri neizomorfe.

În timp ce conceptul de număr cardinal asociat cu o mulțime nu necesită nicio structură care să fie specificată pe acesta, ordinalele sunt strâns legate de un tip special de mulțime numită bine ordonată (de fapt, aceste concepte sunt atât de apropiate încât unii matematicieni nu face orice diferență între ele).diferențe). Termenul se referă la o mulțime ordonată liniar (adică o mulțime cu un mod uniform de a alege cea mai mică și cea mai mare valoare pentru o pereche arbitrară de elemente) în care nu există secvențe infinit descrescătoare (deși pot exista unele infinit crescătoare), sau, într-o formulare echivalentă, o mulțime în care orice submulțime nevid conține cel mai mic element. Numerele ordinale pot fi folosite atât pentru a desemna elementele oricărei mulțimi bine ordonate (cel mai mic element este etichetat cu 0, următorul este etichetat cu 1, următorul este 2, „și așa mai departe”), cât și pentru a măsura „ dimensiunea" întregului set prin specificarea celui mai mic ordinal care nu este eticheta niciunui element al mulțimii. Această „dimensiune” se numește tipul ordinal al mulțimii.

Orice număr ordinal este definit de un set de ordinale precedente: de fapt, cea mai comună definiție a unui număr ordinal îl identifică cu un set de ordinale precedente. Astfel, ordinalul 42 este tipul ordinal al mulțimii de ordinale precedente, adică ordinalii de la 0 (cel mai mic ordinal) la 41 (predecesorul imediat al lui 42) și este de obicei identificat cu mulțimea . Reversul este, de asemenea, adevărat: orice set de ordinale închise în jos — adică, astfel încât, pentru orice ordinal și orice ordinal, ordinalul este, de asemenea, un element — este el însuși un ordinal (sau poate fi identificat cu unul). $\{0,\,1,\,2,\ldots ,\,41\}$ $S$ $\alpha \în S$ $\beta <\alpha$ $\beta$ $S$

Până în acest punct, am menționat doar ordinale finite, care sunt la fel cu numerele naturale. Pe lângă ele, există și ordinale infinite: cel mai mic dintre ele este tipul ordinal de numere naturale (ordinale finite) , care pot fi chiar identificate cu mulțimea numerelor naturale în sine (într-adevăr: mulțimea numerelor naturale este închisă în jos ). și, ca orice set de ordinale, este complet ordonat, - prin urmare, poate fi identificat cu numărul ordinal corespunzător, care corespunde exact definiției lui ). $\omega$ $\omega$

Poate că o idee mai intuitivă a numerelor ordinale poate fi obținută luând în considerare câțiva dintre primii lor reprezentanți: după cum am menționat mai sus, setul de ordinale începe cu numerele naturale După toate numerele naturale, există primul ordinal infinit , urmat de , , , și așa mai departe. (Semnificația exactă a adunării va fi definită mai târziu, deci luați în considerare această notație ca o notație simplă) După ce toate astfel de numere sunt (adică ), , , și așa mai departe, apoi , și după aceasta - . În plus, mulțimea de ordinale care pot fi scrise ca , unde și sunt numere naturale, trebuie să aibă și un număr ordinal corespunzător: un astfel de număr va fi . Va fi urmat de , ,…, , apoi - mult mai târziu - ( "epsilon-zero" ) (exemplele enumerate dau o idee despre ordinale de numărare relativ mici). Acest proces poate fi continuat pe termen nelimitat. Cel mai mic ordinal nenumărabil este mulțimea tuturor ordinalelor numărabile și este notat cu . $0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\ldots$ $\omega$ $\omega +1$ $\omega +2$ $\omega +3$ $\omega \cdot 2$ $\omega +\omega$ $\omega \cdot 2 + 1$ $\omega \cdot 2+2$ $\omega \cdot 3$ $\omega \cdot 4$ $\omega \cdot m+n$ $m$ $n$ $\omega ^{2}$ $\omega ^{3}$ $\omega ^{4}$ $\omega^\omega$ $\omega ^{{\omega ^{2}}}$ $\varepsilon_{0}$ $\omega_{1}$

Definiții

Literele grecești mici sunt utilizate în mod obișnuit pentru a desemna numerele ordinale . Acest articol respectă o astfel de notație. $\alpha ,\beta ,\dots$

Seturi bine ordonate

Fiecare submulțime nevidă a unui set bine ordonat conține cel mai mic element. Sub rezerva axiomei alegerii dependente, aceasta este echivalentă cu a spune că mulțimea este ordonată liniar și nu conține secvențe infinit descrescătoare - această din urmă formulare este probabil mai ușor de vizualizat. În practică, importanța conceptului de ordonare se explică prin posibilitatea utilizării inducției transfinite , a cărei idee principală este că orice proprietate care trece de la predecesorii unui element la sine trebuie să fie satisfăcută pentru toate elementele ( incluse într-un set dat bine ordonat). Dacă stările de calcul (ale unui program de calculator sau joc) pot fi ordonate complet astfel încât fiecare pas ulterior să fie „mai puțin” decât cel anterior, atunci procesul de calcul este garantat a fi finalizat.

Mai mult, nu dorim să distingem între două mulțimi bine ordonate dacă diferă doar prin „etichetarea elementelor lor”, sau, mai formal, dacă elementele primului set pot fi legate de elementele celui de-al doilea într-un astfel de într-un mod în care într-o pereche arbitrară de elemente dintr-o mulțime, primul este mai mic decât al doilea dacă și numai dacă aceeași relație este valabilă între partenerii lor respectivi din a doua mulțime. O astfel de corespondență unu-la-unu se numește izomorfism de păstrare a ordinii , iar două mulțimi bine ordonate sunt numite izomorfe de păstrare a ordinii sau similare (o astfel de similitudine este, evident, o relație de echivalență ). Dacă două mulțimi bine ordonate sunt izomorfe cu păstrarea ordinii, atunci izomorfismul corespunzător este unic: această împrejurare ne permite să percepem mulțimile menționate ca practic identice și servește drept bază pentru căutarea unei reprezentări „canonice” a tipurilor de izomorfism (clasele). ). Numerele ordinale nu joacă doar rolul unei astfel de reprezentări, ci ne oferă și o etichetare canonică a elementelor oricărei mulțimi bine ordonate.

Cu alte cuvinte, dorim să introducem conceptul de ordinal ca o clasă de izomorfisme ale mulțimilor bine ordonate, adică o clasă de echivalență bazată pe relația „izomorfism care păstrează ordinea”. Cu această abordare, totuși, există o dificultate tehnică: clasa de echivalență definită în acest fel se dovedește a fi prea mare pentru a se încadra în definiția unei mulțimi în termenii formalizării standard Zermelo-Fraenkel a teoriei mulțimilor . Cu toate acestea, această complexitate nu creează probleme serioase. Vom numi un ordinal tipul ordinal al unei mulțimi arbitrare dintr-o astfel de clasă.

Definiția numerelor ordinale ca clase de echivalență

În definiția inițială a unui număr ordinal, care poate fi găsită, de exemplu, în Principia Mathematica , tipul ordinal al unor bine-ordonări este înțeles ca fiind mulțimea tuturor ordinelor bine asemănătoare cu acesta (izomorf cu păstrarea ordinii). ): cu alte cuvinte, numărul ordinal este într-adevăr o clasă de echivalență mulțimi bine ordonate. În teoria ZFC și sistemele axiomatice conexe ale teoriei mulțimilor, o astfel de definiție este inacceptabilă, deoarece clasele de echivalență corespunzătoare sunt prea mari pentru a fi considerate mulțimi. Cu toate acestea, această definiție poate fi folosită în teoria tipurilor și teoria axiomatică a mulțimilor a lui Quine ( New Foundations ), precum și în alte sisteme similare (în care ne permite să formulăm o modalitate alternativă și destul de neașteptată de rezolvare a paradoxului Burali-Forti despre cel mai mare Numar ordinal).

Definiția numerelor ordinale după von Neumann

În loc să definim un ordinal ca o clasă de echivalență a mulțimilor bine ordonate, îl vom identifica cu o mulțime concretă care servește ca reprezentare canonică a acestei clase. Astfel, un ordinal va fi o mulțime bine ordonată și orice mulțime bine ordonată va fi exact ca un număr ordinal.

Definiția standard propusă de von Neumann este următoarea: orice ordinal este o mulțime bine ordonată constând din toate ordinalele mai mici decât acesta . În notație simbolică: . [2] [3] În termeni mai formali, $\lambda =[0,\lambda )$

O mulțime este un ordinal dacă și numai dacă este strict bine ordonată printr-o relație și fiecare element al lui S este simultan submulțimea sa.

S

\în

Rețineți că, conform acestei definiții, numerele naturale sunt ordinale. Deci, 2 aparține lui 4 = {0, 1, 2, 3} și în același timp este egal cu {0, 1}, adică este un submult al lui {0, 1, 2, 3}.

Prin inducție transfinită, se poate arăta că orice mulțime bine ordonată este exact ca un ordinal - cu alte cuvinte, se poate stabili o corespondență bijectivă care păstrează ordinea între ele.

Mai mult, elementele oricărui ordinal sunt ele însele ordinale. Dacă și sunt ordinale arbitrare, atunci aparține dacă și numai dacă este o submulțime adecvată a lui . În plus, pentru orice ordinale și una dintre relații este satisfăcută: fie , fie , fie . Astfel, orice set de ordinale are o ordine liniară și, în plus, este bine ordonată. Acest rezultat este o generalizare a numerelor naturale bine ordonate. $S$ $T$ $S$ $T$ $S$ $T$ $S$ $T$ $S\în T$ $T\in S$ $S=T$

Aceasta implică faptul că elementele unui ordinal arbitrar coincid exact cu ordinale strict mai mici decât . Fiecare set de ordinale, de exemplu, are un supremum , care este un ordinal egal cu uniunea tuturor numerelor ordinale conținute în mulțimea dată. În virtutea axiomei de unire, un astfel de ordinal există întotdeauna, indiferent de mărimea mulțimii inițiale. $S$ $S$

Clasa tuturor numerelor ordinale nu este o mulțime. Altfel, s-ar putea demonstra că o astfel de mulțime este ea însăși un număr ordinal și, prin urmare, un element propriu, care contrazice ordonarea strictă . Această afirmație se numește paradoxul Burali-Forti . Clasa numerelor ordinale se notează în diferite moduri: „Ord”, „ON” sau „∞”. $\în$

Un număr ordinal este finit dacă și numai dacă este complet ordonat nu numai după ordinea naturală, ci și după ordinea opusă - această condiție este îndeplinită dacă și numai dacă fiecare dintre submulțimile sale conține cel mai mare element.

Alte definiții

În matematica modernă, există și alte abordări ale definiției numerelor ordinale. Deci, sub axioma regularității, următoarele afirmații despre mulțimea x sunt echivalente:

x este un număr ordinal,
x este o mulțime tranzitivă cu o relație de tricotomie $\în$
x este o mulțime tranzitivă ordonată liniar după relația . Pentru o mulțime , definim o relație de două locuri constând din perechi astfel încât sau . O mulțime se numește tranzitivă dacă rezultă din . O mulțime se numește ordinal dacă este tranzitivă și este o mulțime bine ordonată. [patru] $\subseteq$ $X$ $\epsilon(X)$ $\langle a,b\rangle \in X^{2)$ $a\în b$ $a=b$ $X$ $b\în X$ $b\subseteq X$ $\alfa$ $\langle \alpha ,\epsilon (\alpha )\rangle$
x este o mulțime tranzitivă ale cărei elemente sunt și mulțimi tranzitive.

Definițiile enumerate sunt inaplicabile în teoriile mulțimilor fără axioma de bază . În teoriile cu urelements , definițiile trebuie clarificate, deoarece urelementele sunt dintre elementele unui număr ordinal.

Secvență transfinită

Dacă este un ordinal limită și este o mulțime, atunci o secvență de elemente indexată este o funcție de la până la . Introdusă în acest fel, definiția unei secvențe transfinite, sau a unei secvențe indexate prin ordinale , este o generalizare a noțiunii de secvență . Secvența obișnuită corespunde cazului . $\alfa$ $X$ $\alfa$ $X$ $\alfa$ $X$ $\alpha=\omega$

Proprietăți

Dacă este un număr ordinal, atunci fiecare element este un număr ordinal. $\alfa$ $\alfa$
Pentru orice , este valabilă exact una dintre următoarele relații: $\alpha ,\beta$ $\alpha \in \beta ,\alpha =\beta ,\beta \in \alpha .$
Orice mulțime de numere ordinale este bine ordonată după relație (în special, orice număr ordinal considerat ca o mulțime este bine ordonată după relația ) și este cel mai mic element al mulțimii , este un ordinal mai mare sau egal cu oricare dintre elemente ale multimii . Expresiile și pentru numerele ordinale sunt echivalente. Următoarele presupune că numerele ordinale sunt comparate folosind relația $\în$ $\în$ $\bigcap x$ $X$ $\bigcup x$ $X$ $\alpha <\beta$ $\alpha \în \beta$ $\în .$
Pentru orice mulțime bine ordonată există un izomorf ordinal unic (în special, pentru orice set de ordinale există un izomorf ordinal unic). $X$ $X$
Oricare coincide cu mulțimea tuturor numerelor ordinale mai mici decât . $\alfa$ $\alfa$
Segmentul inițial al oricărui număr ordinal este un număr ordinal.
Mulțimea goală este cel mai mic număr ordinal (ceea ce înseamnă că este un element al oricărui alt număr ordinal). $\varnothing$
$\alfa$ se numește nelimitat dacă fie este egal cu , fie există un imediat înainte de acesta , cu alte cuvinte, dacă există, dar nu poate fi introdus un alt număr ordinal între ele. În acest din urmă caz, se spune că este un număr ordinal care urmează , și scrieți: pentru suma numerelor ordinale). $\varnothing$ $\beta ;$ $\beta<\alpha ,$ $\beta <\gamma <\alpha .$ $\alfa$ $\beta$ $\alpha =\beta {\dot +}1$ $\alpha=\beta+1,$
Numerele ordinale care nu sunt nelimitative sunt numite numere ordinale limită (uneori denumite și numere ordinale limită). $\varnothing$
$\alpha {\dot +}1=\alpha \cup \{\alpha \}.$
Mulțimea tuturor numerelor ordinale finite este izomorfă cu mulțimea numerelor întregi nenegative și se folosește aceeași notație ca și pentru numerele întregi. În acest caz, operațiile de adunare, înmulțire și exponențiere pentru numerele ordinale sunt transferate la operațiile corespunzătoare pentru numere întregi. Mai multe numere ordinale primele:

{\begin{aligned}&0=\varnothing ;\\&1=\{0\}=0\cup \{0\}=\{\varnothing \};\\&2=\{0,1\}=1 \cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\};\\&3=\{0,1,2\}=2\cup \{2\}=\{\varnothing , \{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\};\\&\dots \end{aligned))

Mulțimea tuturor numerelor ordinale finite se notează . Este cel mai mic număr ordinal limită și cel mai mic număr ordinal infinit (și anume numărabil ). Următorul număr de serie este $\omega .$ $\omega {\dot +}1=\omega \cup \{\omega \}.$
Condiția finită poate fi scrisă ca sau, care este același, $\alfa$ $\alpha <\omega$ $\alpha \in \omega .$
Există un set infinit de numere ordinale, dar nu există un set de toate numerele ordinale. Cu alte cuvinte, totalitatea tuturor numerelor ordinale este o clasă proprie .
Fiecare set de numere ordinale este mărginit de sus și are cea mai mică limită superioară , care se notează cu $A$ $\sup A.$ $A\subseteq \sup A.$
Dacă este numărul ordinal limitator sau , atunci în caz contrar $\alfa$ $\varnothing$ $\up \alpha =\alpha ,$ $\up \alpha <\alpha .$
Cea mai mică limită superioară a unui set numărabil de numere ordinale numărabile este numărabil [5] .
Fiecare ordinal α are o reprezentare unică în forma normală Cantor , unde , , și sunt numere ordinale. Formularul vă permite să găsiți extinderi precum următoarele: $\omega ^{\beta _{1}}c_{1}+\omega ^{\beta _{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_ {k}$ $k\in {\mathbb {N}}$ $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}\in \mathbb {N}$ $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ $\omega ^{\left(\omega ^{\left(\omega ^{7}\cdot 6+\omega +42\right)}\cdot 1729+\omega ^{9}+88\right) }\cdot 3+\omega ^{\left(\omega ^{\omega }\right)}\cdot 5+65537$

Aritmetică ordinală

Definiții operațiuni

Suma numerelor ordinale este definită recursiv după cum urmează:

{\begin{aliniat}&\alpha +0=\alpha \\&\alpha +(\beta {\dot {+}}1)=(\alpha +\beta ){\dot {+}} 1\\&\alpha +\gamma =\sup\{\alpha +\beta \mid \beta <\gamma \},\end{aliniat))

unde se aplică a treia regulă când este numărul ordinal limitator .

\gamma

Folosind aceeași notație, definim operația de înmulțire:

{\begin{aliniat}&\alpha \cdot 0=0\\&\alpha \cdot (\beta {\dot +}1)=\alpha \cdot \beta +\alpha \\&\alpha \cdot \gamma =\sup\{\alpha \cdot \beta \mid \beta <\gamma \}.\end{aligned}}

Folosind aceeași notație, definim operația de exponențiere:

{\begin{aliniat}&\alpha ^{0}=1\\&\alpha ^{{\beta {\dot +}1}}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha \\&\alpha ^{\gamma }=\sup\{\alpha ^{\beta }\mid \beta <\gamma \}.\end{aliniat))

Proprietăți operație

Adunarea ordinală este necomutativă; în special, $1+\omega =\omega \neq \omega +1.$
Adunarea numerelor ordinale este asociativă: ceea ce vă permite să scrieți suma mai multor termeni fără paranteze. $\alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma ,$
Suma crește odată cu creșterea termenului drept și nu scade odată cu creșterea termenului stâng: rezultă din și $\beta _{1}>\beta _{2)$ $\alpha +\beta _{1}>\alpha +\beta _{2)$ $\beta _{1}+\alpha \geqslant \beta _{2}+\alpha .$
Dacă atunci există un ordinal unic pentru care $\alpha \geqslant \beta ,$ $\gamma$ $\beta +\gamma =\alpha .$
Înmulțirea numerelor ordinale este necomutativă; în special, $2\cdot \omega =\omega \neq \omega \cdot 2.$
Înmulțirea numerelor ordinale este asociativă: ceea ce vă permite să scrieți produsul mai multor factori fără paranteze. $\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma )=(\alpha \cdot \beta )\cdot \gamma ,$
Adunarea și înmulțirea sunt lasate distributive: $\alpha \cdot (\beta +\gamma )=\alpha \cdot \beta +\alpha \cdot \gamma .$
$\alpha +0=0+\alpha =\alpha .$
$\alpha +1=\alpha {\dot +}1.$
$\alpha \in \omega \leftrightarrow \alpha +\omega =\omega .$
$\alpha \cdot 0=0\cdot \alpha =0.$
$\alpha \cdot 1=1\cdot \alpha =\alpha .$
$\alpha \in \omega \land \alpha \neq 0\leftrightarrow \alpha \cdot \omega =\omega .$
$\alpha +\beta =0\leftrightarrow \alpha =0\land \beta =0.$
$\alpha \cdot \beta =0\leftrightarrow \alpha =0\lor \beta =0.$
$\alpha ^{0}=1.$
$\alpha ^{1}=\alpha .$
$\alpha \neq 0\leftrightarrow 0^{\alpha }=0.$
$1^{\alpha }=1.$
$\alpha \in \omega \land \alpha >1\leftrightarrow \alpha ^{\omega }=\omega .$
$\alpha ^{\beta }\cdot \alpha ^{\gamma }=\alpha ^({\beta +\gamma }}).$
$(\alpha ^{\beta })^{\gamma }=\alpha ^({\beta \cdot \gamma }}).$
$\alpha >1\land \beta >\gamma \leftrightarrow \alpha ^{\beta }>\alpha ^{\gamma }.$
$\beta \in \omega \to \alpha +\beta =\alpha \underbrace {{\dot +}1{\dot +}1{\dot +}\dots {\dot +}1}_{\beta } .$
$\beta \in \omega \to \alpha \cdot \beta =0\underbrace {+\alpha +\alpha +\dots +\alpha }_{\beta }.$
$\beta \in \omega \to \alpha ^{\beta }=1\underbrace {\cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \dots \cdot \alpha }_{\beta }.$
În cazul argumentelor finite, adunarea, înmulțirea și exponențiarea intră în operațiile corespunzătoare pentru numere întregi (cu rezultatele finale).
În cazul argumentelor numărabile, rezultatele adunării, înmulțirii și exponențiației sunt și ele numărabile.

Vezi și

numar cardinal

Note

↑ O descriere mai detaliată a fost făcută de Levy (1979) și Yeh (2003).
↑ von Neumann, 1923
↑ Potrivit lui Levy (1979, p. 52), această idee se întoarce la o lucrare nepublicată a lui Zermelo (1916), precum și la câteva lucrări scrise de von Neumann în anii 1920.
↑ Ershov, 1987 , p. 84.
↑ N. K. Vereshchagin, A. Shen. Începuturile teoriei mulțimilor . - al 3-lea. - M . : MTSNMO, 2008. - P. 96. Copie de arhivă din 20 octombrie 2019 la Wayback Machine

Literatură

Ershov Yu.L. , Paliutin E.A. Logica matematică. — M .: Nauka, 1987. — 336 p.
Cantor, Georg (1883), Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 5. , Mathematische Annalen vol. 21 (4): 545–591, doi : 10.1007 / bf01446819 , . Publicat separat ca: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre .
Cantor, Georg (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II , Mathematische Annalen vol. 49 (2): 207–246 , ,BF01444205/10.1007:doi .
Conway, John H. & Guy, Richard (2012), Numerele ordinale ale lui Cantor , Cartea numerelor , Springer, p. 266–7, 274, ISBN 978-1-4612-4072-3
Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: Matematica lui și filosofia infinitului , Harvard University Press , ISBN 0-674-34871-0
Ewald, William B., ed. (1996), De la Immanuel Kant la David Hilbert : A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volumul 2 , Oxford University Press , ISBN 0-19-850536-1
Ferreirós, José (1995), 'What fermentat in me for years': Cantor's discovery of transfinite numbers , Historia Mathematica vol . 22: 33–42, doi : 10.1006/hmat.1995.1003 , < http://www.sciencedirect.com /science/article/pii/S0315086085710038 > Arhivat 11 aprilie 2019 la Wayback Machine
Ferreirós, José (2007), Labirintul gândirii: o istorie a teoriei seturilor și rolul său în gândirea matematică (ed. a doua revizuită), Birkhäuser , ISBN 3-7643-8349-6
Hallett, Michael (1986), Teoria seturilor cantoriene și limitarea mărimii , Oxford University Press, ISBN 0-19-853283-0
Hamilton, A.G. (1982), 6. Numere ordinale și cardinale, numere, seturi și axiome: aparatul de matematică , New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-24509-5
Kanamori, A. , Set Theory from Cantor to Cohen , în Irvine, Andrew & Woods, John H., The Handbook of the Philosophy of Science , voi. 4 Mathematics, Cambridge University Press Arhivat la 4 aprilie 2012 la Wayback Machine — Să apară.
Levy, A. (2002), Teoria de bază a seturilor , Springer-Verlag , ISBN 0-486-42079-5
Jech, Thomas (2013), Teoria seturilor (ed. a doua), Springer, ISBN 978-3-662-22400-7 , < https://books.google.com/books?id=GHjmCAAAQBAJ >
Sierpiński, W. (1965), Cardinal and Ordinal Numbers (ed. a 2-a), Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe De asemenea, definește operațiile ordinale în termenii formei normale Cantor.
Suppes, P. (1960), Teoria seturilor axiomatice , D. Van Nostrand, ISBN 0-486-61630-4
Tait, William W. (1997), Frege versus Cantor și Dedekind: On the Concept of Number , în William W. Tait, Early Analytic Philosophy: Frege, Russell, Wittgenstein , Open Court, p. 213–248, ISBN 0-8126-9344-2 Arhivat 24 octombrie 2018 la Wayback Machine
von Neumann, Johann (1923), Zur Einführung der transfiniten Zahlen , Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum vol. 1: 199–208 , < http://acta.fyx.how .action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style= > Arhivat 18 decembrie 2014 la Wayback Machine
von Neumann, John (ianuarie 2002), Despre introducerea numerelor transfinite , în Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 (ed. a treia), Harvard University Press, p. 346–354, ISBN 0-674-32449-8 , < http://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=9780674324497 > Arhivat la 20 august 2017 la Wayback Machine - traducere în engleză a lui von Neumann, 1923

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion