Semnul lui d'Alembert

Semnul lui d'Alembert (sau Semnul lui D'Alembert ) este un semn al convergenţei serii numerice , stabilit de Jean d'Alembert în 1768 .

Dacă pentru o serie de numere

\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}

există un număr , , astfel încât, pornind de la un număr, inegalitatea $q$ $0<q<1$

\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant q,

atunci această serie este absolut convergentă ; dacă, pornind de la un anumit număr

\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geqslant 1

apoi seria diverge.

Dacă, pornind de la un număr, , și nu există astfel încât pentru toți , pornind de la un număr, atunci în acest caz seria poate atât converge, cât și diverge. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n$

criteriul lui d'Alembert pentru convergenţă în formă limită

Dacă există o limită

\rho =\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|,

atunci seria luată în considerare converge absolut dacă , iar dacă , diverge. $\rho<1$ $\rho >1$

Observație 1. Dacă , atunci testul lui d'Alembert nu răspunde la întrebarea despre convergența seriei. $\rho=1$

Observația 2. Dacă , și succesiunea tinde spre limita sa de sus, atunci putem spune totuși despre serie că ea diverge. $\rho=1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $\rho$

Dovada

Fie, pornind de la un număr , inegalitatea este adevărată , unde . Apoi puteți scrie , , …, , și așa mai departe. Înmulțind primele n inegalități, obținem , de unde . Aceasta înseamnă că seria este mai mică decât o sumă infinită a unei progresii geometrice descrescătoare și, prin urmare, prin comparație, converge. Seria completă de module converge, de asemenea, deoarece primii termeni (secvențele ) nu joacă niciun rol (există un număr finit de ei). Deoarece seria de module converge, seria în sine converge pe baza convergenței absolute. El este absolut de acord. $N$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\times \left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1} }}\right|\times ...\times \left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|=\left|{\frac {a_{ N+n}}{a_{N}}}\dreapta|\leq {q^{n}}$ $\left|{a_{N+n}}\right|\leq |{a_{N}}|{q^{n}}$ $\left|{a_{N+1}}\right|+\left|{a_{N+2}}\right|+\left|{a_{N+3}}\right|+.. .$ $N-1$ $\{a\}$
Fie (începând de la niște N): atunci putem scrie . Aceasta înseamnă că modulul membrilor secvenței nu tinde spre zero la infinit și, prin urmare, secvența în sine nu tinde spre zero. Atunci condiția necesară pentru convergența oricărei serii nu este îndeplinită și, prin urmare, seria diverge. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$ $\left|{a_{n+1}}\right|\geq \left|{a_{n}}\right|$ $\{a\}$ $\{a\}$
Să , pornind de la unele . Mai mult, nu există , astfel încât pentru toți , pornind de la un număr oarecare . În acest caz, seria poate converge sau diverge. De exemplu, ambele serie și satisfac această condiție, iar prima serie (armonică) diverge, iar a doua converge. Într-adevăr, seria este adevărată pentru orice natură . În același timp, deoarece , aceasta înseamnă că pentru orice , este posibil să se aleagă un număr astfel încât , și în același timp, pornind de la un anumit număr, toți membrii secvenței , unde , vor fi în intervalul , adică , . Și asta înseamnă că nu există așa ceva pentru toți . Acest raționament poate fi repetat pentru al doilea rând. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $n=N$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n$ $N$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|={\frac {n}{n+1}}=1-{\frac {1}{ n+1}}<1$ $n$ $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$ $q$ $0<q<1$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ $\{b\}$ ${b_{n}}=\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $(1-\varepsilon;1)$ ${b_{n}}>q$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n>N$

Exemple

Seria converge absolut pentru toate complexele , din moment ce $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!)}}$ $z$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {{z^{{n+1}}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{ n!}}}\right|=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {|z|}{n+1}}=0.$

Seria diverge pentru toti , pentru ca $\sum _{{n=0}}^{\infty }n!\;z^{n}$ $z\neq 0$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {(n+1)!\;z^{{n+1}}}{n!\;z^{n}}}\ dreapta|=\lim _{{n\to \infty }}|(n+1)z|=\infty .$

Dacă , atunci seria poate atât converge, cât și diverge: ambele serie și satisfac această condiție, iar prima serie ( armonică ) diverge, iar a doua converge. Un alt exemplu care necesită o caracteristică Raabe : $\rho=1$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$

Link -uri

d'Alembert, J. (1768), Opuscules , voi. V, p. 171–183 , < http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62424s.image.f192 > .
Apostol, Tom M. (1974), Analiză matematică (ed. a doua), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1
Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series , New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60153-3 : § 3.3, 5.4.
Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (ed. a treia), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), criteriul Bertrand , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), criteriul Gauss , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), criteriul Kummer , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Watson, GN & Whittaker, ET (1963), Un curs de analiză modernă (ed. a patra), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Britannica (online)

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich